第2章 光的衍射 （ Diffraction of Light） §2.1 惠更斯-菲涅尔原理 §2.1.1 光的衍射现象 第2章 光的衍射 （ Diffraction of Light） 光的干涉是研究两列或两列以上光波的相互叠加问题。光的衍射研究光波本身传播行为，它进一步揭示了光的波动性的本质。 §2.1 惠更斯-菲涅尔原理 §2.1.1 光的衍射现象 一切波动都能绕过障碍物向背后传播性质。 例如，户外的声波可绕过树木，墙壁等障碍物而传到室内，无线电波能够绕过楼房，高山等障碍物而传到收音机、电视里等。

波遇到障碍物时偏离原来直线传播方向的现象称为波的衍射。 通常看来，光是沿直线传播的，遇到不透明的障碍物时，会透射出来清晰的影子，而前一章光的干涉现象已经证实了光是有波动性的。因而光应该具有衍射现象。衍射和直线传播似乎是矛盾的，应怎样来解释这个矛盾？ 首先我们来做一个实验，让一单色强光源（激光）发出的光波，通过半径为且连续可调的小圆孔后，则在小圆孔后的屏上将发现：当足够大时，在屏上看到的是一个均匀照明的光斑，光斑的大小为圆孔的几何投影。这与光的直线传播相一致。如图

* 随着的逐渐变小，屏上的光斑也逐渐减小，但当园孔减小到一定程度时，屏上的光斑将逐渐扩展，弥漫。 衍射屏 观察屏 S a 光强出现分布不均匀，呈现出明暗相间的同心圆环，且圆环中心出现时亮时暗的变化。 光斑的扩展弥漫，说明光线偏离了原来的直线传播，绕过障碍物，光强分布不均匀，这种现象称为光的衍射。 S

衍射屏 观察屏 再来做一个实验，用一束激光照射宽度连续可调的竖直狭缝，并在数米外放置接受屏，也可得到衍射图样。 * S 返回 逐渐减狭缝的宽度，屏上亮纹也逐渐减小，当狭缝的宽度小到一定程度，亮纹将沿于狭缝垂直的水平方向扩展。同时出现明暗相间的衍射图样，中央亮纹强度最大，两侧递减，衍射效应明显，缝宽越窄，对入射光束的波限制越厉害，则衍射图样扩展的越大，衍射效应越显著。

如图 总结上述实验，光的衍射现象有如下规律 ： 若转动上述实验中狭缝的取向，则衍射图样也随之转动，其扩展方向总将保持与缝的方向正交。 1. 光在均匀的自由空间传播时，因光波波面未受到限制，则光沿直线传播。当遇到障碍物时，光波面受限，造成光强扩展，弥漫，分布不均匀，并偏离直线传播而出现衍射现象。

2.光波面受限越厉害，衍射图样扩展越显著。光波面在衍射屏上哪个方向受限，接受屏上的衍射图样就在哪个方向扩展。 3.衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和波长的相对大小，只有障碍物的线度和波长可以相比拟时，衍射现象才明现地表现出来。

光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进这种偏离直线传播的现象称为光的衍射现象。

克里斯蒂安·惠更斯 惠更斯： (ChristianHaygen，1629—1695) 　　荷兰物理学家、数学家、天文学家。1629年出生于海牙。1655年获得法学博士学位。 1663年成为伦敦皇家学会的第一位外国会员。克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens 1629-1695）是与牛顿同一时代的科学家，是历史上最著名的物理学家之一，他对力学的发展和光学的研究都有杰出的贡献，在数学和天文学方面也有卓越的成就，是近代自然科学的一位重要开拓者。　　

1.波线 2.波面 3.波前 波面 波前 波线 由波源发出的，指向波的传播方向的射线为波线。 平面波 振动相位相同的各点组成的曲面。 波面 某一时刻波动所达到最前方的各点所连成的曲面。 球面波

1.介质中波动传播到的各点，都可看成发射球面子波的子波源（点波源）。 §2.1.2 惠更斯原理 1.介质中波动传播到的各点，都可看成发射球面子波的子波源（点波源）。 2.以后的任意时刻这些子波的包络面就是新的波前。 t+ t t 时刻波面 t+t时刻波面 ut 波传播方向 平面波 球面波

利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射。 衍射：波在传播过程中，遇到障碍物时其传播方向发生改变，绕过障碍物的边缘继续传播。 波达到狭缝处，缝上各点都可看作子波源，作出子波包络，得到新的波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。

当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。 衍射现象是波动特征之一。 水波通过狭缝后的衍射图象。 惠更斯原理可以解释衍射现象，但不能计算波的强度分布。

当波传播到两种介质的分界面时，一部分反射形成反射波，另一部分进入介质形成折射波。 1.反射定律 ①.入射线、反射线和界面的法线在同一平面上；

②.反射角等于入射角。 （证明略） 2.折射定律 --斯涅耳定律 ①.入射线、折射线和界面的法线在同一平面上； ②.

由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、B点达到界面发射子波， 经t后， B点发射的子波到达界面处D点， A点的到达C点，

证毕

当入射线是光时，上式改写成 令：

3.注意几点 ①.u1/u2（或n21)为第二种介质相对第一种介质的折射率。 ②.若 u1 > u2 时， i > r，波从波疏媒质进入波密媒质，折射线靠近法线。 若 u1 < u2 时，i < r，波从波密媒质进入波疏媒质，折射线偏离法线。 ③.波进入介质后频率不变，而波长和波速发生改变。

波源S在某一时刻的波阵面为Σ，Σ面上每一点都是一个次波源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹面形成一个新的波阵面Σ’ 波面的法线方向就是波的传播方向。 利用惠更斯原理即可说明衍射 现象的存在，但无法确定衍射 图样中的光强分布

衍射为无限多、无限小子波的干涉效应。 2.1.3 惠更斯-菲涅耳原理： 子波叠加与子波干涉的假设。 波阵面上各面积元所发出 的球面子波在观察点 P 的相干叠 加决定了P 点的合振动及光强。 衍射为无限多、无限小子波的干涉效应。

