小 波 分 析 浅 述 钟 彦 刘广裕 指导老师 苏 先 樾 2002. 6. 11

信号的时频分析： 信号时频分析的重要性： 信号时频分析的主要方法： 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。 信号时频分析的主要方法： 2002. 6. 11

反映傅立叶变换缺点的一个例子： 2002. 6. 11

傅立叶变换的缺点： 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。 2002. 6. 11

解决傅立叶变换缺点的方法： 2002. 6. 11

chirp信号 2002. 6. 11

chirp信号 2002. 6. 11

窗口傅立叶变换（Gabor变换）： 窗口傅立叶变换的定义： 假设 f(t)  L2(R)，则以g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为： 窗口傅立叶变换的物理意义： 若g(t)的有效窗口宽度为Dt，则WFg(, b)给出的是f(t)在局部时间范围[b - Dt/2, b + Dt/2]内的频谱信息。 有效窗口宽度Dt越小，对信号的时间定位能力越强。 2002. 6. 11

WFg(, b) = < F(), G ,b()>/(2) 窗口傅立叶变换的频域性质： 问题的提出： 窗口傅立叶变换WFg(, b) = <f(t), g,b(t)>给出的是信号在时域上的处理信息，一个很自然的问题是窗口傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的？ 假设f(t)的傅立叶变换为F()，g,b(t)的傅立叶变换为G ,b()，则根据Parseval定理有： WFg(, b) = < F(), G ,b()>/(2) 窗口傅立叶变换频域上的物理意义： 若G ()的有效窗口宽度为D，则WFg(, b)给出的是F()在局部频率范围[ - D /2,  + D /2]内的频谱信息。 有效窗口宽度D越小，对信号的频率定位能力越强。 2002. 6. 11

窗口傅立叶变换的性能分析： 问题的提出： 解决问题的思想： 窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力，又具有强的频率定位能力？ 选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有好的性能？ 解决问题的思想： 从物理意义上来看Dt和D是矛盾的，因此先定义Dt和D后，再计算Dt和D的乘积用以作为判断窗口傅立叶变换性能的依据。 2002. 6. 11

窗口傅立叶变换的性能分析： 具体分析过程： 假设： 定义： 2002. 6. 11

窗口傅立叶变换的性能分析： 海森堡测不准原理 计算Dt2×D2： 2002. 6. 11

窗口傅立叶变换的性能分析： 等号成立条件： 结论： 窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种分辨率的提高。 以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好。 2002. 6. 11

解决窗口傅立叶变换缺点的方法： 问题的提出： 解决方法： 窗口傅立叶变换窗口没有自适应性，只适合分析所有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信号和突变过程。 解决方法： 引入窗口变化机制，同时求各种窗口大小下的变换，这样变换系数中就同时包含各种特征尺度下信号的信息。 2002. 6. 11

小波变换的分类： 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。 2002. 6. 11

连续小波变换(CWT)： 连续小波变换的定义： 假设信号 f(t)  L2(R)，则它的连续小波变换定义为： 时间平移参数 归一化因子 尺度伸缩参数 2002. 6. 11

连续小波变换(CWT) ： 连续小波变换的物理意义： 时域上的意义：数学显微镜（一组有效宽度不同的窗口傅立叶变换的汇集） 2002. 6. 11

连续小波变换(CWT) ： 频域上的意义： 若f(t)的傅立叶变换为F()，a,b(t)的傅立叶变换为a,b()，则根据Parseval定理，有： 2002. 6. 11

连续小波变换(CWT) ： “恒Q性质”： 假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/a-D/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为DtD。 2002. 6. 11

a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间 2002. 6. 11

CWT的计算性质 时移性质 尺度转换性质 微分性质 两个信号卷积的CWT 两个信号和的CWT 小波变换的内积定理 2002. 6. 11

连续小波变换的逆变换： 连续小波变换逆变换存在的可能性： 窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复出信号的信息。 连续小波变换结果有很大的冗余度。 以a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： 假设 f(t)、(t)  L2(R)： 2002. 6. 11

连续小波变换的逆变换： 证明思路： 2002. 6. 11

母小波的容许条件： 从逆变换公式可以看出母小波的容许条件为： 2002. 6. 11

连续小波变换的逆变换的其他形式： 以不等于a,b(t)的小波函数a,b(t)为变换核的连续小波变换的逆变换： 互为对偶关系 2002. 6. 11

母小波的例子： Haar小波： 2002. 6. 11

母小波的例子： Mexico草帽小波： 2002. 6. 11

母小波的例子： Morlet小波： 2002. 6. 11

小波变换的分类： 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。 2002. 6. 11

尺度和时移参数的离散化： 问题的提出： 尺度和时移参数离散化要解决的问题： 连续小波变换中含有很多冗余信息，冗余信息不利于对信号的分析和处理。 连续小波变换的计算量也大。 由于连续小波变换中有冗余信息，可能对尺度和时移参数进行离散化后仍可重构信号。 尺度和时移参数离散化要解决的问题： 尺度和时移参数要怎样离散化？ 尺度和时移参数离散化后要想重构信号对小波函数应有什么样的要求？ 2002. 6. 11

