空间解析几何简介 向量及其线性运算 数量积 向量积 *混合积 空间平面及其方程 空间直线及其方程 二次曲线及其方程 二次曲面及其方程

空间解析几何 第一部分 向量 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法

第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

一、向量的概念 或 a , 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,

若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 平行四边形法则: 三角形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 .

2. 向量的减法 三角不等式

3. 向量与数的乘法  是一个数 ,  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定 : 可见 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此

三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 z 轴(竖轴) Ⅱ 坐标原点 Ⅲ 坐标轴 Ⅳ Ⅰ 坐标面 zox面 卦限(八个) y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴)

在直角坐标系下 点 M 有序数组 向径 (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C

坐标轴 : 坐标面 :

2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 设点 M的坐标为 则 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的分向量.

四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例:

五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 对两点 与 因 得两点间的距离公式:

2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.

方向余弦的性质:

第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的内积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积

一、两向量的内积 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为 1. 定义 设向量 的夹角为 , 称 记作 内积 (点积，数量积) .

记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ;

4. 数量积的坐标表示 设 则 两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于 , 得

例2. 已知三点 求  AMB . 解: 则 故

例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 为  ) . 解: 为单位向量 单位时间内流过的体积

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 矩是一个向量 M : 符合右手规则

1. 定义 定义 方向 :   且符合右手规则 向量 模 : 称 向量积 , 记作 (叉积) 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝

2. 性质 为非零向量, 则 ∥ 证明: ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律

4. 向量积的行列式计算法

例4. 已知三点 求三 角形 ABC 的面积 解: 如图所示,

例5. 设刚体以等角速度  绕 l 轴旋转, 导出刚体上 一点 M 的线速度 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使 其 方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作 则 向径 它与 的夹角为 , 点 M离开转轴的距离 且 符合右手法则

*三、向量的混合积 1. 定义 已知三向量 称数量 记作 混合积 . 几何意义 为棱作平行六面体, 则其 高 底面积 故平行六面体体积为

2. 混合积的坐标表示 设

3. 性质 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出)

例6. 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故

例7. 证明四点 共面 . 解: 因 故 A , B , C , D 四点共面 .

内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: L.P204~P206 叉积:

混合积: 2. 向量关系:

第三节 平面及其方程 一、平面的方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角

空间 正交的非零向量称为平面 的法向量；平面 的 设在 中给定一个平面 ，采用线性代数的术语来描述平面 ， 是 中的一个集合，则集合 是 中的一个二维线性子空间。反之，给了 中一个二维子空间 ，存在 中的平面 使得 实际上，任取点 记 则 可充当平面 的，可见这种平面有无限多。 定义： 设 是 中一个平面， 定义如上，则 中与二维子 P417 空间 正交的非零向量称为平面 的法向量；平面 的 所有法向量添上零向量组成 的一个一维子空间， 中以平面 的法向量为方向向量的直线称为平面 的法线。

一、平面的方程 设一平面通过已知点 ，法向量是 故 称为平面 的向量形式方程。 P417 ① 称①式为平面 的坐标形式方程（点法式）。

还可以采用两个参数来表述平面。设 是 的一个二维子空间。设 是两个不共线的向量。设 是一个固定点，设 是 上的任意点，则 还可以采用两个参数来表述平面。设 是 的一个二维子空间。设 是两个不共线的向量。设 是一个固定点，设 是 上的任意点，则 并得到平面 的参数方程。

例1.求过三点 的平面  的方程. 解: 取该平面 的法向量为 利用点法式得平面  的方程 即

说明: 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 见L.P207

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时, 平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 分析:利用三点式 按第一行展开得 即

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 ② 任取一组满足上述方程的数 则 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 显然方程②与此点法式方程等价, P418 显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是 法向量为 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; P419 • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程

三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即

特别有下列结论：

故 因此有 和 且 例4. 一平面通过两点 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 则所求平面 方程为 即 的法向量 故 因此有 约去C , 得 即

是平面 例5. 设 外一点,求 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 在平面上取一点 ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式)

例6. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 解: 设球心为 则它位于第一卦限,且 从而 因此所求球面方程为

内容小结 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式

2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式:

第四节 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系

一、空间直线方程 1. 参数方程 已知直线上一点 和它的方向向量 设直线上的动点为 则 或者 这两个方程称为直线的参数方程。

2. 对称式方程 已知直线上一点 和它的方向向量 设直线上的动点为 则 故有 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 例如, 当 直线方程为

3. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 因此其一般式方程

例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. ,得 令 x = 1, 解方程组 是直线上一点 . 再求直线的方向向量 交已知直线的两平面的法向量为

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.

二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 的方向向量分别为 则两直线夹角  满足

特别有:

例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 二直线夹角 的余弦为 从而

︿ 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角  设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足 ︿

特别有: 例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂 直的直线方程. 解: 取已知平面的法向量 为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为

内容小结 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式

2. 线与线的关系 直线 直线 夹角公式:

3. 面与线间的关系 平面  : 直线 L : L⊥ L //  夹角公式：

第五节 二次曲线 定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如 的方程所确定的点的轨迹统称二次曲线，其中二次项系数 不全为零。 P411

消去交叉项 若 ，要利用旋转坐标变换使得在新坐标系下方程不含交叉项。 P411 其中 待定。

则方程在新坐标系 下变为 其中 那么当 有

无交叉项方程简化及曲线分类 标准方程： （1）设 ，用配完全平方法， 记 P411

分类（1），不妨设 椭圆 一点 无轨迹 双曲线 P411 过原点的两直线

（2）设 ，不妨设 ,则 （2a）设 ，有 （2b）设 ，有 分类（2）， 抛物线 P411 两条平行直线 一条直线 无轨迹

（同二次曲线的处理方法，可用旋转变换消去交叉项） 第六节 二次曲面 定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如 的方程所确定的点的轨迹统称二次曲面，其中二次项系数 不全为零。 （同二次曲线的处理方法，可用旋转变换消去交叉项）

标准方程有如下16种： 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆

为正数) (3) 截痕: 与 的交线为椭圆： 同样 及 的截痕 也为椭圆. (4) 当a＝b＝c 时为球面.

2. 3.

4. 单叶双曲面 椭圆. 平面 上的截痕情况: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）

时, 截痕为 相交直线: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）

5 双叶双曲面 双曲线 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 单叶双曲面 双叶双曲面

6. 二次锥面（椭圆锥面） 椭圆 ① 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.

7. 椭圆抛物面 特别,当 a =b 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 8. 双曲抛物面（鞍形曲面）

9、 椭圆柱面 10、 直线 11、 无轨迹 12、 一对相交平面

13、 双曲柱面 14、 抛物面 15、 一对平行平面 16、 平面

平面解析几何和空间解析几何的一些比较 方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 yoz 面的平面 平行于 y 轴的直线 圆心在(0,0) 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面