第 11 章 矩 阵 上一章讨论的线性方程组，未知数的个 数与方程的个数相等，且系数行列式不等于 零。但是再实际应用中，还会出现未知数的 第 11 章 矩 阵 上一章讨论的线性方程组，未知数的个 数与方程的个数相等，且系数行列式不等于 零。但是再实际应用中，还会出现未知数的 个数与方程个数不相等的方程组。为了讨论 一般的线性方程组，我们引入一个数学工具 —矩阵。本章将介绍矩阵的基本概念及运算。

知识点 矩阵概念 矩阵运算 几类特殊矩阵 矩阵的与矩阵的秩 逆矩阵的求法 难点 矩阵的秩 矩阵的初等变换

要求 熟练掌握 矩阵的运算 求矩阵的秩 逆矩阵的求法 了解 几类特殊矩阵 矩阵的定义 分块矩阵

11.1 矩阵的概念 11.1.1 矩阵的定义 定义 由 个数 排成的矩形数表 叫做一个m行n列的矩阵，简称 矩阵。

11.1.2 几种特殊的矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵或行阵，即 只有一列的矩阵称为列矩阵或列阵，即 如果矩阵 的行数与列数都等于n， 11.1.2 几种特殊的矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵或行阵，即 只有一列的矩阵称为列矩阵或列阵，即 如果矩阵 的行数与列数都等于n， 则称A为n阶矩阵或n阶方阵。

在n阶方阵A中，如果主对角线左下方的 元素全为零，即 则此矩阵称为上三角矩阵。 如果n阶方阵A的主对角线右上方的元素全为零，即 则此矩阵称为下三角形矩阵。

如果n阶方阵A的主对角线以外的元素都为 零，即 则此矩阵称为对角线方阵。 在n阶对角方阵中，当 时， 则称为n阶单位矩阵，记作E，即

11.1.3 分块矩阵 在矩阵的讨论和运算中有时需要将一个矩阵分成若干个“子块”（子矩阵），使原矩阵 结果更加简单。 例如 如果设 则 ＝

11.2 矩阵的运算 11.2.1 矩阵的加减运算 定义1 如果两个m×n矩阵A、B的对应元素相等， 即 ，则矩阵A与B相等。记作 或 11.2 矩阵的运算 定义1 如果两个m×n矩阵A、B的对应元素相等， 即 ，则矩阵A与B相等。记作 或 11.2.1 矩阵的加减运算 定义2 设两个m行n列的矩阵 它们 对应位置元素相加（或相减）得到的m行n列矩阵，为矩阵A与矩阵B的和（或差）， 记作 ，即

即

注意 只有在两个矩阵的行数和列数分别都 相同时才能作加法或减法的运算。 由定义，不难验证矩阵的加法具有以 下性质： 1）A+B=B+A 2）（A+B）+C=A+（B＋C） 3）A＋0＝A 其中A、B、C、0都是m×n矩阵。

11.2.2数与矩阵的乘法 定义3 设k为任意数，以数k乘矩阵A的每一个元素 所得到的矩阵叫做k与A的积，记为kA（或Ak）即 容易验证 k（A＋B）＝kA+kB， （k＋h）A＝kA+hA，（kh）A＝k（hA） 其中A、B为m×n矩阵，K、h为任意实数。

例 已知 且 求 。 解 11.2.3 矩阵的乘法 矩阵的加法及数与矩阵的乘法表示事物之间的 一种数量关系，矩阵的乘法也是一样。

（即表示用A的第行元素依次乘B的第j列相应元 素然后相加）。 定义 设矩阵 的列数与矩阵 的行数相同，则由元素 构成的m行n列矩阵 = 称为矩阵A与B的积，记作 （或C＝AB） （即表示用A的第行元素依次乘B的第j列相应元 素然后相加）。 注意 两个矩阵A,B只有当矩阵A的列数等于矩阵B得行 数时，AB才有意义。为此常用下法来记：

例 设 求AB及BA。 解

11.2.4 矩阵的转置 矩阵乘法得性质 设下列矩阵都可以进行有关运算 1）(AB)C=A(BC) 2）(A+B)C=AC+BC 4）K(AB)=(KA)B=A(KB) 11.2.4 矩阵的转置 定义 把m×n矩阵A的行与列互换，得到一个n×m 矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT。

即 如果 则 例如 则 转置矩阵具有下列性质： 1）(AT)T=A 2）(A+B)T=AT+BT 3） 4）(AB)T=BTAT

例 设 求 解 如果n阶方阵A与它的转置矩阵相等，A称为 对称矩阵。

11.3 矩阵的初等变换 11.2.5 方阵的行列式 11.3.1 定义 定义 如果A是一个已知方阵，以A的元素按原来次 11.2.5 方阵的行列式 定义 如果A是一个已知方阵，以A的元素按原来次 序所构成的行列式，叫做A的行列式，记作 定理 设A，B是两个n阶方阵，则 即A，B两个n阶方阵的乘积的行列式等于这两个方 阵所对应的行列式之积。 11.3 矩阵的初等变换 11.3.1 定义

