为思维而教，为思维而学 赵思林教授 四川省中小学教学名师讲师团 送教下乡培训项目*高中数学

赵思林个人简介 教授，硕士，硕士生导师，内江师院教研室主任 四川省中青年学科带头人后备人选（1999） 四川省高中数学新课程改革学科专家 任全国初等数学研究会常务理事； 全国数学教育研究会理事； 四川省教育学会中学数学专委会常务理事、学术委员； 内江市数学学会常务理事、秘书长

近30年研究的数学教育问题主要有： 1、初等数学（专题、解题研究，30年） 2、高考数学（立意、特点、类型、背景、设计、评价等，8年） 3、华罗庚，3年 4、思维心理学、脑科学，6年 发表论文或文章140余篇，其中核心期刊20余篇，出版专著（编著）教材3部，参编教材7部

今年我院承担“国培”、“省培”项目 1、2013年四川省高中数学省级骨干教师培训 (第二年) 2、2013年四川省中小学省级骨干教师培训（初中数学） (第三年) 3、“国培计划（2013）”——四川省农村中小学学科带头人短期集中培训项目(小学数学) (第二年)

4、2013年四川省普通高中新课程省级送教项目 （高中数学）（自贡市；巴中市；达州市） 5、“国培计划（2013）”—农村中小学教学名师讲师团送教下乡培训项目 （初中数学）（自贡市；凉山州） 6、“国培计划（2013）”—农村中小学教学名师讲师团送教下乡培训项目 （小学数学）（宜宾市；自贡市；凉山州）

7、“国培计划”——农村中小学教师置换脱产研修项目 （初中数学）（100天） 8、“国培计划”——农村中小学教师置换脱产研修项目 （小学数学）（100天） 9、2013年四川省民族地区中小学教研组长培训项目 （小学数学）

内容提要 一、“为思维而教”的理论依据 1.从课标10大基本理念的核心来看 2.从《大学》之道来看 3.从新高考数学的七大能力来看 二、知识五层次教学理论 三、为思维而教，为思维而学 四、试题赏析 五、友情提示：脑的诉说

一、“为思维而教”的理论依据 三个视角： 视角1：从课标10大基本理念的核心来看 视角2：从《大学》之道来看 视角3：从新高考数学七大能力来看

1.课标10大基本理念的核心 ㈠构建共同基础，提供发展平台； ㈡提供多样课程，适应个性选择； ㈢倡导积极主动、勇于探索的学习方式； ㈣注重提高学生的数学思维能力； ㈤发展学生的数学应用意识； ㈥与时俱进地认识“双基”；

1.课标10大基本理念的核心 ㈦强调本质，注意适度形式化； ㈧体现数学的文化价值； ㈨注重信息技术与数学课程的整合； ㈩建立合理、科学的评价体系． 其核心是什么？ 第四条（提高思维能力）

2.从《大学》之道来看 大学之道，在明明德，在亲民，在止于至善。知止而后有定，定而后能静，静而后能安，安而后能虑，虑而后能得。物有本末，事有始终，知所先后，则近道矣。

《大学》之百度译文 大学的道理，在于彰显人自身所具的光明德性（明明德），再推己及人，使人人都能去除污染而自新（亲民，新民也），而且精益求精，做到最完善的地步并且保持不变。知道了所应达到的境界（目标），才能确定志向；有了志向，心意才能宁静；心意宁静，情性才能安和；情性安和，才能行事思虑精详；思虑精详，处理事物才能恰当。世上万物都有本有末，万物都有始有终，明确了它们的先后秩序，那就与道接近了。

《大学》中几个字的注释 德：古代指“理性” 止：目标，目的 定：方向 静：（心情）平静 安：（情绪）安定 虑：考虑，即思维 得：收获

《大学》揭示了学习的本质 德→止（目标）→定（方向）→静（平静）→安（安定） →虑（考虑即思维）→得（收获） 目标 →方向→心静→安定 →考虑→收获 有目标，才有方向；有方向，心才能静；心静，才能安定；安定，才能考虑问题；考虑问题，才能有所收获。 《大学》揭示了学习的本质在于“虑”