S与P之间的任一个波面上各点所发出的次波在P点迭加。 1、单色点光源S在波面Q产生的光振动复振幅为: 2、Q点元波面dσ的次波源发出的次波在P点的光振动复振幅: C为一常数 K(θ)为倾斜因子 当θ＝0时，K有最大值；随着θ的增大，K迅速减小，当θ≥π/2时，K＝0。 P Z R Z’ S r Q  

单色点光源和观察点P之间放置一任意形状的开孔，到达该开孔边缘的波面只有在开孔范围内的部分Σ对P点产生作用 惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式。 P点的光振动的复振幅为: 单色点光源和观察点P之间放置一任意形状的开孔，到达该开孔边缘的波面只有在开孔范围内的部分Σ对P点产生作用 P R r Q  

推广到一般情况 波面可以是球面，也可以是其他曲面: P点产生光振动的复振幅： （1）c 没有具体形式。 （2） 的出现没有理论依据。 既然 是次波源,发出球面波, 以 为中心的任意方向上波动的性质是相同的.亦即, =1因该成立,但实验证明 1,这就需要找到它的具体形式。

§2.1.4 基尔霍夫衍射理论 一、亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理： 光波电磁场复振幅： 标量场的衍射理论： 1、电磁场复振幅看作是标量场； ‘ V ‘ n P  一、亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理： 光波电磁场复振幅： 标量场的衍射理论： 1、电磁场复振幅看作是标量场； 2、用曲面上的 表示面内任意点的 。 3、利用场论中的格林定理，通过另外一个坐标的任意函数 把 与曲面上的值联系起来。 把曲面内任一点P的电磁场值 用曲面上的场值 表示出来。

基尔霍夫（ Kirchhoff ）从波动方程出发，用场论的数学工具导出了比较严格的公式 ： 二、菲涅尔-基尔霍夫衍射 基尔霍夫（ Kirchhoff ）从波动方程出发，用场论的数学工具导出了比较严格的公式 ： S (n,r)  P r R 1  2 l

基尔霍夫假设： 1、开孔处E, 由入射波决定； 2、不透明屏处， E 为0。 S (n,r)  P r R 1  2 l

1、P点的场是由开孔平面的无穷多个虚设的次波源产生的。 2、次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与λ成反比； 3、因子 表明，次波源的振动位相超前于入射波90°。 4、倾斜因子在各个方向上是不同的，其值在0与1之间。

1、点光源离开孔足够远，使入射光可以看成是垂直入射到开孔的平面波，对于开孔平面上各点都有cos(n,L)=-1，cos(n,r)=cosθ 倾斜因子： 1、点光源离开孔足够远，使入射光可以看成是垂直入射到开孔的平面波，对于开孔平面上各点都有cos(n,L)=-1，cos(n,r)=cosθ 2、当θ＝0时，K(θ)＝1；当θ＝π时，K(θ)＝0。 S (n,r)  P r R 1  2 l

1、当开孔很小时，在开孔Σ的范围内θ变化很小，因而倾斜因子可视为常量提出积分号外。 2、在开孔Σ的范围内r的变化也不大。 对于分母r，它影响的是开孔范围内各次波源发出的次波在P点的振幅，这种影响微小，故1/r可视为常量； 复指数中的r，影响次波的位相，它每变化光波波长的一半即λ/2，就相当于位相变化π，因而对于P点的次波干涉影响显著。

三、巴俾涅(Babinet)原理 互补屏原理： 1、开圆孔的无穷大不透明屏； 2、大小与圆孔相同的不透明屏； 互补屏单独放置时p点的复振幅。 没有屏时，p点的复振幅。

互补屏单独产生的衍射场复振幅之和，等于没有屏时的复振幅。 在复振幅为0的点，互补屏分别产生的场位相差为，强度相等。 弗朗和菲衍射，没有屏的焦点以外； 夫琅和费衍射互补屏衍射图样相同

（Fresnel Half-wave Zone） Diffraction of light §2.2 菲涅耳半波带 菲涅尔衍射 （Fresnel Half-wave Zone） 使用菲涅耳—基耳霍伏衍射积分公式计算菲涅耳衍射场十分复杂不易严格求解。 在衍射屏具有对称性的一些简单情况下，用代数加法或矢量加法代替积分运算，可以十分方便地对衍射现象作定性或半定量的解释。 本节主要介绍使用菲涅耳半波带法和矢量叠加法处理菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题。

§2.2.1 菲涅耳半波带 S 现以点光源为例说明惠更斯－菲涅耳原理的应用。如图： O为点光源，S为任一时刻的波面，R为半径。 §2.2.1 菲涅耳半波带 现以点光源为例说明惠更斯－菲涅耳原理的应用。如图： O为点光源，S为任一时刻的波面，R为半径。 S 为了确定光波到达对称轴上任一点P时，波面S所起的作用，连O，P与球面相交于B点，B点称为P点对于波面的极点。 P o B 设想将波面分为许多环形带，使从每两个相邻带的相应边缘到P点的距离相差半个波长。 令PB0＝r0，

即 在这种情况下，由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为/2，即它们的相位差为，这样分成的环形带叫做菲涅耳半波带，简称半波带。 §2.2.2 合振幅的计算 以a1、a2、a3、…分别表示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅。 由于相邻两个半波带所发出的次波到达P点时相位相差，所以k个半波带所发出的次波在P点叠加的合振幅Ak为：

为了计算 如图，求球冠的面积： 下面来比较a1、a2、a3、…的大小。按惠更斯—菲涅耳原理，第k个半波带所发次波到达P点的振幅为： O （1）

O 由图可得（余弦定理） 将（1）、（2）式分别微分得

由上两式可得： 因为rk>>，故可将drk看着相邻半波带间r的差值/2，ds看着半波带的面积，于是有 与k无关 由此可见： 即它对每一个半波带都是相同的，这样影响a k的大小因素中，只剩下倾斜因子 K( k)了。

从一个半波带到与之相邻的半波带，k变化甚微。 由 K( k)随着倾角的增大，而缓慢地逐渐减小 。 当k时， K( k) 0 由此可得 由于各半波带在P点的振幅其大小是缓慢的单调下降，因此近似地有：

