數學思維與 數學教學 黃德華博士 香港教育學院講師 © 時信出版 (香港) 有限公司 1

摘要 小學數學教育的主要目的是提升學生的數學能力。而要達至此目的，數學教師對學生的數學思維培養是十分重要的。講者更認為只有提升學生的數學思維能力，才能夠提升學生的真正數學能力，幫助學生運用數學知識，解決數學難題，從而提高學生學習數學的興趣及自學能力。 © 時信出版 (香港) 有限公司 2

何謂數學思維？ 數學是一種思維。 Mathematics is a mode of thinking. (CDC 2002) 數學是一種溝通的媒介。 Mathematics is a mean of communication. (CDC 2002) © 時信出版 (香港) 有限公司 3

數學是甚麼思維？ 許多老師、數學教育工作者、數學教育家都把數學思維解作： 創造性思維 (creative thinking) 邏輯性思維 (logical thinking) 批判性思維 (critical thinking)， 此外還包括： 分析 (analysis)、歸納 (induction)、演繹(deduction) 及解決難題 (problem -solving) 及…等等的能力。 © 時信出版 (香港) 有限公司 4

創造性思維 (creative thinking) 例：圓心的關鍵特徵：圓心是圓的中心、並是由兩條直徑相交得出的。 創意活動：怎樣找圓心？ (六下單元二：圓) © 時信出版 (香港) 有限公司 5

活動一：如何找出一張圓形紙的圓心？ 方法：摺紙 向右對摺一次 向下對摺一次 展開，摺痕的交點便是圓心。 © 時信出版 (香港) 有限公司 6

活動二：如何找出一隻圓形碟的圓心？ 方法：利用圓周角是直角的方法。 © 時信出版 (香港) 有限公司 7

8 圖中的 AB 是圓的直徑。 B 利用直尺在圓周上畫出直角。 A D 圖中的 CD 是圓的另一條直徑，AB 和 CD 的交點便是圓心。 重覆在圓上 畫直角三角形。 D C 圖中的 CD 是圓的另一條直徑，AB 和 CD 的交點便是圓心。 © 時信出版 (香港) 有限公司 8

活動三：如何找出一個圓形水池的圓心？ 方法：利用一根繩，找出最長的弦。 圓的最長的弦一定是直徑。 © 時信出版 (香港) 有限公司 9

邏輯性思維 (logical thinking) 例： 小明比小強高，小強比小英高。 (一上單元六：長度和距離 (一) ) 小明 小強 小英 那麼，小明比小英 (高 / 矮)。 若 A > B 及 B > C， 則 A > C。 © 時信出版 (香港) 有限公司 10

例：圖中有箱 12 個。將第一隻雞蛋放入 A 箱，將第 2 隻雞蛋放入 B 箱，如此類推。第 100 隻雞蛋會放入哪一個箱中？ (四上單元二：除法(二) ) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 11

第 100 隻雞蛋應放在由 A 箱數起第 個箱中，即 箱。 圖中有箱 12 個。 由於 100  12 = … ， 第 100 隻雞蛋應放在由 A 箱數起第 個箱中，即 箱。 8 4 4 D © 時信出版 (香港) 有限公司 12

批判性思維 (critical thinking) 小芬統計了 4D 班同學最喜愛的動物，並製作了以下的棒形圖。 標題正確嗎？如不正確，請建議一個新的標題。 橫軸和縱軸編寫正確嗎？說說看。 c. 你還找到其他錯處嗎？ 答案 (四下單元七：棒形圖 (一) ) © 時信出版 (香港) 有限公司 13

標題正確嗎？如不正確，請建議一個新的標題。 橫軸和縱軸編寫正確嗎？說說看。 c. 你還找到其他錯處嗎？ b. 不正確。圖像欠了橫軸名稱：“動物” 和縱軸名稱： “人數”。 a. 不正確。標題沒有說明統計的對象。建議標題為 “4D 班同學最喜愛的動物”。 c. 代表大象的棒太闊。棒形圖中每一棒的闊度應該相同，我們不應因為某動物的體型較大便畫上較闊的棒。 © 時信出版 (香港) 有限公司 14

