第2讲 填空题的做法 1.填空题的类型 填空题是高考中客观性题型之一，一般有四至五道 题，填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以 及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结 构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解 过程而只需要写出结论等特点.从填写内容看，主要 有两类：一类是定量填写，一类是定性填写.

2.填空题的特征 填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需要将 结论直接写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的 区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解 答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不 足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题 或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件， 也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考 查方法比较灵活.

从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因 为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达 式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求 在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出 具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空 题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则 必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫. 3.解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、特例法、数 形结合法等.

一、 直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法. 例1 （2009·海口模拟）在等差数列{an}中，a1=-3，11a5=5a8-13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为 . 思维启迪 计算出基本量d，找到转折项即可.

解析 设公差为d，则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13， ∴数列{an}为递增数列. 令an≤0，∴-3+（n-1）· ≤0，∴n≤ ， ∵n∈N*， ∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6=- . 答案

探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值. 变式训练1 （2009·全国Ⅰ理，14）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72，则a2+a4+a9= . 解析 设等差数列的首项为a1，公差为d, 则a2+a4+a9=a1+d+a1+3d+a1+8d=3(a1+4d), 又S9=72，∴S9=9a1+ d=9(a1+4d)=72, ∴a1+4d=8,∴a2+a4+a9=24. 24

二、 特例法 特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行.当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效. 例2 （2009·东营调研）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则 = . 思维启迪 由题意知，本题结果与△ABC的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可.

解析 方法一 取特殊值a=3,b=4,c=5，则cos A= ,cos C=0, . 方法二 取特殊角A=B=C= ,cos A=cos C= , . 答案

探究提高 特殊化是求解填空题的常用技巧之一，当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧.在解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等）进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程.

变式训练2 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|= ，则 · = . 解析 特殊化，取a=1,b=0,c=- , 设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则 x1=x2= ,y1·y2=- × =- , ∴ · =x1x2+y1y2= - =- .

三、 转化法 有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，从而将问题解决. 例3 若数列{an}中，a1=1,an+1=3Sn(n≥1)，则Sn= . 解析 方法一 ∵an+1=3Sn(n≥1), ① ∴an=3Sn-1(n≥2), ② ①-②得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n≥2), ∴an+1=4an(n≥2)，又∵a2=3S1=3a1=3， ∴ =4(n≥2)，∴a2,a3,…,an是首项为3，公比为4的等比数列，

∴Sn= ∴当n=1时，4n-1=1，即Sn=4n-1(n≥1). 方法二 ∵an+1=3Sn(n≥1)， ∴Sn+1-Sn=3Sn（n≥1），即Sn+1=4Sn（n≥1）， 又S1=a1=1，∴ =4（n≥1）， 即{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列. ∴Sn=4n-1（n≥1）. 答案 4n-1

探究提高 以上两种解法体现了对关系式an+1=3Sn （n≥1）的两种不同的处理方法，方法一是消去Sn，此时要用变量观点看待关系式an+1=3Sn（n≥1），先得到其姊妹式an=3Sn-1（n≥2），然后通过两式相减得到an+1与an的关系式，再对an+1与an的关系式进行处理，求出{an}的通项公式，进而求出Sn.方法二是利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1从而得到Sn+1与Sn的关系式，通过研究数列{Sn}的特性，再求出其通项公式.

变式训练3 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： 解析 据表中可得c=-6,ax2+bx+c=0的两根分别为 x1=-2,x2=3,∴ =-6得a=1,- =-2+3得b=-1 ∴y=x2-x-6,∴x2-x-6>0的解集是(-∞,-2)∪(3,+∞). x -3 -2 -1 2 3 4 y 6 -4 -6 (-∞,-2)∪(3,+∞)

四、 图象分析法（数形结合法） 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显.由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案.事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用图解法解题既浅显易懂，又能节省时间.利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容.

例4 已知A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，若CB，则实数a的取值范围为 . 解析 ∵y=2x+3在［-2,a］上是增函数， ∴-1≤y≤2a+3，即B={y|-1≤y≤2a+3}. 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如图所示.

①当-2≤a<0时，a2≤z≤4，C={z|a2≤z≤4}, 要使CB，只需2a+3≥4，得a≥ 与-2≤a<0矛盾； ②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C={z|0≤z≤4}，要使CB，由图可知： 只需 解得 ≤a≤2;

③当a>2时，0≤z≤a2，即C={z|0≤z≤a2}, 要使CB，只需 解得2<a≤3; ④当a<-2时，A=.此时B=C=，则CB成立. 综上所述，a的取值范围是（-∞,-2）∪［ ,3］. 答案 （-∞,-2）∪[ ,3] 探究提高 解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.

