3.1.2 Bezier 曲线与曲面 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.1.2.1 Bezier曲线的定义和性质 1．定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则 Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： 其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基函数： 0=1, 0!=1 曲线实例如右图所示。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

2．Betnstein基函数的性质 （1）正性 （2）端点性质 （3）权性 由二项式定理可知： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和 函数线性组合而成。 因为， （4）对称性 因为 （5）递推性。 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和 函数线性组合而成。 因为， 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

（6）导函数 （7）最大值。 在 处达到最大值。 （8）升阶公式 （9）积分 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3．Bezier曲线的性质 （1）端点性质 a.）曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0 ； 当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相 应的特征多边形的起点、终点重合。 b.）切矢量 因为， 所以当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时， P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线 方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导 矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。 c.）二阶导矢 当t=0时， 当t=1时， 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导 矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。 将 、 及 、 代入曲率公式 ，可以得到Bezier 曲线在端点的曲率分别为： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为： 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： 例如： d.）k阶导函数的差分表示 n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为： 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： 例如： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

（2）对称性。由控制顶点 构造出的新Bezier曲线， 与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

（3）凸包性 由于 ，且 ，这一结果说明当t在 [0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的 加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着Bezier 曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在 Pi构成的凸包之中，如图3.1.9所示。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化 的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点 的 位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有： （变量u是t的置换） （5）变差缩减性。若Bezier曲线的特征多边形 是一个平 面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与 其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质 反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说 Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

（6）仿射不变性 对于任意的仿射变换A： 即在仿射变换下，的形式不变。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.1.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法 计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不同 的点。过 和 点的两切线交于 点,在 点的切线交 和 于 和 ，则如下比例成立： 这是所谓抛物线的三切线定理。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有： t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二 条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得： 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

由此得到Bezier曲线的递推计算公式： 义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1， P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控 制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为 分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与 P1n-1的线性组合： 由此得到Bezier曲线的递推计算公式： 这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：是定义Bezier 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

曲线的控制点， 即为曲线 上具有参数t的点。de Casteljau算 法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算 Bezier曲线的基本算法和标准算法。 当n=3时，de casteljau算法递推出的Pki呈直角三角形，对应结 果如图3.1.11所示。从左向右递推，最右边点P30即为曲线上的 点。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数 ，就把定 义域分成长度为 的两段。依次对原始控制多边形每一边执 行同样的定比分割，所得分点就是由第一级递推生成的中间顶 点 , 对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定 比分割，得第二级中间顶点 。重复进行下去，直到n级 递推得到一个中间顶点 即为所求曲线上的点 ，如图3.1.12 所示。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.1.2.3 Bezier曲线的拼接 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。 这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数 的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中， 一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相 互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段 Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1,. , n) 和Qj(j=0,1,. , m)，且令 ，如图3 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0； （2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三 点共线，即： （3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下， 并满足方程 。 我们将 、 和 ， 、 代入，并整理， 可以得到： 选择 和 的值，可以利用该式确定曲线段 的特征多边 形顶点 ，而顶点 、 已被 连续条件所确定。要达到 连 续的话，只剩下顶点 可以自由选取。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

如果从上式的两边都减去 ，则等式右边可以表示为 和 的 线性组合： 如果从上式的两边都减去 ，则等式右边可以表示为 和 的 线性组合： 这表明 、 、 、 和 五点共面，事实上，在接合点两条 曲线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断定： 位 于直线 的同一侧。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.1.2.4 Bezier曲线的升阶与降阶 1．Bezier曲线的升阶 曲线升阶后，原控制顶点会发生变化。下面，我们来计算曲线提升一阶后的新的控制顶点。 设给定原始控制顶点 ，定义了一条n次Bezier曲线： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为 ，则有： 增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为 ，则有： 对上式左边乘以 ，得到： 比较等式两边 项的系数，得到： 化简即得： 其中 。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

新的控制顶点 是以参数值 按分段线性插值从原始特征多边形得出的。 升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内 特征多边形更靠近曲线。 此式说明： 新的控制顶点 是以参数值 按分段线性插值从原始特征多边形得出的。 升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内 特征多边形更靠近曲线。 三次Bezier曲线的升阶实例如图3.1.14所示。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