分析 (analysis) 例：兩隻小熊以不同路線回家，你知道哪一條回家的路線較短呢？(一上單元六：長度和距離 (一)) 小熊 A 小熊 B 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 15

所以，小熊 ____ 的路線比小熊 ____ 的短。 小熊 A 小熊 B 小熊 A 的路線長 段， 小熊 B 的路線長 段。 所以，小熊 ____ 的路線比小熊 ____ 的短。 12 13 A B © 時信出版 (香港) 有限公司 16

歸納 (induction) 例：觀察首 4 個乘法算式，找出當中的規律，然後計算出餘下等式的積。 (三上單元三：乘法 (一) ) a. 102  9 = 918 b. 203  9 = 1827 c. 304  9 = 2736 d. 405  9 = 3645 e. 506  9 = f. 607  9 = g. 708  9 = h. 809  9 = 答案 (三上單元三：乘法 (一) ) © 時信出版 (香港) 有限公司 17

a. 102  9 = 918 b. 203  9 = 1827 c. 304  9 = 2736 d. 405  9 = 3645 e. 506  9 = f. 607  9 = g. 708  9 = h. 809  9 = 4554 5463 6372 7281 102  9 = 918 1  9 = 9 2  9 = 18 © 時信出版 (香港) 有限公司 18

演繹 (deduction) 例：下圖中，C 是直線 BD 的中點。AE 平行 BD。BDEF 是一個平行四邊形。已知三角形 ABC 的面積是 10 cm2。求平行四邊形 BDEF 的面積。 (五上單元五：面積 (二) ) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 19

由 A 和 F 點分別作垂直線至 BD。 三角形 ABC 的面積 = BC  AH  2 10 cm2 = BC  AH  2 平行四邊形 BDEF 的面積是： 還有其他計算方法嗎？ BD  FG = 2  BC  AH = 2  20 = 40 (cm2) © 時信出版 (香港) 有限公司 20

利用本科知識解決難題 (problem - solving) 例：小芬有兩包不同味道的糖果，一包有 10 粒，另一包有 15 粒。她想把糖果均分給若干位小朋友，每人分得糖果的數量是一樣的。問小朋友最多可以是多少人？ (四上單元五：公倍數和公因數 ) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 21

小朋友的人數必可同時整除 10 和 15， 即小朋友的人數應是 10 和 15 的最大公因數。 10 的因數有：1, 2, 5, 10 15 的因數有：1, 3, 5, 15 10 和 15 的最大公因數是：5 因此，小朋友最多可以是 5 人。 © 時信出版 (香港) 有限公司 22

知識轉移 除了以上的思維能力外，還有很多不同的思考方法，例如： 計算 23  13。(四上單元一：乘法 (二) ) 23  13 = 23  (10 + 3) 23  10 2 3 0 = 23  10 + 23  3 23  3 6 9 = 230 + 69 23  10 + 23  3 2 9 9 = 299 知識轉移 © 時信出版 (香港) 有限公司 23

計算 。(五上單元三：分數 (四) ) © 時信出版 (香港) 有限公司 24

如何提升學生的數學能力？ 數學能力包括數學思維及基礎運算能力。 宜先加強基礎數學知識與運算能力。 要求學生多做多練，提升他們的數學概念的認識與運算操作的能力。 然後便加強培訓學生的思考能力，解決非常規數學難題。 © 時信出版 (香港) 有限公司 25

數學思維的培訓模式 宜利用基礎至高階的教學程序進行 (Basic to Advance Model) 基礎包含數學概念和技巧 由於數學概念和技巧都是合乎邏輯推理的思維模式，這正是培養學生思維的基本元素。 © 時信出版 (香港) 有限公司 26