变式训练4 若a≥0，b≥0，且当 时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于 . 解析 平面区域如图所示，

令目标函数z=ax+by, ∵恒有ax+by≤1，∴zmax≤1，而z=ax+by是一组斜率为- 的直线，因为b>0，所以直线越向上z值越大， 当- >-1时，z在A点取最大，zmax=b≤1, 当- <-1时，z在B点取最大值zmax=a≤1， ∴a,b满足 平面区域为边长为1的正方形，面积为1. 答案 1

五、 构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.

例5 函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= . 解析 分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式, f(x)=1+ ,f(x)-1为奇函数， 则m-1=-（M-1），∴M+m=2. 2

探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用 探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.

变式训练5 已知定义在R上的函数y=f（x）满足 f（x+ ）=-f（x）且函数y=f（x- ）为奇函数，则下列命题中错误的是 . ①函数f（x）的最小正周期是3 ②函数f（x）的图象关于点（- ,0）对称 ③函数f（x）的图象关于y轴对称 ④方程f（x）=0在区间［0，2 004］上恰有668个根 解析 方法一 （逆向思维法）由f（x+ ）=-f(x),得 f（x+3）=f（x）,故①为真；因函数y=f（x- ）为奇函数，其图象关于原点O对称，将y=f（x- ）的图象向左平

移 个单位，得到y=f(x) ，所以函数y=f(x)的图象关于点 得f（-x- ）=-f（x- ）, 用x- 替换上式中的x,得f（-x）=-f（x- ）. 又知f（x- + ）=-f（x- ）,则f(-x)=f(x),即f（x）为偶函数，则③为真；对④，由①、②、③，画出图形，不难判断在区间［0，2 004］上有1 336个根. 方法二 （构造函数法）由题意构造函数f(x)= sin（ x+ ）+k，因为f(x)的最小正周期为3，所以 = ，因为函数y=f（x- ）为奇函数,所以f（-x- ）

=-f(x- )，所以sin［ (-x- )+ ］+k=-sin［ (x- )+ ］-k,所以k =0, = ，所以f (x)=-cos x，易知选项①、②、③为真，故选④ 答案 ④

规律方法总结 1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果. 2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面： （1）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确； （2）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论； （3）要重视对所求结果的检验.

1.（2009·北京理，14）已知数列{an}满足：a4n-3 =1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 009= ,a2 014= . 解析 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a1 007=a252×4-1=0. 1 2.已知函数f(x)= ,那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f +f +f = . 解析 ∵f（x）+f = = =1 ∴f（1）+f（1）=f（2）+f =f（3）+f =f（4）+f =1.∴原式=

3.曲线方程|x2-1|=x+k的实根随k的变化而变化，那 么它的实根的个数最多有 个. 解析 如图所示，参数k是直线 y=x+k在y轴上的截距，通过观察 直线y=x+k与y=|x2-1|的公共点的 变化情况，并通过计算可知，当 k<-1时，有0个实根；当k=-1时， 有1个实根；当-1<k<1时，有2个实根； 当k=1时，有3个实根；当1<k< 时，有4个实根; 当k= 时，有3个实根；当k> 时，有2个实根. 综上所述，可知实根个数最多为4个. 4

4.离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”. 设 =1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它 的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 ∠ABF = . 解析 本题主要考查“优美椭圆”的相关知识， 它必然具有椭圆的相关性质，不妨设c= -1， a=2，B为椭圆的短轴的一个上端点，则b= . 有F（1- ，0），A（2，0），B（0， ）. 所以 =（2，- ）, =(1- ,- ). 则 · =0，所以夹角为90°，即∠ABF=90°. 90°

5.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比 数列，则 = . 解析 由已知得 =a1a9,∴(a1+2d)2=a1(a1+8d), ∴a1=d, ∴ . 6.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点 为H， =m（ ）,则实数m= . 解析 （特殊值法）当∠B=90°时，△ABC为直角 三角形，O为AC中点. AB、BC边上高的交点H与B重合. ，∴m=1. 1

7.圆x2+y2=1的任意一条切线l与圆x2+y2=4相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点，O为坐标原点，则x1x2+y1y2= . 解析 如图，△AOB中，OA=OB=2， OC⊥AB，OC=1， 因此∠AOB=120°. 所以x1x2+y1y2= · =| || |cos 120°=-2. -2

