課程發展處 小學校本課程發展組 尹志華 周偉志 數學課堂中的疑難與互動 課程發展處 小學校本課程發展組 尹志華　周偉志

你會用下面哪些詞語來形容數學？ 強調數學是由 人共同建構的 強調數學 的絕對性 數學知識是： 絕對的 正確無誤的 毫無疑問的 根本存在的 創造中的 演變中的 可改變的 人為的成果 (Ernest, 1991) 強調數學是由 人共同建構的 強調數學 的絕對性 vs

數學教學法建基於對數學的觀念。 (Thom, 1973)

兩種看法表示不同教學方式 強調數學絕對性 的教學： 技巧及法則 答案的對與錯 標準的運算過程 知識傳授 學生足夠的練習 教師清晰的指導 強調數學是由人 共同建構的教學： 概念及意義 學習過程 學生主動探究 從解難中學習 互動學習 教師促進學習

疑難 互動 令數學科充滿疑難，使學生好奇，主動地求問及找尋答案。教學應以難題及疑問作開始。 (Hiebert et al., 1996) 啟動及促進課堂互動，使學生能就數學問題進行討論，並回應其他同學的意見。 (Lampert, 1990)

疑難與互動 課堂小故事 之

課堂特色 疑難（以難題為課堂發展的起點） 互動（學生與學生、老師與學生的互動） 表達（學生表達思考及解難過程） 總結（老師協助學生總結學習要點）

「乘」意可「加」 香港潮商學校 王潔瑩老師

「乘」意可「加」 疑難 互動 表達 總結 學生用不同方式 表達 2 X 5 的意義 學生可用圖像、 文字、算式 及情景表達

「乘」意可「加」 疑難 互動 表達 總結 學生用了不同 的表達方式

「乘」意可「加」 疑難 互動 表達 總結 部份學生 表達了不 正確的概念

「乘」意可「加」 疑難 互動 表達 總結 學生表達出 不同的概念

互動 表達 「乘」意可「加」 疑難 總結 選出幾位學生作口頭滙報，他們有如下解釋： －2X5，即是5個2。 　共加5個2。 －2隻蛋一組，有5組，共10隻。 －因為2x5等於5x2，等於10，所以用了5x2。

「乘」意可「加」 總結 疑難 互動 表達 －老師總結不同表達方式的關係

王老師的話 學生可互相參考同學的表達方式，豐富所學。 學生會發現自己的問題所在，互補不足。 加深了解學生的個別性，有助因材施教。 日後教學多鼓勵學生表達意見。

球 同「詮」異 太古小學 何潔珊老師

球 同「詮」異 疑難 互動 表達 總結 活動一：分別用量度及排水法求長方體的　　　　體積 活動二：用排水法求石塊體積

球 同「詮」異 疑難 互動 表達 總結 活動三：求其他物體體積，例如乒乓球、　　　　泥膠、波子。

互動 表達 球 同「詮」異 疑難 總結 學生想出了下列不同方法： 方法一：用手把乒乓球按入水裏 方法二：把整體體積減去波子體積 方法三：切開乒乓球，在空間內裝水 方法四：把泥膠包著乒乓球，讓物體下沉，　　　　總體積減去泥膠體積。

球 同「詮」異 總結 疑難 互動 表達 討論重點： －體積和容量的關係 －不同方法的優劣，例如誤差性

何老師的話 學生用了不同方法求乒乓球的體積，比老師所想的更富創意。 以往低估了學生的能力，現在會配合他們的特質設計教學。 疑難問題配合操作活動會有更佳效果。 小組討論及活動能促進學生協作學習。