当k为奇数时，则 当k为偶数时，则 综合（1）、（2）两式，有：

对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k，ak 0，则对于给定轴线上的一点P的振幅为： 即球面波自由传播时，每各球面波上各此波波源在P点产生的合振动等于第一个半波带在P点产生的振动振幅得一半，强度为它的4分之1。

§2.2.3 矢量合成法 各半波带在P点引起的振动可以用上下交替的矢量来表示。为清楚起见，将各矢量彼此错开，如图 奇数个半波带 矢量a1的起点在某一水平基线上，其余各矢量的起点都与前一矢量的终点等高，从基线指向最末一矢量ak终点的即为合振动Ak的振动矢量。 偶数个半波带

如果忽略倾斜因子的影响，则各个小波带在P点产生的振幅Ai 近似相等。 应该说，把波面分成半波带是不够精细的，特别是当包含的不是整数半波带，在用半波带来处理就困难了。 这时可以将半波带进一步细分，如将第一个半波带分成m个环带，则相邻半波带到P点的光程差为： 相位差为： 如果忽略倾斜因子的影响，则各个小波带在P点产生的振幅Ai 近似相等。

若将m个小波带在P产生的振幅矢量首尾相接，并且每个依次转过i ＝/m的角度，如图。 运用矢量合成的方法可知，则由第一个小波带的起始端到最后一个小波带的末端的连接的矢量即为整个波带的合成振幅矢量。 o B 若m，则i 0， Ai 0，多边形就变成了半圆形，如图。

根据前面的讨论，如果圆孔很小，则从圆孔露出半波带的数量很少，即对圆孔后光强起作用的半波带数量很少，设有k个半波带。 §2.2.4、菲涅耳圆孔衍射 将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔1－2m处放置一接收屏，可观察衍射图样。 根据前面的讨论，如果圆孔很小，则从圆孔露出半波带的数量很少，即对圆孔后光强起作用的半波带数量很少，设有k个半波带。

则有 ak（）a1， 当k为奇数时， 所以P点为亮点 当k为偶数时， O P 所以P点为暗点

j 由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目。 如图，O点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有k个整数半波带。 O P j 由于h<<r0，则h2可略去

O 又因为 (略去 ) 由（1）、（2）、（3）式可得

由上式可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长，还有点光源到衍射屏距离R都有关。 当Rh、R、一定时，改变r0，即改变光屏的位置，我们可以看到，光屏的中心点会有时明时暗的变化。

§2.2.5 圆屏衍射 当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将没有贡献。 如图 §2.2.5 圆屏衍射 当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将没有贡献。 如图 P 设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。 这些半波带的次波在P点叠加后振幅为: 因m，所以 am 0

因此 当k不是很大时，有 即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。应该是一个亮点。 此亮点称为泊松（Possion 1781—11840）亮斑。这是几何光学中光的直线传播所不能解释的。 1818年在巴黎科学院大会上，菲涅尔提出了次波相干叠加原理，泊松根据由惠更斯—菲涅耳原理导出圆盘轴线上应是亮点。

泊松以此来证明惠更斯—菲涅耳原理是错误的。后来由阿拉果在实验中观察到圆屏衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯—菲涅耳原理的正确性。 泊松（Poisson 1781－1840）法国数学家。  1812年当选为巴黎科学院院士。   泊松对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。 阿拉果（Arago 1786－1853） 法国科学家

§2.2.6 波带片 从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带中，奇数序（1、3、5…….） （或偶数序）半波带所发出的次波在P点是同相位的，而奇数序和偶数序半波带所发出的次波在P点是反相的（相差π的奇数倍）。 若做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数的半波带或序数为偶数的半波带透光，则P点的振幅为同相位各次波叠加，因此叠加后将会振幅很大。

此时P点为光强很强的亮点。把这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。

由 可得 由上式，可较容易的制作波带片。 除了按上式可做成同心圆环带的波带片外，还可以做成长条形波带片。 这种波带片的特点是能使当在垂直于轴的平面上会聚成一条明亮直线。直线的方向与波带片的直线平行。

也可以做成方形波带片。 它能成一个明亮的十字线。 例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、3、5、~~~19等10个奇数带露出。第2、4、6、~~~20等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传播时光强的多少倍？ 解：波带片在轴上场点的振幅为

自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 则它们的振幅之比为 光强之比为 计算半波带数目k的公式: 还可以写成： 若令

则有 和一般的会聚透镜成像公式相似。因此，上式称为波带片的焦距公式。 即波带片也有焦距，当R时，有 从焦距公式可见，波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径Rhk,半波带的数目k，和光波的波长。 由于波带片的焦距和光波的波长有关，因此它的色差比一般透镜大的多。在激光出现以前，没有什么实用意义。由于激光的高度相干性（单色性好），使波带片的应用成为现实。目前主要用在激光准直方面。

波带片的亮点相当于点光源成的像。 当使用单色光入射时， 在f/3， f/5， f/7等处也有亮点出现。即波带片有多个焦距，因而，与透镜成像的情况不同。对于给定的物点对应于不同的焦距，波带片可以给出多个像点。 波带片与普通透镜相比有自己的优点，例如：长焦距的普通物镜的设计与加工都是相当麻烦的。但不难制作长焦距的波带片，而且采用照相复制方法制造波带片比光学玻璃冷加工省事. 又如普通透镜无法将一个点光源成像为十字亮线。而方形波带片可以实现这一点。

起衍射聚焦作用的波带片和普通透镜相比，具有面积大，轻便，可折叠等优点。 特别适用于在远程通讯，测距以及航天技术中。波带片的焦距随波长的增加而缩短，正好和玻璃透镜的焦距色差相反。二者配合使用有利于消除光学系统的色差。 波带片不仅给惠更斯—菲涅耳原理提供令人信服的证据，而且在声波、微波、红外和紫外线、X射线的成像技术方面开辟了新的方向。在近代全息照相术等方面也获得了重要应用。

§2.2.7 直线传播和衍射的联系 * 例1：圆孔衍射 衍射屏 不但光线拐弯，而且在屏上出现 观察屏 明暗相间的条纹。 S  a §2.2.7 直线传播和衍射的联系 ▲ 定义 光在传播过程中绕过障碍物的边缘偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象叫光的衍射。 ▲ 现象 例1：圆孔衍射 衍射屏 观察屏 a 不但光线拐弯，而且在屏上出现 明暗相间的条纹。 * S  这是光具有波动 性的重要表现。   10 - 3 a

