章末归纳总结

一、知识归纳 1．圆的方程 (1)标准式：圆心在点(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别的，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2； (2)一般式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0　(D2＋E2－4F＞0)．

2．点与圆的位置关系 点P(x0，y0)，圆C：F(x，y)＝0的圆心C(a，b)，半径r，|PC|＝d. 点P在⊙C上⇔F(x0，y0)＝0⇔d＝r. 点P在⊙C内⇔F(x0，y0)<0⇔d<r. 点P在⊙C外⇔F(x0，y0)>0⇔d>r. 其中F(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－r2或F(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F.

3．直线与圆的位置关系 (1)代数法．将直线方程与圆方程联立，消去x(或y)，得到关于y(或x)的一元二次方程，Δ>0⇔直线与圆相交；Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ<0⇔直线与圆相离． (2)几何法．设圆心C到直线距离为d，圆半径为r，则d<r⇔直线与圆相交；d＝r⇔直线与圆相切；d>r⇔直线与圆相离．

(2)几何法：设两圆半径分别为r1，r2，两圆心分别为C1，C2，则 当|C1C2|＞r1＋r2时，两圆相离； 当|C1C2|＝r1＋r2时，两圆外切； 当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切； 当|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2时，两圆相交； 当|C1C2|＜|r1－r2|时，两圆内含．

5．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系通常按右手规则建立． (2)点P的坐标的确定，首先将点P向xOy平面投影为P′，过P′作x轴、y轴的平行线与x轴、y轴各交于一点，进而确定点的坐标． (3)空间两点的距离公式 给出空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)那么

二、方法规律总结 1．判断点与圆的位置关系，直接将点的坐标代入圆的方程，看结果的符号确定． 点P在圆内时，过点P的直线与圆必相交，相交弦长有最大(小)值，其中直径最大，垂直于直径的，即以P为中点的弦长最短． 点P在圆上时，过P点有且仅有一条圆的切线，过切点垂直于切线的直线必过圆心．

点P在圆外时，圆上所有点到点P的距离有最大(小)值；由点P向圆可引两条切线，若用点斜式求切线方程只得出一条，则必漏掉了过P垂直于x轴的那一条；若圆心为C，则两切点连线被PC垂直平分，切线长问题通常通过切点、圆心和点P构成的直角三角形求解．

2．判断直线与圆的位置关系一般用几何法，有时也用代数法，直线与圆相交时，弦长问题主要解“半弦2＋弦心距2＝半径2”；直线与圆相切时，主要通过d＝r求解；直线与圆相离时，圆上所有点到直线的距离有最大(小)值． 3．判断圆与圆的位置关系，主要用|C1C2|与R、r的关系进行． 4．熟悉常见表达式的几何意义，熟练用数形结合法讨论问题．

5．轨迹问题 通过对方程的讨论来研究曲线的性质和根据已知条件求出曲线的轨迹方程，这是解析几何中的两大基本问题，在高考中，为常考的内容之一． 根据已知条件，求出平面内曲线的轨迹方程，是解析几何内容的重点、难点，因此，掌握好求轨迹方程的一般步骤和方法是非常必要的． 求轨迹的常用方法：直接法、代入法(转移法)、待定系数法、参数法等．

(1)直接法：直接法是求轨迹方程最基本的方法．通过直接建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0即是． (2)待定系数法：已知所求曲线是所学过的曲线如：直线、圆等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列方程即得． (3)代入法(又称转移法)：若动点P(x，y)依赖于已知曲线上的另一动点Q(x′，y′)而运动，且可求出关系式x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，于是将这个Q点坐标表达式代入已知曲线的方程，化简后得P点的轨迹方程．

6．求圆的方程时，题设条件的应用 (1)圆过三个点A、B、C，则圆心为直线AB、AC的中垂线的交点P，半径r＝|PA|，或设一般式代入点的坐标解三元一次方程组，求D、E、F. (2)圆过两点A、B，则(一)圆心在AB的中垂线上；(二)设圆的方程将A、B点坐标代入． (3)圆心在已知直线上，(一)考虑圆心是否还在另一条直线上，由两直线方程联立求圆心坐标；(二)设圆心坐标，将圆心坐标用一个参变量表示，如圆心在直线x＋2y－1＝0上可设圆心C(－2b＋1，b)．

(4)圆与直线相切，(一)圆心到切点距离等于圆的半径；(二)圆心到切线距离等于圆的半径；(三)圆心在过切点与切线垂直的直线上；(四)设圆心C(a，b)，若圆与x轴相切，则r＝|b|，若圆与y轴相切，则r＝|a|. (6)圆与定圆相切，要区分内切、外切，考虑|C1C2|与R、r关系．