「分」外有理 宣道會陳元喜小學上午校 鄭潔明老師

疑難 互動 表達 總結 「分」外有理 疑難問題： 有一塊田，1/2種菜，種菜部分的1/3種植白菜，白菜部分佔整塊田幾分之幾？

互動 表達 疑難 總結 「分」外有理 －學生分組，用摺紙方法找出答案 －分組滙報並作出解釋 －重覆類似問題讓學生通過摺紙解答

總結 疑難 互動 表達 「分」外有理 －老師總結，讓學生 　初步認識分數乘分數的意義。

鄭老師的意料之外 解答第一道疑難題時，學生摺出兩種方法，他們是否知道兩者均對呢？ ？

互動 表達 疑難 總結 「分」外有理 老師問學生兩種摺法的結果相同嗎？ 如何證明？ －部份學生表示不相同。 －說相同的用了不同方法解釋 例： 　例： －田的面積相同， 　不同摺法的面積也應相同。 －兩個整體的大小相同，它們　的分數也相同，故兩部分應　相同。

鄭老師的話 較難預計課堂的發展。 課堂會引伸出其他需要處理的問題。 教學的轉變需要時間習慣及掌握。 需要掌握數學知識及敏銳學生學習過程。 教學更富滿足感。

「百」詞「可」辯 香海正覺蓮社佛教正慧小學 文美玉老師

疑難 「百」詞「可」辯 互動 表達 總結 －學生已懂得百分數、分數及小數之間 的互化。 －由大至小排列以上9個數，並說出方 法。 703%、73% 、7.3% 、 、 、 、73 、7.4 、0.074 －學生已懂得百分數、分數及小數之間 　的互化。 －由大至小排列以上9個數，並說出方　法。

互動 「百」詞「可」辯 疑難 表達 總結 －分組討論，學生寫下答案及策略。 －老師到不同組別和學生一起討論。 －學生用了不同策略。 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% －分組討論，學生寫下答案及策略。 －老師到不同組別和學生一起討論。 －學生用了不同策略。 －老師選擇不同答案的組別滙報及解釋，　並進行全班討論。

互動 表達 「百」詞「可」辯 總結 疑難 －策略一：把所有數化作小數然後再比較， 因只需決定小數點位置故較容易，而 化分數則要通分母。 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% －策略一：把所有數化作小數然後再比較，　　　　　因只需決定小數點位置故較容易，而　　　　　化分數則要通分母。 －同學的質疑：為何不化作百分數？把分數 　　　化小數也不容易並欠準確。

互動 表達 「百」詞「可」辯 總結 疑難 －策略二：先把所有數化作百分數，然 後再作比較，可避免化小數時出 現誤差，同時也不需通分母。 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% －策略二：先把所有數化作百分數，然 　　　後再作比較，可避免化小數時出 　　　現誤差，同時也不需通分母。 －同學的質疑：部份百分數中出現分數 　　　，仍需處理。

互動 表達 「百」詞「可」辯 總結 疑難 策略三： －先以直觀找出最大的數 －然後判斷三個分數的大小次序 －再比較兩個大於7的數 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% 策略三： －先以直觀找出最大的數 －然後判斷三個分數的大小次序 －再比較兩個大於7的數 －最後比較少於1的三個數

「百」詞「可」辯 總結 疑難 互動 表達 老師與學生一起總結： －同一問題有不同解決方法 －盡量用快捷及直接方法

張同學及組員的一課

互動 表達 「百」詞「可」辯 總結 疑難 －應否全部化作小數？ 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% －應否全部化作小數？ －張同學一組的質疑：舉例說明分數　化小數過程中會出現誤差。同　　　時分子和分母相除會較困難。

互動 表達 「百」詞「可」辯 總結 疑難 －應否全部化作百分數？ 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% －應否全部化作百分數？ －張同學一組的質疑：舉例說明在　分數化小數時，如需以四捨五入　找近似值，會影響比較的準確性。

互動 表達 「百」詞「可」辯 總結 疑難 －應否全部化作百分數? －張同學一組的質疑：處理含分數的 百分數，可能仍需要把分數化為小數。 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% －應否全部化作百分數? －張同學一組的質疑：處理含分數的　　百分數，可能仍需要把分數化為小數。

互動 表達 「百」詞「可」辯 總結 疑難 －在一些細節上，張同學解釋得不 清晰。 －文老師要求他澄清。 73 > > > 7.4 > > 703% > 73% > 0.074 > 7.3% －在一些細節上，張同學解釋得不　清晰。 －文老師要求他澄清。

