节点分析法 例： 2 1 3  4 取4为参考节点 记 U1 、U2 、U3 分别为独立节点1、2、3的电位 G5 节点电位与支路电压的关系： G1 G3 2 1 3 U14 = U1 IS G2 G4 U24 = U2 U34 = U3  4 U12 = U1 - U2 取4为参考节点 U13 = U1 – U3 记 U1 、U2 、U3 分别为独立节点1、2、3的电位 U23 = U2 – U3

节点分析法 G5 例： G1 G3 2 1 3 IS G2 G4  4 KCL: （U1 – U2）G1 + （U1 – U3）G5 = IS （U2 – U1）G1 +（U2 – U3）G3 + U2 G2 =0 （U3 – U1）G5 + （U3 – U2）G3 + U3 G4 =0

节点分析法 KCL: （U1 – U2）G1 + （U1 – U3）G5 = IS （U2 – U1）G1 +（U2 – U3）G3 + U2 G2 =0 （U3 – U1）G5 + （U3 – U2）G3 + U3 G4 =0 合并 同类项 （ G1 + G5 ）U1 – G1U2 – G5U3 = IS –G1 U1 +(G1 +G2 +G3 ）U2 – G3U3 =0 – G5 U1 – G3U2 + (G1 +G2 +G3 ） U3 =0

节点分析法 例： 2 1 3  4 KCL: G5 G1 G3 IS G2 G4 （ G1 + G5 ） – G1 –G5 U1 = IS +- IS G2 G4  4 KCL: （ G1 + G5 ） – G1 –G5 U1 = IS –G1 (G1 +G2 +G3 ） – G3 U2 = 0 – G5 – G3 (G3 +G4 +G5 ） U3 = 0

节点分析法 参考节点、节点电位 以节点电位为求解对象，列KCL方程； 方程数量 较少 进一步再求各支路电流和电压

节点分析法 步骤：1、选参考节点、设独立节点电位 2、列独立节点KCL方程 3、解方程得节点电位 4、由节点电位求支路电压，进一步求支路电流 系数矩阵：主对角线上----自电导（+） 其他元素-------互电导（ -） 电流源矩阵：流进节点为（+） 3、解方程得节点电位 4、由节点电位求支路电压，进一步求支路电流

例：图3.20 1 2 • • • 1 2 • • • R4 R3 IS1 R2 US3 IS5 R5 R1 US2 G4 G3 IS1 - + IS1 R2 US3 IS5 R5 + - R1 US2 • G4 G3 1 2 • • IS1 G3 US3 IS5 G5 G2 G1 G2 US2 •

1 2 • • • = - （G3 + G4 ） G3 + G4 + G5 U2 IS5 + G3US3 G4 G3 IS1 G3 US3 G1+ G2+ G3 + G4 -（ G3 + G4 ） U1 IS1 + G2US2 - G3US3 = - （G3 + G4 ） G3 + G4 + G5 U2 IS5 + G3US3

一些特殊情况： 例： 1）有独立电压源与电阻串联支路 1 2  R2 R3 I2 I3 I4 IS I1 +- E1 R1 R4  已知： E=10V、 R1 =1Ω、 R2 =2Ω、 R3 =4Ω、 R4 = 1Ω、 IS = 9A 求：各支路电流

R2 R3 I2 I3 1 2 I4 IS 例： I1 +- E1 R1 R4  R3 1 2 IS E/R2 R2 R1 R4 

1 2  R3 IS E/R2 R2 R1 R4 （ G1 + G2 + G3 ） – G1 U1 = E/ R2 –G3 (G3 + G4 ） U2 = IS （ 1 + 1/2 + 1/4 ） – 1/4 U1 = 10/2 –1/41 (1+ 1/4 ） U2 = 9

2）有受控电压源与电阻串联支路 例：图3.22 1 2 • • • 1 2 • • • βI4 G3 G1 UG1 αUG1 G2 IS - + G1 + - UG1 αUG1 G2 IS + - G4 US1 I4 • βI4 1 G3 2 • • - + G1 UG1 G2 α G4 UG1 + - G4 IS US1 I4 •

1 2 • • • - G3 G3+G4 U2 - IS - βI4 +α G4 UG1 = βI4 G3 G1 UG1 G2 US1 I4 • G1 +G2 +G3 - G3 U1 G1 US1 + βI4 - G3 G3+G4 U2 - IS - βI4 +α G4 UG1 = UG1 = US1 - U1 I4 = G4 U2 - α G4 UG1 = G4 U2 - α G4 US1 + α G4 U1

- G3 G3+G4 U2 - IS - βI4 +α G4 UG1 = 代入 消元后整理 = G1 +G2 +G3 - G3 U1 G1 US1 + βI4 - G3 G3+G4 U2 - IS - βI4 +α G4 UG1 = 代入 UG1 = US1 - U1 I4 = G4 U2 - α G4 UG1 = G4 U2 - α G4 US1 + α G4 U1 消元后整理 G1 +G2 +G3 -α β G4 - （G3 +α G4） U1 （G1 - α β G4 ）US1 - G3 +α β G4 + α G4 G3 + G4 +β G4 U2 - IS +α（1+ β ） G4 US1 =