一般數學教學能否配合這模式？ 一般數學教學的模式，大體上分為兩種： 傳統教育模式 培養學生自身思考的教學的模式 27 © 時信出版 (香港) 有限公司 27

傳統數學的教學模式 – 博文強記 以教師為中心 講授式教學 學生沒有積極的思考、發問和質疑的機會 機械式操練、背誦 28 © 時信出版 (香港) 有限公司 28

培養學生自身思考的數學的教學模式 以學生為中心 學生不斷思考、不斷嘗試、不斷探究 學生可透過已有知識，探究新的知識 29 © 時信出版 (香港) 有限公司 29

數學思維與數學方法 數學方法是指我們學習數學知識、解答數學難題時所採用的方法。當中包括思考過程及獲取知識的步驟。 數學方法的培養應與數學思維融為一體。 教授數學知識的過程中應包括誘導學生透過思考、理解、探究、歸納等形式獲取學習該數學知識的方法和程序。 因此，任何數學知識中都應包含相關的、可行的數學方法和思考方式。 © 時信出版 (香港) 有限公司 30

數學思維、數學方法與教學材料 數學思維是無形的東西，大多不能具體全面性的寫在教材內。 教師應在備課時深入分析、理解、掌握所教授的知識所包含的數學方法和思維模式。 宜透過討論，闡述方法的作用。 在知識傳遞的過程中，揭示數學方法，培訓學生的數學思維。 © 時信出版 (香港) 有限公司 31

如何強化新形式的數學思維？ 數學能力是結合操作與解難的能力。正如前文所述，數學是不單要多做多練，更要多思考地應用在不同情境中。因此，老師可設計一些類同剛學會的思維方式的「延展問題」，藉以強化和訓練學生應用這些新學的數學思維方法，隨後再透過「思維能力評估」等練習，使學生能熟練運用數學中的思維方式解答非常規難題，從而達到提升學生的學習自覺性，激發他們的學習興趣。 全方位數學思維訓練：四下單元一 © 時信出版 (香港) 有限公司 32

設計校本教材 專業的數學老師當然有能力自我編寫相關的校本教材。 時間？人力資源？ 合符經濟原則嗎？ © 時信出版 (香港) 有限公司 33

出版社編寫的輔助教材 34 小學數學 – 全方位數學思維訓練 小小溫習室 基本能力測試 數學思維訓練 數學思維訓練方法 延展問題 數學思維應用 © 時信出版 (香港) 有限公司 34

數學思維培訓 的常用模式舉隅 © 時信出版 (香港) 有限公司 35

例 1. 結合具體實例作思考。 分析 (a) (b) ？ (c)  © 時信出版 (香港) 有限公司 36

(a)：分數概念的簡單事例，包括例子、非例子。這有助加深對分數概念的理解，提升辨別具體實例的能力(涉及批判性思維)。 (b) 和 (c) ： 分數概念的變式事例。 分數概念的等份特徵暗藏起來，要識別每份是否相等，需作深入的分析和思考。 © 時信出版 (香港) 有限公司 37

延展問題 (a) (b) 求下圖佔全個圖形的幾分之幾。 © 時信出版 (香港) 有限公司 38

思維應用 比較 和 ，哪個較大？ 由於 ，所以 。 © 時信出版 (香港) 有限公司 39

例 2. 判斷及試誤的能力。 4 5 2 3 = 21    利用 2、3、4 和 6，加上運算符號，使算式等於 21。 例 2. 判斷及試誤的能力。 4 5 2 3 = 21 利用 2、3、4 和 6，加上運算符號，使算式等於 21。 (三下單元一：四則運算 (一))    © 時信出版 (香港) 有限公司 40

例 3. 逆思法 美儀原有郵票若干枚，哥哥給了她 176 枚後，她捐贈了其中的 432 枚給集郵學會。她現在有郵票 912 枚。問美儀原有郵票多少枚？(二下單元二：加與減 (三)) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 41