尺度和时移参数的离散化： 尺度和时移参数离散化的方法： 尺度参数的离散化： a = a0j , j  Z （通常取a0的值为2，称为二进小波） 时移参数的离散化：取决于尺度参数 b = k×a0j , j, k  Z 2002. 6. 11

尺度和时移参数的离散化： 离散化后的小波变换： 怎样选择小波函数才能够重构信号： 小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。 小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。 2002. 6. 11

尺度和时移参数的离散化： 重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）： 对任意的 f(t)  L2(R)，称{j,k}为一个框架，如果存在正参数A和B（ 0  A  B < ），使得： 分析小波 合成小波 2002. 6. 11

尺度和时移参数的离散化： 框架的一种特殊情况－－紧框架： 定义：A = B的框架称为紧框架。 性质： 分析小波的对偶是 它本身，类似于 正交变换。 2002. 6. 11

尺度和时移参数的离散化： 紧框架不是标准正交基的一个例子： 在二维实空间中有三个矢量： 2002. 6. 11

尺度和时移参数的离散化： 紧框架成为标准正交基的条件： 若{j,k}为紧框架，框架界A = B = 1，且对所有的j, k有：|| j,k || = 1，则{j,k}构成标准正交基。 证明： 2002. 6. 11

标准正交小波基： 标准正交小波基的优点： 变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。 标准正交小波基与它的对偶相同。 计算简单： 假设： 以下使用的都是二进小波，即小波函数的形式为： 2002. 6. 11

多分辨分析的基本思想： 假设有一阶梯宽度为1的函数，现用阶梯宽度比1大（例如：阶梯宽度为2)的函数来逼近： 2002. 6. 11

多分辨分析的基本思想： 总结以上性质： 假设Vj表示在[k2j, (k+1)2j]，kZ各区间上分段恒定的函数，则有： Vj  Vj-1 对于任何信号f(t)L2(R)， f(t)在Vj上的正交投影PVj反映的是用2j大小的尺度观察信号得到的结果，故Vj实际上表示的是观察信号的分辨率。 令Wj = {j,k, k  Z}，则PVj-1与PVj之差可用信号f(t)在Wj上的投影来表示。 2002. 6. 11

信号空间L2(R)的分解： 假设由母小波(t)产生的小波函数{j,k(t), j,kZ}是L2(R)空间的标准正交基，令： 2002. 6. 11

多分辨分析的定义： 多分辨率分析是L2(R)空间中相继逼近的函数空间Vj的序列，这些闭子空间Vj有以下性质： 2002. 6. 11

多分辨分析的定义： 定义： (t)：多分辨分析的尺度函数。 例如：前面用来说明多分辨分析的基本思想的例子中(t)的一种可能的选择是： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： 基本思想： 目标  性质 答案 目标： 构造满足正交性条件的小波基。 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： 性质： 尺度函数的性质： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： H()和()的关系： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： 性质： 尺度函数的性质： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： H()的条件： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： 两尺度序列hn的条件： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： G()的条件： H()与 G()的联合条件： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： hn和gn的关系： 2002. 6. 11

标准正交小波基的构造： 答案： 2002. 6. 11

计算小波级数系数的塔式算法（Mallat算法）： 问题的提出： 离散参数小波变换系数Cj,k= <f(t), j,k(t)>为连续时间函数的内积，不利于计算机计算。 是否能够找到比利用定义式计算小波变换系数高效快速的算法。 2002. 6. 11

计算小波级数系数的塔式算法（Mallat算法）： 问题的分析： 2002. 6. 11

计算小波级数系数的塔式算法（Mallat算法）： 计算小波级数系数的快速算法： 2002. 6. 11

计算小波级数系数的塔式算法（Mallat算法）： 信号重构的问题： 信号利用小波分析分解以后，怎样进行快速重构？ 问题的分析： 2002. 6. 11

计算小波级数系数的塔式算法（Mallat算法）： 重构信号的快速算法： 2002. 6. 11

计算小波级数系数的塔式算法（Mallat算法）： 2002. 6. 11

小波变换的分类： 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。 2002. 6. 11

离散小波变换： 离散小波变换的定义： 2002. 6. 11

离散小波变换： 离散小波变换的特殊问题： 小波函数的拉伸与压缩： 现象：根据母小波(n)产生(2n)只要抽取偶数下标即可，但由(n)产生(n/2)只有偶数下标有值。 2002. 6. 11