3.从新高考数学七大能力来看 空间想象能力（没有想象就没有创造） 抽象概括能力（数学基本特征） 推理论证能力（合情推理，演绎推理） 运算求解能力（计算） 数据处理能力（统计） 应用意识（坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”） 创新意识（研究型，探索型，开放型）

新高考数学的考查重点 从新高考数学的七大能力（含两种意识）来看，数学能力的核心是数学思维能力 新高考数学的考查重点是学生的数学思维能力

数学思维 思维是人脑对客观事物的本质属性及其内在规律性的概括和间接的反映． 数学思维，就是以数量关系和空间形式为思维对象，以数学的语言和符号为思维的载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维．

“为思维而教”的本质 思维就是想问题．数学思维就是想数学问题，比如想实际问题如何数学化，想数学问题如何解决． 推论：“为思维而教”的本质是为问题而教，为问题解决而教； “为思维而学”的本质是为问题而学，为问题解决而学． 问题：数学好问题的标准？ “三度”

数学思维的分类 数学思维的分类： 直觉思维和逻辑思维（全国考试大纲）； 直觉思维、逻辑思维和形象思维（翁凯庆）； 抽象（逻辑）思维、形象（直感）思维、灵感（顿悟）思维三大类（钱学森，1983-1986）； 逻辑型思维（A）、操作型思维（B）、艺术型思维（C）、交往型思维（D）（查有梁，2003-2004）

查有梁研究员关于思维的分类理论 思维分为4大类：逻辑型（A）、操作型（B）、艺术型（C）、交往型（D）。（查有梁，2003-2004） 人——实物、仪器、机器 逻辑思维（A） 人——语言、数学、逻辑 艺术思维（C） 人——图像、音乐、模型 交往思维（D） 人——调查、统计、讨论 创新思维是逻辑思维、操作思维、艺术思维、交往思维4者的结合

直觉思维 直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力． 庞加莱名言： 直觉用于发明， 逻辑用于证明

数学思维与脑的功能 直觉←→右脑功能←→创造 逻辑←→左脑功能←→计算与推理 培养直觉→开发右脑→提高创造性 创造性是感性（非理性）与理性的统一 培养逻辑→训练左脑→提高理性思维 中国人长期缺乏理性思维的训练，如2011年日本大地震疯买碘盐，飞机上打架，疯买蜡烛，缺乏规则意识，等

理想的数学教学 理想的数学教学是全脑思维的教学． 如，既教猜想又教证明， 既教估算又教精算， 既教概念又教图形， 既教观察又教洞察，等

二、知识五层次教学理论 思想 ↑ 方法 知识 常识 评注：不完整，不完善

二、知识五层次教学理论 智慧 ↑ 思想 方法 知识 常识

二、知识五层次教学理论 智慧 ↑ 思想→靠教、靠学、靠练，不行 方法→靠练（可以练会） 知识→可以教会、可以学会 常识→不教就会，一看就会

二、知识五层次教学理论 智慧 ↑ 思想→靠悟（觉悟，感悟，领悟，顿悟） 方法→靠练 知识→可以教会、学会 常识→不教就会，一看就会

二、知识五层次教学理论 智慧→靠“创造”，靠 “开发元认知”，等 思想→靠“悟”（觉悟，感悟，领悟，顿悟） 方法→靠“练” ↑（有知识、有方法、有思想，才可能创造出智慧） 思想→靠“悟”（觉悟，感悟，领悟，顿悟） ↑（知识、方法的提炼） 方法→靠“练” ↑（用分正用、逆用、联用、变用、创用；方法步骤） 知识→可以“教”会、“学”会 ↑（通过提炼，抽象，公理） 常识→不教就会，一看就会