8.直线y=kx+3k-2与直线y=- x+1的交点在第一象 解析 因为y=kx+3k-2，即y=k(x+3)-2，故直线过 定点P（-3，-2），而定直线y=- x+1在两坐标轴 上的交点分别为A（4，0），B（0，1）.如图所 示，求得 <k<1. <k<1

9.设f(x)= 若方程f(x)=x有且仅有 两个实数解，则实数a的取值范围是 . 解析 先给a一个特殊值，令a=0，可画出x≤0时 的图象.当0<x≤1时，f(x)=2-(x-1)，可以画出（0， 1］内的图象，实际是将（-1，0］内的图象右移一 个单位后得到的.以此类推可画出，当x>0时的图 象，其图象呈周期变化，然后再由参数a的意义使 图象作平移变换，由此确定-a的取值范围，最后求 出a的取值范围. （-∞,2）

10.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式 f(x)>-x的解集为（1，2），若f(x)的最大值为正 数，则a的取值范围是 . 解析 二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式 f(x)>-x的解集为（1，2），即不等式f(x)+x>0的 解集为(1,2),则设f(x)+x=a(x-1)(x-2)(a<0), 即f(x)=ax2-(3a+1)x+2a(a<0). 又f(x)的最大值为正数， 则 解得a∈(-∞,-3-2 )∪(-3+2 ,0). （-∞,-3-2 ）∪(-3+2 ,0)

11.不等式 >x的解集为 . 解析 令y1= ,y2=x，则不等式 >x的解 就是使y1= 的图象在y2=x的上方的那段对应 的横坐标.如图所示： 不等式的解集为{x|xA≤x<xB}， 而xB可由 =x解得xB=2，xA=-2, 故不等式的解集为{x|-2≤x<2}. {x|-2≤x<2}

12.已知函数f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于直线 y=x对称，令h(x)=f(1-|x|),则关于函数h（x）有 下列命题： ①h(x)的图象关于原点（0，0）对称； ②h（x）的图象关于y轴对称； ③h（x）的最小值为0； ④h（x）在区间（-1，0）上单调递增. 其中正确的命题是 （把正确命题的序号都 填上）. ②④ 解析 由题意h（x）=log2（1-|x|）为偶函数，故②正确∵log2(1-|x|)≤log21=0,∴h（x）的最大值为0，③错，当-1<x<0时，h(x)=log2(1+x),∴④正确.

13.若a=(1, )，|a-b|=1，则|b|的取值范围 是 . 解析 方法一 （换元法） ∵|a-b|=1， 设a-b=（cos ,sin ），则b=a-(cos ,sin ) =(1, )-(cos ,sin )=(1-cos , -sin ), ∴|b|= = = ,∴1≤|b|≤3.

方法二 （利用向量模的几何意义）如图所示， 设b=(x,y),则a-b=(1-x, -y),∵|a-b|=1, ∴(1-x)2+( -y)2=1,即(x-1)2+(y - )2=1,又 ∵|b|= , ∴|b|的取值范围即为圆(x-1)2+(y- )2=1上的点到原点距离的最大值和最小值之间的值.

∴|b|max= +1=3,|b|min= -1=1， 方法三 （数形结合）如图所示，因为a=(1, ),所以a= 的端点A在以原点为圆心， 2为半径的圆上，因为|a-b|=1，所 以a-b= 的端点B在单位圆上，b= a- = - = ，由图可知1≤ |b|≤3.

14.已知Sk、Sk′分别是等差数列{an}、{bn}的前k项 和（k是正整数），若a1+b1=-4,Sk+Sk′=0，则 ak+bk的值为 . 解析 方法一 直接应用等差数列求和公式Sk= 方法二（特例法）由题意可取k=2（注意： k≠1 ），于是有a1+a2+b1+b2=0，因而a2+b2 =4，即ak+bk=4. 4

15.对于满足0≤p≤4的一切实数x，不等式x2+px＞ 解析 由不等式x2+px＞4x+p-3恒成立. 得（x-1）p+x2-4x+3＞0恒成立. 构造函数f（p）=（x-1）p+x2-4x+3. 当x=1时，f（p）=0，不满足f（p）＞0. ∴f（p）表示p的一次函数， ∵p∈［0，4］ ∴函数f（p）的图象是一条线段，要使f（p）＞0 在［0，4］上恒成立，需满足 ，

所以x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）. 即 解得x＜-1或x＞3. 所以x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）. 答案 （-∞，-1）∪（3，+∞） 返回