2．Bezier曲线的降阶 降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点 定义的n次Bezier曲线，要求找到一条由新控制顶点 定义的n-1次Bezier曲线来逼近原始曲线。 假定 是由 升阶得到，则由升阶公式有： 从这个方程可以导出两个递推公式： 和 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.1.2.5 Bezier曲面 基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲 面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到 Bezier曲面的情况。 1．定义 设 为 个空间点列，则 次张量积形式的 Bezier曲面定义为： 其中 ， 是Bernstein基函数。依次用线段连接点列 中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

Bezier曲面的矩阵表示式是： 在一般实际应用中， 不大于4。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier 曲面： 2．性质 除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier 曲面： （1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面 的四个角点，即 ， ， ， 。 （2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且 、 、 和 （图3.1.15打上斜线的三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关；…。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

（3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片 分别由控制顶点 和 定义。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

如果要求两曲面片达到 连续，则它们有公共的边界，即： （3.1.10） 于是有 。 如果要求两曲面片达到 连续，则它们有公共的边界，即： （3.1.10） 于是有 。 如果又要求沿该公共边界达到 连续，则两曲面片在该边界上 有公共的切平面，因此曲面的法向应当是跨界连续的，即： （3.1.11） 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

下面来研究满足这个方程的两种方法。 （1）鉴于（3.1.10）式，（3.1.11）式最简单的取解是： （3.1.12） 这相当于要求合成曲面上v为常数的所有曲线，在跨界时有切 向的连续性。为了保证等式两边关于v的多项式次数相同，必 须取 （一个正常数）。于是有： 即 。 （2）（3.1.12）式使得两张曲面片在边界达到 连续时，只涉及曲面 和 的两列控制顶点，比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面的边界，u向和v向是光滑连续的。实际上，该式的限制是苛刻的。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

为了构造合成曲面时有更大的灵活性，Bezier在1972年放弃把（3.1.12）式作为 连续的条件，而以 （3.1.13） 来满足（3.1.11）式，这仅仅要求 位于 和 所在的同一个平面内，也就是曲面片 边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了。 同样，为了保证等式两边关于v的多项式次数相同， 须为任意正常数， 是v的任意线性函数。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

4．递推(de Casteljau)算法 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法，可以推广到Bezier曲面 的情形。若给定Bezier曲面特征网格的控制顶点 和 一对参数值 ，则： (3.1.14) (3.1.15) 或 (3.1.16) 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

(3. 1. 15)与(3. 1. 16)中的下标 的变化范围已在(3. 1. 14)式中给出。上面给出了确定曲面上一点的两种方案。当按(3 (3.1.15)与(3.1.16)中的下标 的变化范围已在(3.1.14)式中给出。上面给出了确定曲面上一点的两种方案。当按(3.1.15)式方案执行时，先以u参数值对控制网格u向的n+1个多边形执行曲线de Casteljau算法，m级递推后，得到沿v向由n+1个顶点 构成的中间多边形。再以v参数值对它执行曲线的de Casteljau算法，n级递推以后，得到一个 ，即所求曲面上的点 。也可以按(3.1.16) 式方案执行，先以v参数值对控制网格沿v向的m+1个多边形执行n级递推，得沿u向由m+1个顶点 构成的中间多边形。再以u参数值对它执行n级递推，得所求点 。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.1.2.6 三边Bezier曲面片 与上一节定义在矩形域上的 Bezier曲面片不同，本节介绍的三 边Bezier曲面片是定义在三边形域 上的，如图3.1.17所示，为了便 于区分，我们把上一节介绍的 Bezier曲面片称为四边Bezier曲面 片。三边曲面片能够较好地适应 不规则与散乱数据的几何造型及 适合有限元分析中的三边元素的 需要。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

