第二章 控制系统的数 学模型 烟台大学光电学院
§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换 2.1.1 傅立叶级数 一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数f(t)可以展开成傅立叶级数的形式： n=0 —— 直流分量 n=1 ——基波谐波 n=2 ——二次谐波 ：
傅立叶级数的物理意义： 例1： 求周期方波的傅立叶级数展开式。（P19）
方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种不同频率的谐波可以合成方波。
各种不同频率的谐波可以合成方波。所含谐波越多，越接近方波。低次谐波影响顶部，高次谐波影响跳变沿。
Dirichlet条件 周期函数能展成傅立叶级数必须满足Dirichlet条件： （1）在一个周期内只有有限个不连续点； （2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值 （3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积， 即： 第3讲
2.1.2 傅立叶变换 对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级数的形式，引入傅立叶变换： 傅立叶变换存在的充分条件：信号f(t)满足绝对可积，即：
例2：
2.1.2 拉普拉斯变换 对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件，但引入一衰减因子 后，可以满足绝对收敛的条件。 对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件，但引入一衰减因子 后，可以满足绝对收敛的条件。 例如：阶跃函数1(t)不满足 但增加衰减因子后，满足 则： 令：s=σ＋jω 则得到拉普拉斯变换。
1.拉普拉斯变换
2.常用函数拉普拉斯变换（P28表2－3） ★
3. 拉普拉斯变换基本性质（P28表2－2） 基本运算 原函数 象函数 1 线性 2 时域平移 3 尺度变换 4 对t微分（P23） 6 对s微分
3. 拉普拉斯变换基本性质（续） 基本运算 原函数 象函数 7 对s积分 8 s域平移 9 初值 10 终值 11 卷积
4. 拉普拉斯逆变换 已知象函数F(s)，求原函数f(t) 查表法（P28表2－3） 部分分式展开法 √ 留数法
部分分式展开法 F(s)化成下列因式分解形式： (1) F(s)中具有不同的极点时，可展开为
例3:求 的原函数f(t)。 解：
(2) F(s)含有多重极点时，可展开为
例4:求 的原函数f(t)。 解：
例5：求函数 的逆变换 解：