非线性反馈移位寄存器探讨戚文峰.

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1.3 二项式定理. [ 题后感悟 ] 方法二较为简单，在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行适当变形，可使展开多项式的过程简化．记准、记熟二项式 (a ＋ b) n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，会更简便.

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定理21.9(可满足性定理)设A是P(Y)的协调子集，则存在P(Y)的解释域U和项解释，使得赋值函数v(A){1}。

§8.3 不变因子一、行列式因子二、不变因子.

§6.7 子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和.

6.4 特征根与特征向量授课题目：6.4 特征根与特征向量授课时数：4学时教学目标：掌握特征根与特征向量的定义、性质与求法

解：设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：

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§2 自由代数定义19.7:设X是集合，G是一个T-代数，为X到G的函数,若对每个T-代数A和X到A的函数，都存在唯一的G到A的同态映射,使得=，则称G(更严格的说是(G,))是生成集X上的自由T-代数。X中的元素称为生成元。 A变， 变 变， 也变对给定的 和A，是唯一的.

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非线性反馈移位寄存器探讨戚文峰

eSTREAM中Trivium

eSTREAM中Grain

eSTREAM的特点： 1. 序列源的非线性 2. 过滤函数简洁 3. 非线性序列代数结构刻画困难

目前关于非线性反馈移位寄存器序列(或非线性递归序列)的理论分析成果非常少, 尽管对其研究的历史并不短.

 Galois非线性反馈移位寄存器定义设fi(x0, x1,…, xn1)是n元布尔函数, i  0,1,…, n  1, n级Galois型非线性反馈移位寄存器(简称Galois NFSR)如下图定义 f0(x0,,xn1) f1(x0,,xn1)  fn1(x0,,xn1) x0 x1 xn1

称F  ( f0(x0,, xn1),, fn1(x0,, xn1))是NFSR的反馈函数, 若i时刻时(x0,, xn1)的状态为(a0(i),…, an1(i)), 则i  1时刻的状态为 (a0(i  1),…, an1(i  1))  ( f0(a0(i),…, an1(i)) ,…, fn1(a0(i),…, an1(i))) 并称aj  (aj(0), aj(1),…)为寄存器xj的输出序列, 记Gj(F)为xj的输出序列全体. 特别称x0的输出为该反馈移位寄存器输出序列. 简记G(F)  G0(F). f0(x0,,xn1) f1(x0,,xn1)  fn1(x0,,xn1) x0 x1 xn1

 Fibonacci非线性反馈移位寄存器(Fibonacci NFSR) 若f0  x1,…, fn2  xn1, 并令f(x0,, xn1)  fn1(x0,, xn1). 以f为反馈函数的n级Fibonacci NFSR如右图, x0的输出序列全体记为G( f ).  x0 x1 xn1 f(x0,,xn1) f0(x0,,xn1) f1(x0,,xn1)  fn1(x0,,xn1) x0 x1 xn1

 Galois NFSR与Fibonacci NFSR的等价问题设F  ( f0(x0,, xn1),, fn1(x0,, xn1))是Galois NFSR的反馈函数, 考虑是否存在f(x0,, xn1)和0  i  n  1, 使得 G( f )  Gi(F)  x0 x1 xn1 f(x0,,xn1) f0(x0,,xn1) f1(x0,,xn1)  fn1(x0,,xn1) x0 x1 xn1

Elena Dubrova(瑞典)研究了该问题定义设n级Galois NFSR以F  ( f0(x0,, xn1),, fn1(x0,, xn1)) 为反馈函数, 定义其反馈有向图为: 以n个寄存器x0, x1,, xn1为n个顶点, 对于 xi 和 xj (i和j可以相同), 若fj(x0,, xn1)含变元 xi, 则 xi 到 xj 有一有向弧, 记为edge(xi, xj), 此时, 称 xi为xj 的先导, xj 为 xi 的后继. E. Dubrova, “A Transformation from the Fibonacci to the Galois NLFSRs,” IEEE Transactions on Information Theory, vol.55, pp.5263-5271, Nov.2009.

设 f0(x0,, x3)  x1 f1(x0,, x3)  x0  x2 f2(x0,, x3)  x0  x3 f3(x0,, x3)  x0  x1x3 x0 x1 x2 x3

 定义设U是n级NLFSR的反馈有向图, xj是U中一个顶点, 若xj有唯一的先导xi, 则删除顶点xj , 对xj的每个后继xk, edge(xj, xk)由edge(xi, xk)代替, 得到一个新的有向图, 这个图的变换称为代替变换. x1 x2 x3 x0 x1 x2 x3  对U的每个顶点重复进行代替变换, 直到不能再进行代替变换(即所到的图中没有顶点有唯一的先导), 变换所得的有向图称为U的既约反馈图.

ai(k  n)  g(ai(k ),, ai(k  n  1)), k  0,1,.  定理1 给定n级NFSR, U是其反馈图, 若U可以既约成单点xi, 则xi的输出是一个n级Fibonacci NFSR, 即存在n元布尔函数g(x0, x1,, xn1), 使得 xi的任意一条输出序列ai  (ai(0), ai(1),)满足 ai(k  n)  g(ai(k ),, ai(k  n  1)), k  0,1,. E. Dubrova, “A Transformation from the Fibonacci to the Galois NLFSRs,” IEEE Transactions on Information Theory, vol.55, pp.5263-5271, Nov.2009.

谢谢 !