高中数学 必修１ 3.4.2 函数模型及其应用（1） 南京市第十四中学
情境问题： 某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问: (1)写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式; (2)计算10年后该城市的人口数； (3)计算大约多少年后，该城市人口将达到120万? (4)如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少? 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具．利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．
数学探究： 1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为 ． 函数 ，其定义域为 ．
数学应用： 例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量x(台)的函数关系式．
数学应用： 1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元． 2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机 器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的部数x的函数关系式．
数学建构： 函数模型： 函数模型是最常用的数学模型，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
数学应用： 例2．大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)． 求：(1) y与x的函数关系式； (2)x＝3.5 km以及x＝12km处的气温． 由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数； 在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
数学应用： 3．A、B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为 ． 4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需 16min，快车不慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出 两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相 遇时距始发站多远？
数学应用： 5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中
数学建构： 数学应用题的一般求解程序： (1)审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系； (2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应 的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得到数学结论； (4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意 下结论．
小结： 建立数学模型 解出模型结果 解释实际问题 实际问题
作业： P100练习1，2，3．