美儀原有郵票： 912 432 176 = (枚) + 1168 – © 時信出版 (香港) 有限公司 42

例 4. 利用數線解題 (a) 果園有芒果樹和蘋果樹。芒果樹有 1200 棵，而蘋果樹的數量比芒果樹的 2 倍多 80 棵。蘋果樹有多少棵？ 例 4. 利用數線解題 (a) 果園有芒果樹和蘋果樹。芒果樹有 1200 棵，而蘋果樹的數量比芒果樹的 2 倍多 80 棵。蘋果樹有多少棵？ (四上單元四：倍數和因數) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 43

芒果樹： 蘋果樹： 因此，蘋果樹有：  2 + = (棵) 1200 80 2480 1200 棵 2 倍 80 棵 44 = (棵) 1200 80 2480 © 時信出版 (香港) 有限公司 44

(b) 小珊原有 150 元，買了練習簿 5 本後，還有 75 元。問練習簿每本售多少元？(六下單元六：簡易方程(二)) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 45

設練習簿每本售 x 元， 則 5 本練習簿售 5x 元。 150 – 5x = 5x = 150 – 5x = = x = 15 150 元 設練習簿每本售 x 元， 則 5 本練習簿售 5x 元。 150 – 5x = 5x = 150 – 5x = = x = 所以，練習簿每本售 元。 75 15 © 時信出版 (香港) 有限公司 46

例 5. 利用列表解題 一井底蛙想跳出一口深 6 米的井。牠每一跳可向上前進 2.5 米，然後下滑 1.3 米。問這隻青蛙需要跳多少次才能離開這口井？ (五下單元一：小數(二)) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 47

跳的次數 離井底 的距離 (米) 下滑後離井底 1 2.5 2.5 – 1.3 = 1.2 2 1.2 + 2.5 = 3.7 3.7 – 1.3 = 2.4 3 2.4 + 2.5 = 4.9 4.9 – 1.3 = 3.6 4 3.6 + 2.5 = 6.1 此時，青蛙已跳至井口。 這隻青蛙需要跳 次才能離開這口井。 4 © 時信出版 (香港) 有限公司 48

例 6. 利用移項湊整解題 利用移項湊整計算 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9。 例 6. 利用移項湊整解題 利用移項湊整計算 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9。 答案 (二上單元二：加與減 (二)) © 時信出版 (香港) 有限公司 49

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 9) + (2 + ) + (3 + ) + ( + ) + = + + + + = + = 8 7 4 6 45 5 40 10 © 時信出版 (香港) 有限公司 50

例 7. 歸一法 100 克粟米可以榨得粟米油 37 克。10 克粟米可以榨得粟米油多少克？ (四下單元三：小數 (一)) 答案 51 例 7. 歸一法 100 克粟米可以榨得粟米油 37 克。10 克粟米可以榨得粟米油多少克？ (四下單元三：小數 (一)) 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 51

1 克粟米可以榨得粟米油： 37 100 = (克)  10 克粟米可以榨得粟米油：  10 0.037 0.37 52 37 100 = (克) 10 克粟米可以榨得粟米油：  10  0.037 0.37 © 時信出版 (香港) 有限公司 52

例 8. 利用有規律的方法數數 下圖中，可以數出多少個不同種類的角？ (三下單元三：角 (二)) 圖中，可以數出： 個銳角； 個直角； 例 8. 利用有規律的方法數數 下圖中，可以數出多少個不同種類的角？ (三下單元三：角 (二)) 圖中，可以數出： 個銳角； 個直角； 個鈍角。 答案 © 時信出版 (香港) 有限公司 53

圖中，可以數出： 個銳角； 個直角； 個鈍角。 6 1 3 © 時信出版 (香港) 有限公司 54

完 © 時信出版 (香港) 有限公司 55