▲ 衍射的可观察条件 ▲ 衍射的等级 衍射现象较弱，光线近似直线传播 衍射现象显著 衍射现象过于明显，向散射过渡

§2.2.8 菲涅耳直边衍射图样 一个平面光波或柱面光波通过与其传播方向垂直的不透明直边(刀片的直边)后，将在观察屏幕上呈现出左图所示的衍射图样； 在几何阴影区的一定范围内，光强度不为零，而在阴影区外的明亮区内, 光强度出现有规律的不均匀分布。 返回

1.振幅矢量加法 S为一个垂直于图面的线光源，其波面AB是以光源为中心的柱面，MM’是垂直于图面有一直边的不透明屏，并且直边与线光源平行。 观察屏上各点的光强度取决于波阵面上露出部分在该点产生的光场; 屏上与线光源S平行方向上的各观察点具有相同的振幅。 振幅可以用基尔霍夫衍射公式计算求得;; 也可以采用振幅矢量加法处理。

振幅矢量加法 基本思想： 先把直边外的波面相对P点分成若干直条状波带，然后将露出直边的各个条状波带在P点产生的光场复振幅进行矢量相加。 具体方法： 先将直边屏MM’拿掉，如图3-32(a)所示，以SM0P0为中线，将柱面波的波面分成许多直条状半波带。

波带特点 P点的振幅 各波带在P点的光场复振幅，当波带序数N的增大时，迅速下降； 波带面积减小、到P点的距离增大、倾角加大。 不能应用环形波带的有关公式进行讨论。如何做？ 微积分思想： 将每个直条波带按相邻波带间相位差相等的原则，再分成若干个波带元。 先求出每个波带元在P点的光场再合成求出整个波带在P点的光场。 条状波带面积随波带序数N的增大而快速减小。

(a)A(OC)是M0上边两个条状波带M0M1、M1M2在P点的光场； (b)A(OZ)是M0上边所有条状波带在P点的光场； (c)A(Z’Z)是所有条状波带在P点的光场。 图中曲线称为科纽螺线。 返回

根据振幅矢量法，可以很方便地讨论菲涅耳直边衍射图样。 ① 讨论右图中P0点 光源与直边边缘连线上的观察点， 直边屏把下半部分波面全部遮住，只有上半部分波面对P0点产生作用； P0点的光场振幅大小OZ为波面无任何遮挡时的振幅大小Z’Z的一半，而光强为其1/4。

②讨论图中P1点光强 由P1向光源S作的直线与波面交于C1，并由C1开始，重新对波面分成许多半波带； 与P0点情况相比较，相当于M0点移到了C1, C1以上的半个波面完全不受遮挡，它在P1点产生的光场振幅由科纽螺线上的OZ表示； C1以下的半个波面，有一部分被直边屏遮挡， 只露出一小部分对P1有作用，以M1’O表示. 露出的波面对P1点产生的光场复振幅，在科纽螺线中以OZ和M1 O’的矢量和，即M1’Z表示.

②讨论图中P1点光强 M1’在科纽螺线中的位置取决于P1点到P0点的距离; P1点离P0愈远，M1’点沿螺线愈接近Z’; 随着P1点位置的改变，P1点的振幅或光强是改变的; 与M2′、M4′…相应的点有最大光强度，与M3′、M5′…相应的点有最小的光强度。 在几何阴影界上方靠近P0处的光强分布不均匀，有亮暗相间的衍射条纹，对于离P0足够远的地方，光强度基本上正比于 (Z’Z)2，有均匀的光强分布。

③讨论图中P2点光强 P2点与S的连线交波面于C2点。 C2以下的半个波面被直边屏遮挡，C2以上的半个波面也有一部分被遮挡。 P2点的合光场振幅矢量的一端为Z，另一端为M1”，即为M1”Z， P2点的光强度正比于(M1”Z)2。 M1” M1”随P2点的位置不同，沿着螺线移动， P2离P0愈远，其上光强愈小; 当P2离P0足够远时，光强度趋于零。

§2.2.9 直线传播是衍射现象的近似 在几何阴影区的一定范围内，光强度不为零，而在阴影区外的明亮区内, 光强度出现有规律的不均匀分布。

衍射与直线传播的内在联系 当障碍物线度与光波波长可以比拟时，才能发生明显的衍射现象。 结论 可见光波长在390nm～760nm范围内，常见的障碍物线度均远大于 它，因而，光波通常显示出直线传播性质； 一旦遇到线度与波长有 相同或更小数量级的障碍物，衍射现象就会明显地显示出来。 结论 对光而言，衍射是绝对的，直线传播是相对的；直线传播仅是衍射的一种近似。

§2.3单缝夫琅禾费衍射 §2.3.1 衍射装置及花样 衍射屏 透镜 单缝 衍射角

(2）中心条纹很亮，两侧明条纹对称分布，亮度减弱。 衍射图样 (1) 衍射条纹与狭缝平行。 (2）中心条纹很亮，两侧明条纹对称分布，亮度减弱。 （3）中央亮斑的宽度为其他亮斑的两倍。

§2.3.2 菲涅耳半波带法 衍射角 o p A B 缝宽AB = a 称为衍射角 A→P 和 B→P的光程差 —— 中央明纹(中心)

当asin=时，可将缝分为两个半波带 相邻半波带的相对应光线的光程差均是/2 相邻半波带的相对应点光线的光程差均是/2，两个“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。

当asin=3/2时，可将缝分为3个半波带. 相邻半波带的相对应点光线的光程差均是/2,两个“半波带”发的光在 P处干涉相消形成暗纹。第3个“半波带”发的光在 P形成明纹。

) , 3 2 1 ( L = k 一般情况下，可将缝分为n个半波带，当n为偶数时，p点为暗纹，当n为奇数时，p点为明纹。 中央明纹中心 （介于明暗之间） ) , 3 2 1 ( L = k

3.条纹宽度 1)中央明纹宽度：k=-1级暗纹和k=1级暗纹之间的距离 k=1级暗纹 中央明纹线宽度 半角宽 角宽度

(2)其他亮纹的宽度 当较小时， 屏上暗纹中心的位置： 其他明纹的线宽度 其他亮纹的宽度是中央亮纹宽度的一半。

讨论：(1)波长变化对条纹的影响 第一暗纹的衍射角 a一定，越大，1越大，衍射效应越明显. (2)缝宽变化对条纹的影响 a增大，1减小， 光直线传播 一定 a减小，1增大 衍射效果越好

单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？

入射波长变化，衍射效应如何变化 ? 越大， 越大，衍射效应越明显.