离散小波变换： 解决方法：无值处用内插方法，但对内插滤波器有一定的要求。 2002. 6. 11

离散小波变换： 小波函数的分辨率和尺度的关系： 离散时间小波的尺度减小后，取样值数目要减少，因此要引起分辨率下降。 离散时间小波的尺度增大后，虽然会增加样本的数目，但内插样本是根据原来信号的样值计算的，并未增加新的细节，所以不会提高分辨率。 2002. 6. 11

小结： 怎样构造标准正交小波基：研究在标准正交小波基条件下小波函数及尺度函数所具有的性质，根据这些性质找出构造标准正交小波基的方法。 利用双尺度函数之间的关系以及尺度函数和小波函数之间的关系构造信号的分解和重构的快速算法（塔式算法）。 提出离散小波变换的定义并研究了离散小波变换小波函数的特点。 2002. 6. 11

离散小波变换的快速算法： 问题的提出： 两种算法： 小波函数的拉伸需要大量的内插运算，但拉伸以后小波函数的分辨率却没有提高。 怎样高效快速地计算离散小波变换及其逆变换？ 两种算法： Trous算法 Mallat算法 2002. 6. 11

Trous算法： 基本原理： Trous滤波器 2002. 6. 11

Trous算法： 算法流程图： 2002. 6. 11

Mallat算法： 离散参数小波变换的Mallat算法： 2002. 6. 11

Mallat算法： 双正交小波 Mallat算法对滤波器的要求： 要满足进行多分辨分析的条件：双正交小波。 2002. 6. 11

Mallat算法： 基本原理： 离散小波变换的计算原理： 2002. 6. 11

Mallat算法： 逆离散小波变换的计算原理： 2002. 6. 11

Mallat算法： 算法流程图： 2002. 6. 11

离散时间信号多分辨分析理论： 问题的提出： 多分辨率分析是小波分析理论的重要特性。 离散小波变换小波函数的尺度拉伸和压缩具有一些特殊性。 离散时间信号和连续时间信号的多分辨率分析具有不同之处，需要从新的角度研究离散时间信号的多分辨率分析理论。 2002. 6. 11

离散时间尺度： 离散时间信号的尺度： 问题的提出： 数学表达方法： 离散时间信号时间方向放大或缩小的倍数。 尺度变换是多分辨率分析的基础操作。 对尺度变换的数学表达是研究多分辨率分析的基础。 怎样根据离散信号的特点提出尺度变换的表达方法？ 数学表达方法： 矩阵运算。 2002. 6. 11

离散时间尺度： 离散时间信号f(n)： 用列矢量f表示： f = [ ... f(-1) f(0) f(1) ... ]T 尺度加倍： 表示为Df, D为一个矩阵。 2002. 6. 11

离散时间尺度： 对Df进行低通滤波： 表示为H’(Df)，H’为矩阵： 2002. 6. 11

离散时间尺度： 尺度减半： 抽取偶数下标序列值运算： 用左乘矩阵表示： 2002. 6. 11

离散时间尺度： 对Hf抽取偶数下标： 2002. 6. 11

离散尺度变换： 尺度减半运算和尺度加倍运算的对比： 2002. 6. 11

离散时间分辨率： 离散时间分辨率的定义： 离散时间信号的尺度和分辨率的关系： 若在原始信号f(n)中，从每2j个取样值内抽取出一个取样值来，所得到新的信号的分辨率为r = 2-j。 离散时间信号的尺度和分辨率的关系： 增尺度运算只能使尺度变大而不改变分辨率，而减尺度运算不仅使尺度减小而且同时分辨率也下降。 尺度加倍，分辨率不变的运算：H’D 尺度减半，分辨率也减半的运算：H 尺度不变而使分辨率减半的运算：A = H’D H 2002. 6. 11

离散时间分辨率： 给定尺度和分辨率下逼近信号是唯一的条件： A = H’D H = I 2002. 6. 11

多分辨率逼近的细节信号： 多分辨率分析的定义： 基本做法： 指原始信号被分解为几个具有不同分辨率的分量，而且由这些分量能够不失真地重建原始信号。 基本做法： 分解阶段：将高分辨率的信号分解为低分辨率的信号和一些细节信号。 合成阶段：将低分辨率的信号加上细节信号以得到高分辨率的信号。 2002. 6. 11