11.3.2初等矩阵 11.4矩阵的秩 定义 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等 变换： 1）交换矩阵的两行（列）。 定义 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等 变换： 1）交换矩阵的两行（列）。 2）以一个非零的数k乘以矩阵的某一行（列）。 3）把矩阵的一行（列）的L倍加于另一行（列）上。 11.3.2初等矩阵 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵。 11.4矩阵的秩 11.4.1 我们先回忆一下阶梯形矩阵

若在矩阵各行中位于第一个非零元素前面的 零的个数逐行增加，且矩阵的零行在最下方，则 称此矩阵为阶梯形矩阵。 定理 任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以 化称阶梯形矩阵。 例如 ， 设 则可化A为阶梯形矩阵：

11.4.2 矩阵的秩的概念 此为阶梯形矩阵。 定义 矩阵A的阶梯形矩阵非零行的行数称为矩阵 A的秩。记作秩（A）或r（A）。 例如： 11.4.2 矩阵的秩的概念 定义 矩阵A的阶梯形矩阵非零行的行数称为矩阵 A的秩。记作秩（A）或r（A）。 例如： 若 则r（A）＝2；

若 则r（B）＝2。 例 设矩阵 求r（A）。 解 先用矩阵的初等行变换化A为阶梯形矩阵，即 因为

所以 r（A）＝3 一个矩阵的阶梯形矩阵有多少个，但其秩是唯 一的，即有以下定理： 定理 矩阵经初等变换后，其秩不变。

11.4.3 满秩矩阵 设A是n阶矩阵，若秩（A）＝n，则称A为满秩矩阵，或称非奇异的，或非退化的。 11.4.3 满秩矩阵 设A是n阶矩阵，若秩（A）＝n，则称A为满秩矩阵，或称非奇异的，或非退化的。 定理 任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位 矩阵。 例 设矩阵 判断A是否为满秩矩阵，若是 将A化成单位矩阵。 解

这样，即判明了A为满秩矩阵，也将A划成了单位矩阵。

11.5 逆矩阵 11.5.1 逆矩阵的概念 定义 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B使得 11.5 逆矩阵 11.5.1 逆矩阵的概念 定义 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B使得 AB=BA=In,那么A则称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵。 A的逆矩阵用A－1表示。 若A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。 注意 1）可逆矩阵一定是方阵，对非方阵无逆矩 阵可言。2）有逆矩阵的方阵称为可逆矩阵，无逆矩阵的方阵称为不可逆矩阵。3）若A的逆矩阵是B，则B的逆矩阵也是A。

11.5.2 逆矩阵的求法 利用矩阵的初等行变换可以求某一方阵A的 逆矩阵。其方法为：先把所要求的矩阵旁添上一 11.5.2 逆矩阵的求法 利用矩阵的初等行变换可以求某一方阵A的 逆矩阵。其方法为：先把所要求的矩阵旁添上一 个与其阶数相同的单位矩阵，成为（A，In）的形 式，然后对矩阵（A，In）进行行的初等变换，将 其左半部A化为单位矩阵，这时右半部即为A的逆 矩阵（A，In）变成（InA－1）。这样就把A的逆矩 阵A－1求出来了。

例 已知： 求A－1 解

所以 A-1= 。

11.5.3 判定某矩阵是否可逆的方法 11.5.4 利用逆矩阵只是解矩阵方程 按本节中的方法对矩阵（A，In）作初等行变 11.5.3 判定某矩阵是否可逆的方法 按本节中的方法对矩阵（A，In）作初等行变 换，若所变矩阵左半部子块中有一行（列）的元 素全为0了，则已可判定A不可逆。 11.5.4 利用逆矩阵只是解矩阵方程 1）对于矩阵方程 若A可逆，则X＝A－1·B 2）对于矩阵方程 若A可逆，则X=B·A-1 3）对于矩阵方程 若A、B均可逆， 则X=A-1 · C · B-1

小结 1）矩阵的概念，行矩阵，列矩阵，n阶矩阵（方阵），三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，零矩阵。 2）矩阵的运算主要为：矩阵的加法，数乘矩阵， 矩阵的乘法，矩阵的转置，对称矩阵，方阵的行列式，一般情况下矩阵乘法不满足交换率和消去律，当矩阵A，B满足AB=BA时，称矩阵A与B是可交换的。

3）矩阵的初等变换，初等矩阵，阶梯形矩阵。 注意 任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以化成一个阶梯形矩阵。 4）矩阵秩的概念，满秩矩阵或称非奇异阵的概念，非奇异阵也是可逆矩阵，用初等行变换，求逆矩阵的方法，矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩，用初等行变换求矩阵秩的方法，利用逆矩阵知识解矩阵方程。