将缝AB的面积S等分成N(很大)个等宽的窄带,每个窄带宽度a/N. §2.3.3 用振幅矢量推导光强公式 1.振幅矢量法 将缝AB的面积S等分成N(很大)个等宽的窄带,每个窄带宽度a/N. 每个窄带发的子波在P点振幅近似相等，设为 A1，相邻窄带所发子波在P点引起的振动的 光程差 δ = (a/N)sin 相位差

屏上P点的合振幅 AP就是各子波的振幅矢量和的模，这是多个同方向、同频率，同振幅、初相依次差一个恒量的简谐振动的合成。 对于屏中心o点  = 0，Δφ =0 … A0 = N A 中央明纹的中心

　　对于屏上其它点P，由于屏上位置不同，对应的衍射角就不同，Ａｐ的大小也不同．  令 可以求出 过程略 p点的光强

§2.3.4 衍射图样的光强分布及衍射条纹的特点 １）中央明纹 位置：在 = 0处 光强：中央明纹中心的光强最大 I = I0 2）暗纹 位置：在u≠0，sinu = 0处 条件: sin  (/a)， 2(/a)， 3(/a)，… 在sin坐标上暗纹是等间距的。

· 3）其他明纹 位置：由 求得 得 tgu = u，由作图法可得次极大位置 相应 y y1 = tgu -2.46π o  2 - 位置：由 求得 得 tgu = u，由作图法可得次极大位置 y y1 = tgu -2.46π u o  2 - -2 y2 = u +2.46π -1.43π +1.43π · 相应

单缝衍射的（相对）光强曲线

例1 在单缝衍射中，=600nm, a=0.60mm, f=60cm, 则（1）中央明纹宽度为多少？（2）两个第三级暗纹之间的距离？ 解 ⑴ 中央明纹的宽度 ⑵第三级暗纹在屏上的位置 两个第三级暗纹之间的距离

例2 在单缝衍射中，若使单缝和透镜分别稍向上移，则衍射条纹将如何变化？ 答 ⑴单缝上移衍射光束向上平移经透镜聚焦后，位置不变条纹不变 ⑵透镜上移衍射光束经透镜聚焦后，位置随之上移条纹向上平移

例3 在单缝夫琅和费衍射实验中，缝宽a=10，缝后透镜焦距 f =40cm , 试求第一级明纹的角宽度，线宽度以及中央明纹的线宽度。 解：由暗纹公式 ，当k =1，2时有 所以第一级暗纹衍射角 第二级暗纹衍射角

所以第一级明纹角宽度 第一级明纹线宽度 中央明纹的线宽度

例4 单缝衍射中，a=0.1mm，入射波长λ=500nm，透镜焦距f=10cm，在屏上x=1.75mm的p点为明条纹 求：（1） 点条纹级数 解：单缝衍射明纹的条件 明纹在屏上的位置 第3级明纹

（2）对应于 点缝可分成多少个半波带？ 7个半波带 （3）将缝宽增加1倍， 点将变为什么条纹？ 第7级暗纹

§2.4 夫琅和费圆孔衍射 1.圆孔夫琅和费衍射 光通过眼睛的瞳孔、望远镜、显微镜、照相机所成的像都是光波通过圆孔的衍射图样。 爱里斑 平行光垂直通过圆孔时，在透镜的焦平面上形成明、暗交替的环形衍射图样，中心的圆斑称爱里斑。

圆孔夫琅禾费衍射条纹照片

爱里斑的光强度占整个入射光束总光强的84%。 爱里斑的大小用半角宽度1表示。 理论计算表明，爱里斑对透镜中心的张角21与圆孔直径、入射波长的关系 ：爱里斑直径

根据几何光学 : 物点与像点一一对应，选择适合的透镜可以把任何微小的物体放大到清晰可见的程度。 由波动光学 :一个点光源经过透镜后所成的像是以爱里斑为中心的一组衍射条纹。 2.光学仪器分辨率 如果两个物点相距太近，他们的爱里斑重叠过多，这两个物点的像就无法分辨。 两物点相距多远时恰好能分辨呢？

瑞利判据：对于两个等光强的非相干物点，如果其一个象斑的中心恰好落在另一象斑的第一暗纹处，则此两物点被认为是刚刚可以分辨。 * 两物点恰好能分辨时，两个爱里斑中心的距离正好是爱里斑的半径d/2。

可分辨 恰好分辨 不可分辨

当两个物点刚好被分辨时，它们对透镜中心的张角称最小分辨角或角分辨率。 * 最小分辨角 光学仪器分辨率

例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm，而在可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问 （1）人眼的最小分辨角有多大？ （2）神舟五号轨道最高点约300km，则两物点间距为多大时才能被分辨？ 解（1） （2） 长城基部平均宽度大概6m，最宽处10m。能看见长城眼睛瞳孔20mm.

望远镜： 不可选择，可增大D提高分辨率。 1990 年发射的哈勃太空望远镜的凹面物镜的直径为2.4m ，最小分辨 ，在大气层外 615km 高空绕地运行 ,可观察130亿光年远的太空深处, 发现了500 亿个星系 .