3）含无串联电阻的电压源支路 例：图3.24 1 3 • • • • 2 在该支路上设支路电流变量 IS3 G3 I G6 G2 G1 - + G1 US7 G4 - + US6 + - US1 G5 • • 2 在该支路上设支路电流变量

1 3 • • • • 2 1 3 • • • • 2 IS3 G3 I G6 G2 G1 US7 G4 US6 US1 G5 G3 I - + G1 US7 G4 - + US6 + - US1 G5 • • 2 1 G3 3 • • I G6 G2 G1US1 - + G1 US7 G4 G6US6 G5 • • 2

1 3 • • • • 2 = IS3 G3 I G6 G2 G1US1 G1 US7 G4 G6US6 G5 - + G1 US7 G4 G6US6 G5 • • 2 G1+ G2+ G3 -（ G1 + G2 ） - G3 U1 G1US1 – IS3 -（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4 U2 - G1US1 = -G3 – G4 G3 + G4 + G6 U3 IS3– G6US6 +I U3 = - US7

1 3 • • • • 2 = IS3 G3 G6 G2 G1US1 G1 US7 G4 G6US6 G5 U1 - + G1 US7 G4 G6US6 G5 • • 2 U1 G1+ G2+ G3 -（ G1 + G2 ） - G3 G1US1 – IS3 U2 = -（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4 - G1US1 -US7

例：图3.25 1 3 • • I • • 2 I = -I IS3 G3 G6 G2 G1 US7 US1 G4 G6US6 G5 U1 + + - G1 US7 US1 G4 G6US6 G5 • • 2 I U1 G1+ G2+ G3 -（ G1 + G2 ） - G3 G1US1 – IS3 U2 = -（ G1 + G2 ） G1+ G2+ G4 + G5 - G4 - G1US1 -US7 -I US1 = U1 – U2

1 3 • • • • 2 = IS3 G3 I1 I7 G6 G2 US7 US1 G4 G6US6 G5 - + + - US7 US1 G4 G6US6 G5 • • 2 G2+ G3 - G2 - G3 U1 I1– IS3 - G2 G2+ G4 + G5 - G4 U2 - I1 = -G3 – G4 G3 + G4 + G6 U3 IS3– G6US6 + I7 U3 = - US7 US1 = U1 - U2

3.6 置换定理 在线性或非线性电路中，某支路的电压和电流 为 U=α 和 I=β 。把该支路用 US= α 的电压源或 IS= β 的电流源置换。若置换后的电路有唯一解，则置换前后电路中的各支路电压和电流保持不变。 I 。 + - + - US= α U I 。 。 + - U 。 I 。 U= α + - U I= β IS= β 。

证明 若电路有 b 条支路，n 个节点 求各支路的电压、电流。共2b个未知数 可列方程数 KCL: n-1 KVL: b-(n-1) 总数2 b 各支路的伏安关系方程 数 b 已知：该方程的两个解U= α、 I= β 把其中一个解 U= α 或I= β 代回原方程，当然不会影响其他解。

可列方程数 KCL: n-1 KVL: b-(n-1) 各支路的伏安关系方程 数 b 。 。 。 。 。 。 证明 结构未变，方程不变 改变一个 I 。 + - + - US= α U I 。 。 U未变，KCL使I不变 + - U 。 I 。 U= α + - U I= β IS= β 。 I未变，KVL使U不变

例3.8 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 + - U1 +- I1 I2 1 1 2V 2 -1 I1 2+ 3I2 = -1 3 I2 0 I1 = 3 (A) U1 = 1 (V) I2 = 1 (A) I3 = 2 (A)

例3.8 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 1 +- 1 2V 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 +- 1 2V 1A

例3.8 + - 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 U1 1 2V 1A I1 + (I1 –1) = 2+3 I1 = 3 (A) - + I2 + - I1 I3 U1 +- 1 2V 1A I1 + (I1 –1) = 2+3 I1 = 3 (A) U1 = I3 - I2 = 1 (V) I3 = 2 (A) I2 = 1 (A)

例3.8 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 1 1 2V 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 1 V 1 2V +- + - - + I2 I1 I3 1 +- 1 2V 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 + - +- 1 V 1 2V

2 -1 I1 2+ 3I2 = 2 - 4 I1 2 = 不满足：有唯一解的条件 3I2 1 1 - + I2 I1 I3 I1 I2 - + I2 I1 I3 + - +- I1 I2 1 V 1 2V 2 -1 I1 2+ 3I2 = -1 2 I2 - 1 2 - 4 I1 2 = 不满足：有唯一解的条件 -1 2 I2 - 1