“悟”的注释 “悟”的原义为“觉醒”、“觉悟”． 《辞海》的注解是：“悟，领会；觉悟．” 对数学的“悟”，是指人在学习和探究数学的活动中突然对数学对象的本质与规律的某一点或整体上的认识、体验与把握，它是一种非理性的直觉思维． “感悟”，就是受到感动而醒悟．

“元认知”的注释 元认知就是“对认知的认知”（董奇）． 元认知是认知的“领导”，是认知的管理者（监控者）、体验者、调节者． 开发学生的元认知是高水平教学的基本特征． 开发元认知的基本方法是总结，反思（包括扪心自问，即自己与自己对话），不断改良、优化，等 ．

三、为思维而教，为思维而学 1.学习的内、外因 学生 内因 外因 教师 数学 学习环境

2.数学学习系统 内因 学生 外因 学习动机 学习方法 记忆能力 数学水平 教学能力 学习条件 教师 教研能力 学习环境 个性魅力 数学 学习氛围 学习材料 学习条件 … … 学习动机 知识基础 学习习惯 学习方法 能力基础 记忆能力 学生 内因 外因 教师 数学 学习环境 数学水平 教学能力 教研能力 个性魅力 抽象性 严谨性 应用性 复杂性

3.问题是数学教学的心脏 “问题是数学的心脏”（哈尔莫斯） 问题是数学教学的心脏 问题是数学学习的心脏 结论：数学教学是基于数学问题和问题解决的教与学 问题导学“七化六步”教学模式 （此模式由西南大学二级教授、博士生导师朱德全教授提出）

4.问题导学课堂的结构：“七化六步” “七化” ：教学思维 “六步”：教学环节 教材内容生活化 生活内容问题化 问题内容学习化 学习内容问题化 问题内容教学化 教学内容思想化 思想内容实践化 ：教学思维 “六步”：教学环节 先讲后问 问后再读 读后再说 说后再教 教中再说 说后再做 （问题导读） （问题导练）　　 教材内容生活化 生活内容问题化 问题内容学习化 学习内容问题化 问题内容教学化 教学内容思想化 思想内容实践化 先讲后问 问后再读 读后再说 说后再教 教中再说 说后再做 （问题导讲）　 （问题导读） （问题导说）　　 （问题导教）　　 （问题导议）　　 （问题导练）　　

5.案例：以生为本的数学教学 以生为本的中学数学课堂教学改革 周伟锋 《高中数学教与学》2010年01期 《人民教育》(京)2009年15/200916期第13～17页 【作者简介】周伟锋，广州市第四中学。

郭思乐教授的生本教育 郭思乐教授的生本教育思想，这一思想和方法在周老师12年的4届从高一到高三的教学中起了很大的作用。在这4届学生中，高考平均分都超过了全市最好的6所重点中学的平均分。特别是第三届学生，周老师在他们高二、高三时共出差三个半月，学生的高考成绩却比对照组超出23.5分。第四届学生，一部分时间周老师请了实习老师用周老师的方法去教学，结果超出的分数更多，达到40多分。

周老师的做法：高一、高二学习新知识，周老师每节课讲授的时间平均不超过15分钟；高三复习课平均不超过10分钟，有的课甚至不超过5分钟。而令人惊讶的是：周老师的学生总是仅用一年半的时间就可以学完整个高中数学课程，比其他学校用两年甚至两年多一点的时间才教完高中数学课程整整提前了半年的时间，

而且周老师的学生的学习还达到了较高的水平。周老师高二的学生在高三学生进行一模考试的同时，用同一份试卷进行测试，结果3届学生都达到了同类学校高三学生的水平。

2003年第一次把高考的时间提前到6月，周老师正好带这届高三毕业班。在2002年9月到2003年6月这短短的9个月中，周老师有4个月的时间要外出学习。怎么办？

周老师想到学生就是最可宝贵的教育资源，于是就把他们发动起来，组建了学习小组。周老师在整体上规划好学习的内容，然后让学生在独立探究后进行小组讨论，以小组合作学习作为这期间的主要课堂教学模式。