世界上最大的射电望远镜建在波多黎各岛的Arecibo,直径305m，能探测射到整个地球表面仅10-12W的功率，也可探测引力波。

显微镜：D不会很大，可以减小提高分辨率。 使用＝400nm的紫光，最小分辨距离为200nm，放大倍数2000倍。 电子显微镜能分辨相距0.1nm的两个物点，可看到单个原子。

大多数光学仪器中所用透镜的边缘通常都是圆形的，所用的光阑也是圆形的，而且大多数是通过平行光和近似平行光成像的。所以对夫郎禾费圆孔衍射进行研究对分析几何光学仪器的成像有着十分重要意义。

若将夫郎禾费单缝衍射中的单缝换成一个小孔则产生的是夫郎禾费圆孔衍射，衍射图样的中央是一个亮斑。外围有一系列明暗相间的同心圆环。各亮环的强度由中央向外边缘逐渐变小。 根据惠更斯—菲涅耳原理，采用积分法可以推导在平行光垂直入射时，夫琅禾费圆孔衍射的光强分布公式，由于推导过程较繁琐，因此在此只给出结果。

其中 若用一阶贝塞尔函数符号表示。则有：

以 sin 为横坐标，以 IP/I0 为纵坐标，则光强分布用曲线表示为. 夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线 由光强分布公式可得： 中央最大值的位置为： 最小值的位置为：

次最大值位置为： 最大与次最大值的相对强度为：

夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集中了衍射光能量的83. 8%, 通常称为艾里斑 夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集中了衍射光能量的83.8%, 通常称为艾里斑.因为夫琅禾费圆孔衍射的光强分布，首先由英国天文学家艾里（S. G. Airy,1801-1892)导出的。它的中心是点光源的几何光学像。 圆孔的夫琅禾费衍射 照片

艾里斑的半角宽度为: 若透镜L2的焦距为 f  则艾里斑的线半径为:

和单缝衍射中央最大值的半角宽度公式相比 除了一个反映几何形状不同的因数1.22外，二者在定性方面式一致的。 即当/D<<1时，衍射现象可以忽略， 愈大或D愈小，衍射现象愈显著。

例（姚书P124。例2.2）如图，经准直的光束垂直投射到一光屏上，屏上开有两个直径均为d，中心间距为D的圆孔，且满足D > d，试分析夫琅禾费衍射图样。 解： 圆孔的衍射图样只取决于圆孔的直径，而与圆孔的位置是否偏离透镜主轴无关。

根据几何光学的知识，凡是平行于主轴的任何光线，经透镜折射后，都将会聚于主焦点，或者说从波面上所有点发出的次波，经过透镜而到达焦点F 都有相同的光程。 因此中央最大值的位置是在透镜的主轴上，而和圆孔的位置无关。直径完全相同的两个圆孔并排时，由它们产生的两个衍射图样也完全相同，而且完全重合。圆孔衍射图样如图。 另一方面，两个圆孔的光波之间还会产生干涉，因此整个衍射图样是受单圆孔衍射调制的杨氏干涉条纹。

杨氏双孔干涉的条纹形状应为双曲线族： 由夫琅禾费圆孔衍射，艾里斑的半线宽度为： 由杨氏双孔干涉的条纹间距为： 由于D > d，因此 y < l ,即艾里斑内至少有一对杨氏干涉暗条纹。

衍射图样与干涉图样叠加的结果应为： 例2 He-Ne激光器沿着管轴发射定向光束，其出射窗的直径（即内部毛细管的直径）约为1mm，求激光束的衍射发散角，并求10千米处的光斑半径.

解：沿管轴发射定向光束，即为平行光，可以认为属于夫郎禾费衍射。 He－Ne激光波长为＝632.8nm，由于出射窗口的限制，其衍射角半径即衍射发散角为： 在10千米处的光斑半径为 ：

由此可见，由于衍射效应，截面有限而且绝对平行的光束是并不存在的，由于光波波长很短，在通常情况下，衍射发散角很小，不过在激光通讯或激光测距等远程装置中，即使很小的发散角也会造成很大的光斑，所以在设计时要特别加以考虑。

Plane diffraction grating §2.5 平面衍射光栅 Plane diffraction grating 衍射光栅的定义： 广义的说，任何具有空间周期性的衍射屏都可称为衍射光栅。这些具有空间周期性的衍射屏能等宽度、等间隔地分割入射光的波面。

b透光 例如在一块不透明的板上刻划出一系列等宽度又等间距的平行狭缝。就是一种简单的一维透射式光栅。 a不透光 b透光 在一张透明胶片上因曝光而记录的一系列等宽度又等间距的平行干涉条纹。便是一块一维的正弦光栅。 d 反射光栅 b a 又如在一块很平的铝板上刻上一系列等间隔的平行槽纹，就是一块反射式光栅。

* S §2.5.1 实验装置和现象的定性解释 晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然的的三维光栅。 光栅种类很多，有透射光栅和反射光栅。有平面光栅和凹面光栅，有黑白光栅和正弦光栅，有一维、二维和三维光栅。 光栅的种类虽然很多但其基本原理是相似的，下面以平面透射光栅为例讨论光栅衍射的基本原理。 §2.5.1 实验装置和现象的定性解释 S * 屏幕

b a d + = 设光栅各缝的宽度都等于b，相邻两缝间不透明部分的宽度都等于a，则相邻狭缝上对应点之间的距离为： －称为光栅常量（数） 它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米内有多少条狭缝，称为光栅密度，实验室内常用（600~1200）/mm的光栅。

当平行光来照射到一条细长狭缝上出现衍射图样时，其光强分布满足 下式： §2.5.2 光栅衍射的强度分布 屏幕   当平行光来照射到一条细长狭缝上出现衍射图样时，其光强分布满足 下式：

其中 光屏上所有最大值和最小值的位置分布仅取决于相应的衍射角，并不随缝的位置的改变而改变。 也就是说，当狭缝平行于自身做平动时，光屏上出现的图样仍维持原状，并不跟着移动。 如果在平面上开了许多相互平行的同样宽度的细长狭缝，则它们会给出与单缝同样的相互重叠的衍射图样，各最大值都在原来位置得到相应的加强。

但是实际上，还必须考虑由各缝发出的多光束之间产生的干涉。 因此，如果相邻各缝间不透明部分的宽度也是严格相等的。那么各相邻光束在叠加时有相同的相位差，因而同时将出现多光束干涉图样，即宽大的黑暗背景中出现明晰锐利的亮条纹。 如果照射的光是复色光，则每一波长都将产生和它对应的细窄亮条纹。通常称为光谱线。

