实验二 FFT与DFT计算时间的比较及圆周卷积代替线性卷积的有效性实验 一 实验目的 二 实验内容及要求 三 预做实验
一 实验目的 1：掌握FFT基2时间（或基2频率）抽选法，理解其提高减少乘法运算次数提高运算速度的原理。
二 实验内容及要求 1.对N=2048或4096点的离散时间信号x(n)，试用Matlab语言编程分别以DFT和FFT计算N个频率样值X(k), 比较两者所用时间的大小。 2.对N/2点长的x(n)和N/2点长的h(n)，试用Matlab语言编程实现以圆周卷积代替线性卷积，并比较圆周卷积法和直接计算线性卷积两者的运算速度。
三预做实验 1.FFT与DFT计算时间的比较 （1）FFT提高运算速度的原理 （2）实验数据与结论 2.圆周卷积代替线性卷积的有效性实验 （1）圆周卷积代替线性卷积的原理 （2）实验数据和结论
FFT提高运算速度的原理 FFT算法将长序列的DFT分解为短序列的DFT。N点的DFT先分解为2个N/2点的DFT，每个N/2点的DFT又分解为N/4点的DFT，等等。最小变换的点数即所谓的“基数”。因此，基数为2的FFT算法的最小变换（或称蝶型）是2点的DFT。一般地，对N点FFT，对应于N个输入样值，有N个频域样值与之对应。
以基2时间按抽选法为例，分解递推公式为： X1(K)和X2（K）分别对应时间序列 x(n)的的偶、奇序列 N/2点长的DFT，以此方法分解下去，得到两点长N/2为组的离散时间分组结果。在一次由两点DFT复合产生4、8、16……到N点的最后结果。运算量由N*N次降为 次乘法。
实验数据与结论 令N为不同长度的序列时，DFT和FFT的耗时比较： N=512点时： dft_cost_time =0.3750s fft_cost_time =0.0150s N=1024点时： dft_cost_time =2.9220s fft_cost_time =0.1250s N=2048点时： dft_cost_time =23.5000s； fft_cost_time =0.4690s N=4096点时： dft_cost_time =305.9530s fft_cost_time =103.9220s 有上面数据表明，同样长度的信号，DFT耗时要比FFT耗时要少，表明FFT算法的有效性。
圆周卷积代替线性卷积的原理 线性卷积的长度及运算量 ； 用FFT算的步骤； 比较两者乘法运算量 ；
线性卷积的长度及运算量 设一离散线性移不变系统的冲激响应为,其输入信号为.其输出为.并且的长度为L点,的长度为M点,则： 则y(n)的长度为L+M-1。 线性卷积的乘法运算量为LM次，又由于FIR滤波 器 h(n)的特性是对称序列即 因而，乘法运算次数减半，即为LM/2。
用FFT算的步骤
流程图 IFFT FFT
以上各步运算量统计：
比较两者乘法运算量 当h(n)和x(n)长度相当时，若M较短时，e.g.为8，16，32时,圆周卷积的时间大于直接线性卷积的结果；当M=64时，两者的运算速度相当，当M超过64以后，M越长圆周卷积的速度越快。当输入序列x(n)也表现不出来，此时可用重叠相加法和重叠保留法，进行分段卷积，保障圆周卷积的优势。
实验数据和结论 （1）两个长度为N/2=4096/2=2048点的序列直接线性卷积与N点的圆周卷积，两过程的计算时间与计算结果比较 计算时间比较：direct_convolution_time =0.0460s fft_convolution_time =0s 计算结果如下所示
N=4096点时圆周卷积的结果
两个长度为N/2=4096/2=2048点的序列直接线性卷积
（2）两个长度为N/2=8000/2=4000点的序列直接线性卷积与N点的圆周卷积，两过程的计算时间与计算结果比较 计算时间比较：direct_convolution_time =0.1560 fft_convolution_time =0.0160 计算结果如下所示：
两个长度为N/2=8000/2=4000点的序列直接线性卷积
N=8000点时圆周卷积的结果
（3）两个长度为N/2=10000/2=5000点的序列直接线性卷积与N点的圆周卷积，两过程的计算时间与计算结果比较 计算时间比较： direct_convolution_time =0.2500s fft_convolution_time =0.0470s
计算结果比较N=10000点时： 两个长度为N/2=10000/2=5000点的序列直接线性卷积
N=10000点时圆周卷积的结果
数据分析与结论 通过以上三组数据比较，证实了圆周卷积代替线性卷积时所需计算时间要少；且N点圆周卷积比两个N/2点的序列线性卷积的结果多最后一项，而圆周卷积最后一项为零，通过比较其余各项卷积结果，得知均一一对应相等，因此，用圆周卷积代替直接计算线性卷积是有效的。