对于这样的做法，当时校长、其他老师、学生、家长都充满了疑虑。没想到，高考成绩一出来，这届学生的成绩不但没有下降，还有了一定的提高（笔者前两届学生的高考成绩都在660分左右，这一届却高达673.6分，比省、市重点学校的平均分高出了23分之多）。 这个案例说明了什么？？？

总结：周伟锋教学成功的关键 周伟锋教学大获成功的关键是充分运用了“把教转化为学”的思想。 周伟锋教学的特点： 激活思维的教学， 先慢后快的教学， 讲少思多的教学， 开发学习潜力的教学，等。

四、试题赏析 一个好的例子胜过十个定理 引申：“好题”的标准 会欣赏才会分享 会评才会赢

布鲁姆认知水平层次理论 美国著名教育学家布鲁姆将学生的认知水平分为“识记”、“理解”、“运用”、“分析”、“综合”、“评价”六个层次，这六个层次是按照由低到高、由简单到复杂的顺序排列的。（旧版）

布鲁姆的认知水平的层次（旧版） 评价 ↑ 综合 分析 运用 理解 记忆

布鲁姆的认知水平的层次（新版） 创造 ↑ 评价 分析 运用 理解 记忆

研究高考题的几种视角 视角1：试卷的布局 视角2：试题的立意 视角3：试题的解法 视角4：试题的背景 视角5：试题的推广 视角6：试题的改编 研究高考数学试题的几种视角 赵思林 视角1：试卷的布局 视角2：试题的立意 视角3：试题的解法 视角4：试题的背景 视角5：试题的推广 视角6：试题的改编 视角7：试题的评价

研究视角案例：以2006年全国卷Ⅰ理科第11题为例 用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）． （A） （B） （C） （D） 此题构思精妙、形式新颖、背景公平、内涵深刻，值得探究．本文拟对这个优秀的题目，从试题的立意、解法、背景、推广、改编等角度作一些探究．

1 试题的立意分析 立意是试题的考查目的．高考命题一般以立意为中心，以能力立意命题，就是首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式．高考数学简单地讲是三考：考基础知识，考思想方法，考能力素质．下面我们从考查基础知识、数学思想方法、能力素质等方面分析该题的立意． 以考查基础知识立意：本题以构成三角形的充要条件、三角形面积公式、基本不等式、多元函数的条件最值等高中数学主干知识为考查内容．

以考查思想方法立意：判断构成三角形的充要条件，求多元函数最值，求三角形的面积等基本方法，并考查了分类讨论的思想，化归与转化的思想、数形结合的思想等． 以考查能力素质立意：该题考查了考生的思维能力、运算能力、实践能力和创新意识，占五大能力的80%．该题对思维能力进行了比较全面的考查，既考查了观察、联想、猜想等直觉思维能力，又考查了构成三角形的充要条件、面积公式的选择与应用等逻辑思维能力．考生通过对5根细棒的各

种摆放和拼接的操作，实现了对实践能力考查的目标．本题是一个全新的问题，具有较大的自由度和思考空间，对学生的综合素质（含心理素质）是一大考验，学生只有心情平和、广泛联想、大胆猜想、善于探究，才能用创新思维解决问题． 2 试题的解法 试题的解法主要是指试题的一题多解．一题多解是指对一道试题从不同角度进行探讨，进而得到多种解法，这既能培养学习的兴趣，又能培养思维的发散性、选择性、灵活性、深刻性，还能培养数学探究意识．

解法1 一个三角形的一边长度固定，另外两边长度之和固定，则另外两边长度之差的绝对值越小，这个三角形的面积就越大，这一结论可以借助椭圆直观地观察． 如图，设 的顶点 ， 为椭圆的两个焦点，底边 的长度固定，点 在椭圆上，直观比较可知，点 越是靠近短轴端点， 的高 越大，其面积越大．当 是短轴端点时， 的面积达到最大．