光栅有N条狭缝,缝宽为b,光栅常数为d． 由于透镜L2的作用，来自不同的狭缝的方向衍射光会聚在屏幕上同一点，形成多光束干涉． 在夫琅和费远场条件下，各缝在P点产生的振动，振幅相同，相位不同.相邻两缝在方向上的光程差为

相位差为 设最上面的狭缝在 P点的光振动相位为零,则各点P点产生的复振幅分别为

于是P点的复振幅为

上式的推导中,应用了等比数列前N项和公式 式中 以及欧拉公式

所以

或 式中 称为衍射因子, 光强公式中 称为缝间干涉因子. 可见光栅衍射的光强是单缝衍射图样和缝间干涉因子的乘积。单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。

§2.5.3 光栅衍射图样的主要特征 根据 可得出光栅衍射花样的主要特征是：一系列的主最大、次最大和光强为零的条纹有规律的分布。 1. 主最大的角位置、光强和数目 当 时 由缝间干涉因子 即 时, －称为光栅方程

由 在满足 dsin = k 的衍射方向上， 光强为 在屏幕的中心 光强取得最大值:

主最大的数目: 由 由于衍射角 不可能大于90º，所以主最大的级次kmax 满足 例如，当＝0.4d 时，则 只可能有k＝0，±1，±2的级次的主最大，而无更高级次的主最大。 若  d ，除零级主最大外，别无其它级主最大存在。

因此可以看出，光栅衍射主最大的数目最多为： 表示只取整数部分 为入射平行光垂直照射光栅时的光栅方程 若平行光斜入射到光栅上，入射方向和光栅平面法线方向的夹角为0，则光栅方程为：  其角度均取正值， 和0 在法线同侧时上式左边括号中取加号；在法线异侧是取减号。

2. 光强为零（暗纹）的角位置和数目 在光强公式中，两因子中任一因子为零，P点的光强都会为零. 对于干涉因子, 当 时, 可以得最小光强

因此最小值（暗纹）的位置满足 即 即 的整数。 否则上式就变成决定主最大角位置的光栅方程了。 因此,两个干涉主极大之间有(N-1)个由于干涉产生的光强为零的最小值.

3. 次最大的角位置和数目 次最大的角位置可由 求得 可以证明，各级次最大的光强远比主最大弱得多。其值不超过零级主最大的1/23，所以次最大和暗纹实际上混成一片，形成光强很弱的黑暗背景。对于总缝数N很大的光栅，次级大完全观察不到。 因为在两相邻主最大之间有N－1个暗纹，而相邻两零光强暗纹之间应有一个次最大。 因此，两相邻主最大之间必有N－2个次最大。

4. 谱线的半角宽度 每一谱线（主最大值）的角宽度，它的左右两侧附加第一最小值的位置为范围，从主最大的中心到其一侧的附加第一最小值的角距离就是每一谱线的半角宽度。 对第K级来说：

因此 可见谱线的半角宽度与Nd的乘积成反比，Nd愈大， 愈小，谱线愈窄，锐度愈好。 如果光源发出的光单色性很好，那么光栅给出的光谱是一组很明锐的谱线。

5. 光栅光强分布曲线 对于一定的波长来说，由光栅方程各级谱线之间的距离由光栅常量d 决定。 由前面的学习知道，缝间干涉因子决定主最大、次最大和暗纹的角位置，它们的强度分布还要乘上单缝衍射因子。 缝间干涉因子与单缝衍射因子相乘，就得到实际光强分布。单缝衍射因子的变化曲线可看作是各级主最大的强度的包络线。从而使不同级的主最大具有不同的强度。 如图

6.主最大（谱线）的缺级 若本应该由相应级的干涉主最大出现的地方，恰好是单缝衍射的暗纹所在的位置，此时合成光强为零，即本应该出现的主最大不再出现，这种现象称缺级。 缺级发生在衍射角，同时满足光栅方程（主最大）和单缝衍射极小两个条件的地方。 若在某衍射方向是 j级衍射极小,又是 级干涉主最大,则有 {

由上面两方程, 得 第级干涉主极大被 j级衍射极小调制掉 例如 则 等级次 被调制掉, 不出现. 由上式可见，光栅主最大的缺级与波长无关，而由光栅参数决定。 总之,光栅光强是多光束干涉被单缝衍射调制的结果.

如果入射光中包含两个十分接近的波长与’， 由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。 四. 光栅光谱 如果入射光是包含几种不同的波长的复色光，则除零级以外，各级主最大的位置各不相同。我们将可以看到在衍射图样中有几组不同颜色的谱线，分别对应于不同的波长。 由光栅的主极大满足光栅方程 如果入射光中包含两个十分接近的波长与’， 由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。 I sin 0级 1级 2级 3级  ’ 波长相差越大，级次越高,则分得越开。

把波长不同的同级谱线集合起来构成一组谱线，称为光栅光谱。 如果是白光，则光栅光谱中除零级仍为一条白色亮线外，其它各色谱线都排列成连续的谱带，第二、三级后可能发生重叠。如图 紫 红

五. 闪耀光栅 透射光栅有一个很大的缺点，就是衍射图样中无色散的零级主最大占有总光能得很大一部分。其余的光能又分散在各级光谱中，致使每级光谱中的强度比较小。而实际使用光栅时往往只利用它的某一级光谱，这对光栅的利用是很不利的。 造成这种情况的原因是单缝衍射因子的零级与缝间干涉因子的零级主最大重叠。实际使用光栅时，通常只使用它的某一级光谱。 因此，只需设法把光能集中到这一光谱上来即可。用闪耀光栅即可解决这个问题。

目前在分光仪器中使用的光栅几乎都是反射式的闪耀光栅。它的优点是：能将单缝的中央最大值的位置从没有色散的零级光谱转移到其他有色散的光谱级上。如图所示： 在一块玻璃板上镀一层反射率很高的金属层，然后用钢刀在金属层上等间隔地刻画很密的锯齿形沟槽，即形成了闪耀光栅。每个反射面相对于光栅平面有一定倾角B，称闪耀角。 光栅平面法线 槽面法线