塔式变换： 基本原理： 将原始信号f(n)分解为J个尺度为2-(j-1)，分辨率为2-j的细节信号，再加上一个尺度和分辨率都为2-J的低分辨率信号。 以J = 1为例： 低分辨率信号：Hf 细节信号：f - Af = f - H’D Hf 2002. 6. 11

塔式变换： 算法流程图： 2002. 6. 11

塔式变换： 缺点： 细节信号的尺度是其分辨率的两倍，因此浪费存储空间。 2002. 6. 11

Mallat算法： 基本原理： 与H’D与H类似，定义G’D与G两种运算，分别对应于用冲激响应g’n滤波尺度加倍和用gn滤波尺度减半运算，同时Gf是f在尺度和分辨率都等于1/2时的细节信号。 计算过程： 低分辨率信号： Hf 细节信号： Gf 合成方法： f - H’D Hf = G’D Gf 2002. 6. 11

Mallat算法： Mallat算法流程图： 2002. 6. 11

计算离散小波变换的双通道滤波器的设计： 双通道滤波器： 2002. 6. 11

计算离散小波变换的双通道滤波器的设计： 双通道滤波器的设计方法： 2002. 6. 11

总结： 利用离散小波变换尺度参数拉伸后分辨率不变的特点提出了两种离散小波变换的快速算法：Trous算法和Mallat算法。 根据离散时间信号的特点建立了离散时间信号的多分辨率分析理论。 2002. 6. 11

小波变换的特点： 母小波是不唯一的，是可选择的： 2002. 6. 11

母小波函数： 母小波函数的条件： 2002. 6. 11

两种小波函数： 双正交小波 正交小波包 2002. 6. 11

双正交小波： 问题的提出： 具有紧支集，对称或反对称的实值正交小波必为Harr小波。 对称或反对称与滤波器H(w)具有线性相位密切相关，因而也与失真问题密切相关。 为了兼顾连续、具有紧支集和对称或反对称，同时不太多损失正交小波的优点，提出了双正交小波的概念。 2002. 6. 11

双正交小波： 定义： 互为对偶关系 2002. 6. 11

双正交小波： 性质： 2002. 6. 11

双正交小波： 2002. 6. 11

正交小波包： 问题的提出： 对于小波函数j,k(t)，当j不断减小时，时域上窗口宽度不断变小，频域上窗口宽度不断变大。虽然j减小时提取的为高频信号，在相对误差保持不变时容许有较大的分辨误差。但在某些特殊的场合，例如对频率分辨率要求很高时就不适用了。 时频窗口宽度的乘积受Heisenberg测不准原理的限制，为了提高频率分辨率，必需对Wj空间继续分解。 正交小波包就是为了进一步提高频率分辨率，建立相应的小波基，给出的具体的运算步骤而发展起来的一种数学工具。 2002. 6. 11

正交小波包： 正交小波包的定义： 2002. 6. 11

正交小波包： 正交小波包的性质： 2002. 6. 11

正交小波包： 正交小波包频带划分机制： 2002. 6. 11

正交小波包： 正交小波包分解过程示意图： 2002. 6. 11

总结回顾： 小波分析： 窗口傅立叶变换的定义、与信号时频域的关系以及存在的问题。 连续小波变换的定义、物理意义以及母小波的容许条件。 离散参数小波变换的定义、选择小波函数的框架条件以及紧框架成为标准正交基的条件。 离散参数小波变换的多分辨率分析理论。 标准正交小波基构造的基本原理和构造方法以及从中得到的hn和gn两个滤波器的概念。 2002. 6. 11

总结回顾： 快速计算离散参数小波变换的Mallat算法。 离散小波变换的定义、特殊性以及两种快速算法。 双正交小波和正交小波包的概念。 2002. 6. 11

参考文献 [1] Y.Meyer. Wavelets and Operators. Advanced mathematics. Cambridge university press, 1992. [2] Y.Meyer. Wavelets: Algorithms and Applications. SIAM, l993. Translated and revised by R.D.Ryan. [3] J. J. Benedetto and M. W.Frazief, editors. Wavelets. Mathematics and Applications. CRC Press, Boca Raton, Ann Arbor, London, Tokyo, 1994. 2002. 6. 11

参考文献 [4] M. Vetterli et al. Wavelets and Subband Coding. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995. [5] G. W.Wornell. Signal Processing with Fractals: A Wavelet-Based Approach. Prentice-Hall,1995. [6]杨福生，《小波变换的工程分析与应用》，科学出版社，1999。 [7] 赵松年 熊小芸，《子波变换与子波分析》，1996。 2002. 6. 11

衷心感谢苏先樾老师和熊春阳博士对本报告的指导。 2002. 6. 11

谢谢大家 THANKS! 2002. 6. 11