以 表示边长为 ， ， 的三角形的面积，根据上面的结论可知： 把所有的细木棍都用上，只可能出现上面这些边长情况，因此 最大．故当边长为 ， 和 时，面积最大，最大面积为 （ ），选B．

评注 此解法思维量大、运算量大、解题过程长，要在短短的几分钟时间内完整地完成上述推理过程是比较困难的． 解法2 由于只有5根木棒，可将各种情况都列出来，予以比较即可． 以 表示边长为 ， ， 的三角形的面积，把所有的细木棍都用上，只可能出现下面的情况： 通过计算可知，最大面积为 ，选B． 评注 此解法小题大做，运算量太大，不宜提倡．

解法3 当联想到“算术—几何平均值不等式”时，不难知道，“和为定值的几个正数，当它们相等时其乘积最大”．由此我们不难感悟和猜想：对周长一定的三角形，边长越接近时面积越大．从而以 ， ，6作为三角形的三边得到的三角形面积最大，计算这个等腰三角形的面积可知选B． 评注 此解法充分运用直觉思维，思维量大，运算量小，值得提倡．本题体现了“多考点想，少考点算”的命题理念．

3 试题的高等数学背景 试题的背景主要是指题目是否含有高等数学背景．高等数学的一些基本问题、基本思想、基本概念、基本方法为设计高考试题提供了广阔而又深刻的背景，这是因为高等数学的基本思想和方法是考查学生进一步学习潜能的良好素材．以高等数学为背景的题目构思精巧、背景深刻、形式新颖，在课本例习题、复习资料和模拟试题中难以找到，是考查学生创新意识最好的题型之一．解答这类题目没有现成方法可借鉴，会使一些考生感到难以入手，从而使该类题目有很好的区分度，这类试题有利于检测考生学习的潜能，因此，命题教师比较喜欢创作一些含有高等数学背景的试题．

本题的高等数学背景是著名的等周原理． 等周原理1：周长一定的三角形，以正三角形的面 积最大． 等周原理2：周长一定的凸多边形，以正多边形的面积最大． 等周原理3：周长一定的闭曲线，以圆的面积最大．

我们知道，当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这个结论可由等周原理1直接推出．而等周原理1是不难证明的．事实上，根据秦九韶（海伦）公式，设三角形的半周长是，则面积 这就证明上述等周原理1． 需要指出的是，不宜提倡将高等数学的一些定理和背景知识作为教学的补充内容．

4 试题的推广 试题的推广是指对试题进行引申、加强与深化．对试题的推广，有利于促进学生认知的深化，开拓思维的视野，并能培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，还能培养学生的数学探究能力． 下面我们对该题进行推广．

推广1 设 为正整数，用长度分别为 ， ， ， ， （单位：cm）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积． 由前面的解法1可知，以 为底边， 与 为两腰的等腰三角形的面积最大．

推广2 设 ， ，且 ＜ ＜ ＜ ＜ ，用长度分别为 、 、 、 、 （单位：cm）的5根细棒能围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积． 由推广1可知，以 、 、 作为三边构成的三角形的面积最大． 推广3 用长度分别为1、2、3、 、10（单位：cm）的10根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积． 在此问题中，围成三角形的周长为55 cm，则以1+2+4+5+6=18，3+7+8=18，9+10=19作为三角形的三边得到的三角形面积最大．

推广4 用长度分别为3、5、7、9、10、11（单位：cm）的6根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积．

推广6 设为大于6的整数，用长度分别为1、2、3、…、（单位：cm）的 根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积． 猜想：当 时，以 作为三边构成的正三角形的面积最大；

当 时，以 作为三边构成的等腰三角形的面积最大； 当 时，以 作为三边构成的等腰三角形的面积最大． 推广7 设 为正整数， ，用长度分别为1、2、3、…、（单位：cm）的 根细棒围成一个凸 边形（允许连接，但不允许折断），求所得凸 边形的最大面积．