单槽面的衍射光的零级衍射最大值的位置，应在槽面反射方向有最大的衍射光强。 槽间干涉主极大的位置，仍有光栅方程dsin = k决定。d是相邻两槽间的距离，称为光栅常数 ，  = 0° 对应零级干涉最大值。显然，各级最大值的位置与闪耀角B 无关。 单槽面的衍射光的零级衍射最大值的位置，应在槽面反射方向有最大的衍射光强。 光栅平面法线 槽面法线 即单槽衍射光的中央最大值位于槽面的反射方向。 当入射光垂直于光栅平面时，单槽面产生的衍射峰位于 ＝2B方向，显然，衍射零级最大随B变化。则槽间干涉的零级最大值与单槽面衍射的中央最大不再重合。

若光谱中对应的波长Bk，使下式成立： 则Bk 称为第k级闪耀波长。 当k＝1时，光栅的单槽衍射零级最大值正好落在B1光波的一级光谱上。 又因为闪耀光栅d  b。因此，光谱的其它级干涉最大值（包括零级）都几乎落在单槽衍射的暗纹位置处，形成缺级。如图

衍射 干涉 综合

这样一来，80%—90%的光能集中到的一级谱线中，使其强度大大增强，显然B1光的闪耀方向不可能严格地又是其它波长的闪耀方向，不过由于单缝衍射的零级最大值有一定的宽度，它可容纳B1附近一定波段内其它波长的一级谱线，使它们也得到相等程度的闪耀，有较大的强度。同时这些波长的其它级谱线也都很弱。 用同样的方法，也可以把光强集中到二级闪耀波长B2 附近的二级光谱中去。

例题：已知平面透射光栅夹缝的宽度a=1. 582. 10-3nm,若以波长的氦氖激光垂直入射在这个光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为1 例题：已知平面透射光栅夹缝的宽度a=1.582*10-3nm,若以波长的氦氖激光垂直入射在这个光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为1.5m,试求：（1） 屏幕上第一级亮条纹与第二级亮条纹的距离。（2）屏幕上所呈现的全部亮条纹数。 解：（1）设光栅中相邻两缝间不透明部分的宽度均等于b，光栅常数 d=a+b ，由第四级缺级。则有 d=4a=1.58×4×10-3=6.328 ×10 -3mm 且 ±4，±8， ±12，…的级次都缺级。

由光栅方程可知，第一级亮条纹和第二级亮条纹的角位置为： 若会聚透镜的焦距为f,则它们距中央亮条纹的中心位置的距离为：

当很小时， 因此 二者之间距为：

（2）由光栅方程： 当sin＝1时，j最大，则 若考虑到j=±4，±8缺级，而j＝10实际上看不到。则屏幕上呈现的全部亮条纹数为

diffraction of X-Ray on Crystals 1895年伦琴 ( 1845-1923， 德国，1901, Nob)发现了高速电子撞击固体可产生一种能使胶片感光、空气电离、荧光物质发光的中性射线---- X射线。

- + X射线管如下图所示: A K—阴极， A—阳极 (钼、钨、铜等金属) A—K间加几万伏高压， 加速阴极发射的热电子。 对一般光栅 ,所以看不到衍射现象.

· 劳厄（Laue）实验（1912）: 晶体点阵相当于三维光栅。原子间距是埃的数量级,可与x 射线的波长相比拟. 准直缝 晶体 · 劳厄斑 晶体点阵相当于三维光栅。原子间距是埃的数量级,可与x 射线的波长相比拟. 德国物理学家 衍射图样(称为劳厄斑）证实了X射线的波动性． 后来,劳厄进一步提出了理论上的分析(1914.Nob)。

X 射线照射晶体时，每个原子（表层，内层）受迫振动,并以此振动频率向各方向发出子波。每个原子都是散射子波的波源。 布喇格父子（W . H. Bragg 和 W. L. Bragg) 提出了研究x 射线衍射更简单的方法，得出了x射线在晶体上衍射主极大的公式。(1915. Nob) X 射线照射晶体时，每个原子（表层，内层）受迫振动,并以此振动频率向各方向发出子波。每个原子都是散射子波的波源。 A B C 1 4    2 3

晶格上的原子相当于缝;晶格常数相当光栅常数. A B C 1 4    2 3 晶格上的原子相当于缝;晶格常数相当光栅常数. 整个晶体点阵是由一族相互平行的晶面组成的。 x 射线能穿入内部。 一. 同一层晶面上各个原子散射的衍射子波的干涉 相当于光栅衍射， =0 的零级主极大是最强的。

入射到“各缝”的光有光程差，从“各缝”出来 的光也有光程差，由下图可知: A B C 1 4    2 3 零级主极大对应于各个子波的光程差为零. 入射到“各缝”的光有光程差，从“各缝”出来 的光也有光程差，由下图可知: 在同一层晶面上散射的 光，只有服从反射定律 的, 光程差才为零，才 是零级主极大。  A1 B1 C1

二. 不同晶面的衍射子波的干涉： 相邻晶面散射光 1 和 2 的光程差为 d：晶面间距 (晶格常数） 例，NaCl: d = 2.8Å  d 0 dsin 0 1 2 晶面 A C B d：晶面间距 (晶格常数） 例，NaCl: d = 2.8Å 0 : 掠射角 是不是随便什么0角，都能在反射的方向干涉加强？

各层散射光干涉加强的条件： —布喇格公式 对于 d ,  一定时,只有特定的 0 才满足布喇格公式,才能在反射的方向获得干涉相长。 ( k =1,2,3…) —布喇格公式 对于 d ,  一定时,只有特定的 0 才满足布喇格公式,才能在反射的方向获得干涉相长。 应用：1. 已知0,  可测 d ——X射线晶体结构分析. 研究晶体结构、材料性质。 2.已知0, d 可测 ——X射线光谱分析. 研究原子结构。

实际情况比较复杂,一块晶体可以有许多 方法来划分晶面族. 0 当某一个晶面族满足布喇格公式时,就能得到相应的 x 射线衍射的主极大。  d d d 0 dsin 0 1 2 晶面 A C B 当某一个晶面族满足布喇格公式时,就能得到相应的 x 射线衍射的主极大。