文老師的話 學生有能力就數學問題作有質素的討論及辯論。 學生的討論對事不對人。 關注學習差異，以不同程度的問題配合。 顧及概念和思考，也需平衡計算技巧。 教師的角色由權威者到學生的學習伙伴。

我的觀察 學生的個別性浮現，表現出強的自學能力。 課堂後老師有所發現，尤其加深對學生如何學習的認識，並作出深度反思。 老師在固有模式與新的觀念間轉變。 老師面對新的挑戰，包括如何擬題及有效帶動學生互動學習。 你的觀察呢？

教學方式的轉移 強調數學絕對性 的教學： 技巧及法則 答案的對與錯 標準的運算過程 知識傳授 學生足夠的練習 教師清晰的指導 強調數學是由人 共同建構的教學： 概念及意義 學習過程 學生主動探究 從解難中學習 互動學習 教師促進學習

你的課堂小故事呢？

References Ernest, P. (1991). The Philosophy of Mathematics Education, London: Falmer Press. Hiebert et al. (1996). Problem solving as a basis for reform in curriculum and instruction: The case of mathematics. Educational Researcher, 25, 12-21. Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: mathematical knowing and teaching. American Educational Research Journal, 27, 29-63. Thom, R. (1973). Modern mathematics: Does it exist?. In A. G. Howson (Ed.), Developments in mathematical education: Proceedings of the Second International Congress on Mathematics Education (pp. 194-209). Cambridge: Cambridge University Press.

我們的經驗 2005.2 疑難與互動 2004.6 理解與誤解 原來孩子是這樣學習的 2004.2 開放與規範 數學學習的思考空間

不同地方的經驗與方向 Process Standard NCTM 美國 Principles and Standards Number and Operations Algebra Geometry Measurement Data Analysis and Probability Process Standard Problem Solving Reasoning and Proof Communication Connections Representation NCTM 美國 Principles and Standards

不同地方的經驗與方向 具體目標 知識與技能 情感與態度 數學思考 解決問題 國內 義務教育數學課程標準 數學學習總體目標

不同地方的經驗與方向 定義 定理(公式) 例題 習題 問題情境 建立模型 解釋、應用、拓展 國內 義務教育數學課程標準 數學學習總體目標 孔企平﹕對義務教育數學課程標準的分析與反思 國內 義務教育數學課程標準 數學學習總體目標

不同地方的經驗與方向 例﹕完成序列，並說明理由。 0.5， 1.5， 4.5， ______。 例﹕如何測量一個土豆的體積 ﹖ 國內 0.5， 1.5， 4.5， ______。 例﹕如何測量一個土豆的體積 ﹖ 國內 義務教育數學課程標準 數學學習總體目標

不同地方的經驗與方向 國內 義務教育數學課程標準 數學學習總體目標 例﹕你是否喜歡數學﹖ 如果用5, 4, 3, 2, 1 分別代表從最喜歡到最不喜歡 之間的5種程度，你選哪個數﹖說明理由。 (2) 如果小明選擇2，說明甚麼﹖ (3) 如果小立比較喜歡數學，他最可能選擇甚麼﹖ 國內 義務教育數學課程標準 數學學習總體目標

不同地方的經驗與方向 疑難為本教學 問題為本教學 Inquiry-based Learning Task-based Learning Problem Posing Project-based Learning Problem-based Learning …… RELATED AREAS

不同地方的經驗與方向 香港的123 香港的123 整體表現 數學學習的自信心 學習策略的掌握 各範疇表現 記憶策略的掌握 策略的演繹 PISA 2003

我們的經驗 數學課堂的夢想 難處 概念的掌握 信念與角色 數學語言 信心與知識 良好溝通 問題與重心 發展能力 習慣的建立 歸納與提問的技巧 理解與誤解 開放與規範 疑難與互動

重聚日 凝聚各人的智慧 2月26日 9:00-10:50 小四至小六組 11:00-12:50 小一至小三組 交流個人的經驗 彼此支持與鼓勵