推广8 设 ， ， ， ，且 、 、 、 、 成等差数列，用长度分别为 、 、 、 、（单位：cm）的 根细棒围成一个凸 边形（允许连接，但不允许折断），求所得凸 边形的最大面积． 推广6、7、8的难度较大，此处不拟讨论． 需要说明的是，这么多的推广不可能也不必都要求学生都弄清楚，比如，推广6、7、8就不宜要求学生掌握了，但可以让学生猜一猜结论，猜想的证明或否定留到大学去解决．

5 试题的改编 改编试题的常见方法有加强或削弱题目的条件或结论，变换试题的背景，迁移试题的内容，改变设问的方式等． 5 试题的改编 改编试题的常见方法有加强或削弱题目的条件或结论，变换试题的背景，迁移试题的内容，改变设问的方式等． 改编题1 用长度分别为2、3、4、6、8（单位：cm）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积． 改编题2 用长度分别为1、2、3、、10（单位：cm）的10根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积． 改编题3 用长度分别为3、5、7、9、10、10（单位：cm）的6根细棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求所得三角形的最大面积．

6 试题的评价 好题啊！实在是好题啊！ 通过这道高考试题的多角度探究，笔者认为此题可作为研究性教学的典型范例．需要指出的是，对本题进行研究性教学时，学生可重点研究试题的立意以感悟考查的目的与学习的重点，研究试题的解法以优化解题策略和方法，研究试题的推广以培养探究意识和创新意识，但学生对试题的背景、试题的改编等问题不应深究，对试题的推广不宜深挖．

例1 （2008年福建卷理科第16题）

①整数集是数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域． 其中正确的命题的序号是________.（把你认为正确的命题的序号填上） ②若有理数集 ，则数集 必为数域；

例2 （2010年四川卷文科16题）

例3 2012年四川卷理第7题

理科得分2.06分，难度为0.414 文科得分1.149分，难度为0.23 文科得分太低

例4 某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）： （2010年安徽卷文科18题） 某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）： 61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95， 91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，34

（Ⅰ）完成频率分布表； （Ⅱ）作出频率分布直方图； （Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．

分析： 首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数． （Ⅰ）从略． （Ⅱ）频率分布直方图： （Ⅲ）答对下述两条中的一条即可：

点评： 本题以评价空气质量优劣的“空气污染指数”为情境，立意鲜明，数据真实，（Ⅲ）的设计尤为新颖独特，体现了“数学就在身边”、“数学用于生活”的理念，渗透了环境保护思想．本题考查了频数、频率、频率分布直方图等基础知识，考查了数据处理和统计评价的方法，考查了运用统计知识分析和解决实际问题的能力．

本题（Ⅱ）考查了实践能力（画直方图），由于（Ⅲ）的答案不唯一，具有一定的开放性，这就考查了学生的创新意识，对于这种开放性问题的回答，应先选择适当的数据特征，然后对其分析，最后根据分析做出符合实际情况的结论．

例5

这个数列既不是等差数列，也不是等比数列，甚至除第一、二年外的其它各年相对应的总产量也不具体．因此，本题是无法精确计算的，解答本题只能靠“想”，靠观察、估算和生活经验．

由于“总产量”、“年平均产量”属于日常生活概念，在电视、报纸、教材、网络上频频出现，学生对它们非常熟悉．因为日常生活概念是学生生活经验的一部分，而生活经验对学生理解数学来说是非常重要的感性知识，所以，本题暗含考查“数学基本活动经验”．

五、友情提示：脑的诉说 教学应该是基于脑的、适于脑的、开发脑的、保护脑的 教育的本质在于激活大脑 休息即学习（看似休息，实际在学习） 看似学习，实则休息 过度训练或大脑休息不良或输入信息太大，大脑易产生类似于电脑的“死机”现象

熟能生什么？ 熟能生巧吗 熟能生厌吗 熟能生笨吗 过于频繁的缺乏针对性的全面考试，会产生“频繁揭锅盖导致夹生饭”现象

谢谢！