三角域内一点可以用面积坐标（或重心坐标）来表示，如图 3.1.18所示。 1．三角域内点的表示 三角域内一点可以用面积坐标（或重心坐标）来表示，如图 3.1.18所示。 G是三角形ABC内的任意一点，其面积坐标为 。令 三角形ABC面积为s，三角形GBC面积为 ，三角形GCA面积 为 ，三角形GAB面积为 ，则： ，这里所指的三角形面积是有向面积，按顶点字母顺序，顺时 针旋转为正，逆时针旋转为负。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

三个坐标分量u、v和w只有两个是独立的，因为u+v+w=1 。 三角形ABC称为域三角形，或称为三角域。 2．三角域上的Bernstein基 单变量的n次的Bernstein基 由 的二项 式展开各项组成。双变量张量积的Bernstein基由两个单变量的 Bernstein基各取其一的乘积组成。而定义在三角域上的双变量 n次的Bernstein基由 的展开式各项组成。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

Bernstein基函数： 其中i+j+k=n，且i，j，k≥0。可见，三角域上n次Bernstein基共包含了 个基函数，可以用一个三角阵来排列这些基函数。例如，n=2时如图3.1.19所示。其位于同一条线上的那些基函数实际是单变量的。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

三角域上Bernstein基同样具有规范性、非负性与递推性。其 递推关系为： 三角域按Bernstein基的三角阵列相应划分成子三角域，其中 诸直线交点同样地称为节点。节点与基函数一一对应。每个结 点也由三个指标确定，如图3.1.20所示，它们分别与三参数u， v，w相联系。 三角域上Bernstein基同样具有规范性、非负性与递推性。其 递推关系为： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

使一个基函数联系一个控制顶点，一张n次三边Bezier曲面片必须由构成三角阵列的 个控制顶点 定义。因此，我们可以写出曲面片的方程： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

当固定三参数之一时，将得到曲面片上一条等参数线。例如，当w固定，让u独立地变化，则得到一条u线；若让v独立地变化，则得到v线，两者实际是同一条曲线。因此，曲面片上有三族等参数线。当三参数之一为零时，则得曲面片的一条边界线，它由相应那排边界顶点定义，就是一般所指的一条非有理n次Bezier曲线。当三参数之一为1时，则得三边曲面片的一个角点，就是控制网格三角顶点之一。可见，三边Bezier曲面片与四边Bezier曲面片具有类似的性质。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

与定义在矩形域上的四边Bezier曲面片的差别在于： 1）定义域不同； 2）控制网格不同，后者由呈矩形阵列的控制顶点构成； 4）四边Bezier曲面片是张量积曲面，三边Bezier曲面片是非张量积曲面，这是本质差别。 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

4．三边Bezier曲面片与四边Bezier曲面片的转化 由于三边Bezier曲面与四边Bezier曲面有不同的基函数和定义方法，当在同一个CAD系统中使用这两种类型的曲面片时，会带来不相容的困难。1996年，S.M. Hu给出了两种曲面片的转化方法。 S.M. Hu的方法是将一张三边Bezier曲面片转化为三张相同次数的四边Bezier曲面片，且各曲面片之间能够很好地匹配。如图3.1.22（a），假定三边Bezier曲面片定义域为D，在D的三条边上各取一点（不包括三个顶点） 、 和 ，再在三角形 内取一点 ，则线段 、 和 将D分成三个四边形 、 和 ，与三线段对应的曲线将该三边Bezier曲面片分成三张四边Bezier曲面片。下面，我们给出上的四边Bezier 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

曲面片的表示， 和 上曲面片的表示则与在上类似。 曲面片的表示， 和 上曲面片的表示则与在上类似。 我们选取 如图3.1.22（b）所示。为了方便起见，并将 写为 ， 写为 ，则三边Bezier曲面片方程可以写为： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

则三边Bezier曲面片方程可进一步表示为： 如果我们还引入下列运算符： 不变运算符 移位运算符 差分运算符 则三边Bezier曲面片方程可进一步表示为： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

定义在 上的 的裁剪曲面可由n×n次的四边Bezier曲面片表示，其控制顶点为： 其中 分别是 、 和 的坐标。于是，定义在 上的四边曲面片可表示为： 清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础