(7)过直线l：Ax＋By＋C＝0与⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的交点的圆可设为(x－a)2＋(y－b)2－r2＋λ(Ax＋By＋C)＝0. 过两圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2与(x－m)2＋(y－n)2＝R2的交点的圆的方程可设为(x－a)2＋(y－b)2－r2＋λ[(x－m)2＋(y－n)2－R2]＝0.(不包括后一个圆且λ≠－1)

一、圆的方程 [例1]　求与x轴切于点(5,0)，并在y轴上截取弦长为10的圆的方程． [分析]　由于所求的圆与x轴切于点(5,0)，所以圆心必在直线x＝5上，可设所求圆的圆心坐标为(5，b)，显然所求圆半径为r＝|b|. [解析]　解法1：设所求圆的方程(x－5)2＋(y－b)2＝b2，它与y轴交于A(xA，yA)，B(xB，yB)

由韦达定理得 yA＋yB＝2b，yA·yB＝25 ∵|yA－yB|＝10 ∴(yA－yB)2 ＝(yA＋yB)2－4yAyB ＝4b2－100＝100

[例2]　求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．

解法2：同解法1求得A(－1，－1)、B(3,3)． 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.

解法3：设经过已知两圆的交点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)．

解法4：所求圆经过两圆的交点A，B.故圆心必在线段AB的中垂线(即连心线)上，两圆圆心C1(2,0)，C2(0,2)，

总结评述：解法1是求出两已知圆的交点、所求圆的圆心及半径，得出了圆的方程．解法2求出了两已知圆的交点，设出圆的标准方程，用待定系数法求出了圆的方程．解法3是利用过两曲线交点的曲线系方程的特点，利用待定系数法求出λ得出圆的方程．解法4运用平面几何知识求圆心，在不求圆的方程只求圆心时，用此法较为方便． 本例给出以上解法，目的是帮助学生拓展思路，融汇知识．

二、直线与圆的位置关系 [例3]　求过圆x2＋y2－2x＋4y－15＝0上一点P(－1,2)的切线方程． [解析]　解法1：设l：y－2＝k(x＋1)

[例4]　已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P(2，－1)，过P点作圆C的切线PA、PB，A、B为切点． [解析]　(1)设切线的方程为y＋1＝k(x－2)，

解之得：k＝7或k＝－1. 故所求切线PA、PB的方程分别是x＋y－1＝0和7x－y－15＝0. (2)连结AC、PC，则AC⊥AP，在Rt△APC中，

(3)解法1：A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 变形得(x1－1)2＋(y1－2)2＋3y1－x1－5＝0 ∵(x1－1)2＋(y1－2)2＝2 ∴上式可化简为x1－3y1＋3＝0 同理可得：x2－3y2＋3＝0 ∵A、B两点的坐标都满足方程x－3y＋3＝0， ∴直线AB的方程是x－3y＋3＝0.

解法2：∵∠CAP＝∠CBP＝90° ∴A、B两点在以CP为直径的圆上． 即x2＋y2－3x－y＝0 ① 又圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一般方程为： x2＋y2－2x－4y＋3＝0 ②

②－①得：x－3y＋3＝0为直线AB的方程． 解法3：以P为圆心PA为半径的圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8，与⊙C的方程作差得公共弦AB所在直线方程为x－3y＋3＝0.

三、数形结合法

[例6]　(09～10学年湖南邵阳二中高一期末)在圆x2＋y2＝4上与直线4x＋3y－12＝0距离最近的点是(　　)

[点评]　画出直线与圆的草图观察知距离最小的点应在第一象限，故选A.

四、直接法求动点的轨迹方程 [例7]　在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．

五、代入法求动点的轨迹方程 [例8]　已知△ABC，A(－2,0)，B(0,2)，C在曲线y＝3x2－1上运动，求△ABC的重心的轨迹方程． [分析]　由于A、B是定点，C是动点，重心G的运动是由C的运动引起的，而C的轨迹方程已知，故考虑代入法．

六、几何法求轨迹方程 [例9]　互相垂直的两条直线l1和l2的交点为P(a，b)，长为2r的线段MN的两端点分别在l1和l2上滑动，求线段MN的中点Q的轨迹．

总结评述：求轨迹问题不仅要求出轨迹方程，还要指出曲线形状．

七、新定义题型 [例10]　(08·上海文)如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　　)

八、综合问题 [例11]　已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0的两个交点分别为P、Q，O为坐标原点，满足OP⊥OQ，求m的值．