國小六年級學童 發現數列樣式的推理歷程之分析研究 李佩玟、吳昭容

序 心理學： （1）樣式推理為歸納推理中的一環 (Sternberg, & Gardner, 1983) （2）智力測驗常用試題（重要的認知能力） 數學教育： （1）數學已從一門「研究數、量、形的學問」轉變為「尋找樣式的學科」(Steen, 1988) （2）早期代數經驗的教學活動

研究目的 探討國小學童發現數列樣式的認知歷程 不同型式數列試題之答題正確率 不同型式數列試題之解題紀錄的錯誤類型

文獻探討 ~數列推理解題之認知歷程模式~ 發 現 樣 式 應用 ∕ 類化 計算 與 推論 單位化 反應 編碼 映射 發 現 樣 式 應用 ∕ 類化 計算 與 推論 單位化 反應 編碼 映射 修改自Sternberg與Gardner(1983)之解決系列完成測驗之訊息處理歷程 編碼(encoding)→ 推論(inference)→ 映射(mapping)→ 應用(application)→ 比較(comparison)→ 辨明(justification)→ 反應(response)

「3 2 9 2 27 2 81 2 __ 」 單位化：將數列分群為數個有意義的單位 「3 2 9 2 27 2 81 2 __ 」 單位化：將數列分群為數個有意義的單位 計算與推論：運用各種算術能力計算項次階差，進而推論鄰近項次間的關係 映射：對應組間關係以確認數列的共同數量關係 應用∕類化：利用找到的樣式規則解題 X3 X3 X3 □＝81×3＝243 均為X3

研究方法 兩個實驗 實驗一：單位化步驟 實驗二：計算與推論、映射步驟 研究樣本：台北縣市、基市五所學校，一所二班 兩個實驗 實驗一：單位化步驟 實驗二：計算與推論、映射步驟 研究樣本：台北縣市、基市五所學校，一所二班 合計319人（實驗一306∕實驗二309 ） 實驗程序：團體施測（一→二或二→一） 計分與策略的分類

實驗一 ~單位化步驟~ 操弄變項： 數串個數（一∕二） 第二數串性質（移動∕非移動） 單一數列：「a1 a2 a3 a4 a5 」 「 7 13 19 25 31 」 複合數列： 「a1 b1 a2 b2 a3 b3」 「 7 16 13 22 19 28 」 「a1 b1 a2 b1 a3 b1 」 「 7 16 13 16 19 16 」

實驗一 研究假設 單一數列之正確率比複合數列高。 複合數列下，第二數串為非移動數列之正確率比移動數列高。 單位化步驟存在 ∵受試者需先將複合數列分為兩群，才能進行下一步驟。 單位化步驟存在 複合數列下，第二數串為非移動數列之正確率比移動數列高。 ∵非移動數列各項次的相同數字具有知覺上完形的相似性效應，比移動數列容易退到背景，使得第一數串成為焦點。 單位化步驟在複合數列下的重要性

實驗一 研究結果-答題正確率 相依樣本t檢定 →（1）單一數列之正確率顯著高於複合數列。 （2）第二數串為移動數列或非移動數列之正確率 沒有顯著差異。 未落入研究者預期

實驗一 研究結果-解題策略 解題策略與解題成果的相關性：2獨立性檢定 →（1）單一數列採『鄰近』策略較其餘策略的 答題正確人數較多 （2）複合數列採『分群』策略較其餘策略的 第二數串為非移動數列會比移動數列更容易促使受試者利 用『分群』策略來解題，有時甚至必須使用分群策略才得 以正確解題。 But

單一數列 「45 48 51 54 57」 解 ∵ 45＋3＝48 48＋3＝51 ∴57＋3＝60 複合數列 「45 25 48 28 51 31」 解1 ∵ 45＋ 3＝48 48＋ 3＝51 ∴51＋3＝54 (25＋ 3＝28 28＋ 3＝31) 解2 ∵ 45－20＝25 25＋23＝48 48－20＝28 28＋23＝51 51－20＝31 31＋23＝54 「45 25 48 25 51 25」 解 ∵25重複 45＋3＝48 48＋3＝51 ∴51＋3＝54 鄰近 分群 鄰近 分群

實驗二 ~計算與推論、映射步驟~ 項次階差 差距∕倍數 操弄變項： 低階∕高階 2 4 6 8 10 規則 均＋2 2 4 6 8 10 規則 均＋2 2 4 8 16 32 均 × 2 2 4 8 14 22 ＋2 ＋4 ＋6 ＋8 ＋2 ＋2 ＋2 2 4 16 96 768 ×2 ×4 ×6 ×8 項次階差 差距∕倍數

實驗二 研究假設 項差為低階關係數列之正確率比高階關係高 項差為差距關係數列之正確率比倍數關係高 ∵受試者較難發現項差可能是關係中的關係 映射步驟存在 項差為差距關係數列之正確率比倍數關係高 ∵受試者較無法掌握含乘法運算的階差 計算與推論步驟存在

實驗二 研究結果-答題正確率 相依樣本「低階∕高階 × 差距∕倍數」二因子變異數分析 正確率 「低階∕高階」×「差距∕倍數」無交互作用圖

實驗二 研究結果-錯誤類型 學童數列解題時，容易忽略或跳過『映射』步驟，以致於無法正確發現項次階差為高階關係數列的樣式。 例「2 4 8 14 22 __ 」 22－14＝8 22＋8＝30 例「2 4 8 10 12 __ 」 12－10＝2 12＋2＝14 答錯了！ 4－2＝2 8－4＝4 14－8＝6 22－14＝8 22＋10＝32 正解 正確耶！

綜合討論 研究者所建立之數列推理解題的認知歷程模式，由二個實驗結果驗證之。 數學教材的缺失：僅有等差或等比數列 建議納入 （1）複合數列→培養『單位化』認知能力 （2）項差含階層關係數列→培養『映射』認知能力 （∵六年級學童對於以上兩種型式數列之解題正確率達六成以上）

報告到此結束，謝謝大家 請多多指教