2B_Ch12(1)

一些特殊的三角比 1 tan cos sin 60° 45° 30° 三角比  目錄 12.1 一些特殊的三角比 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(3) 一些特殊的三角比 1 tan cos sin 60° 45° 30° 三角比  目錄

一些特殊的三角比 ‧ 注意︰透過「分母有理化」， 可寫成 ； 可寫成 。 1 3 目錄 12.1 一些特殊的三角比 例題演示 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(4) 例題演示 一些特殊的三角比 ‧ 注意︰透過「分母有理化」， 可寫成 ； 可寫成 。 1 3 目錄

不使用計算機，求 tan 60°cos 30° – tan 45°的值。 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(5) 不使用計算機，求 tan 60°cos 30° – tan 45°的值。 =  tan 60°cos 30° – tan 45° = = 習題目標 求三角式的值。 目錄

12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(6) 不使用計算機，求 的值。 = = 習題目標 求三角式的值。 = 目錄

在以下各方程中，不使用計算機，求 。 (a) (b) (a) = 0 = 0 = 1 tan =  = 30° 目錄 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(7) 在以下各方程中，不使用計算機，求 。 (a) (b) (a) = 0 = 0 = 1 tan =  = 30° 目錄

(b) 2cos 2 – 1 = 0 2cos 2 = 1 cos 2 = 2 = 60°  = 30° 習題目標 目錄 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(8) 返回問題 (b) 2cos 2 – 1 = 0 2cos 2 = 1 cos 2 = 2 = 60°  = 30° 習題目標 解三角方程。 目錄

12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(9) 圖中所示為公園內的一座滑梯，其中 BC 是闊 1 m、高 2 m 的平台，CE 和 BF 則是兩條鉛垂柱子。已知滑梯本身 (CD) 與柱子 CE 成 45° 而梯級 (AB) 與地面成60°。 (a) 求 CD 的長度。 (b) 求全座滑梯兩端的水平距離 DA 。 解 解 （答案以根號「 」表示。） 目錄

(a) 在 △CDE 中， cos 45° = = ∴ CD = CE = m 目錄 12.1 一些特殊的三角比 返回問題 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(10) 返回問題 (a) 在 △CDE 中， cos 45° = = ∴ CD = CE = m 目錄

tan45° = (b) 在 △CDE 中， ∴ DE = CE tan 45° = 2  1 m = 2 m EF = CB = 1 m 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(11) 返回問題 tan45° = (b) 在 △CDE 中， ∴ DE = CE tan 45° = 2  1 m = 2 m EF = CB = 1 m tan 60° = 在 △ABF 中， = ∴ FA = = m 目錄

(b) ∴ DA = DE + EF + FA = = 習題目標 目錄 12.1 一些特殊的三角比 求涉及直角三角形的圖形的未知量。 12.1 一些特殊的三角比 2B_Ch12(12) 返回問題 (b) ∴ DA = DE + EF + FA = = 習題目標 求涉及直角三角形的圖形的未知量。 重點理解 12.1.1 目錄

利用畢氏定理求三角比的值 ‧ 對於一個銳角 ，如果已知其中一個三角比的值，我們可用畢氏定理求出角  其他三角比的值。 目錄 12.2 利用畢氏定理求三角比的值 2B_Ch12(13) 利用畢氏定理求三角比的值 ‧ 對於一個銳角 ，如果已知其中一個三角比的值，我們可用畢氏定理求出角  其他三角比的值。 目錄

12.2 利用畢氏定理求三角比的值 2B_Ch12(14) 例題演示 利用畢氏定理求三角比的值 例如： 已知 sin = ，求 cos 和 tan 的值。若繪畫直角三角形 ABC 的草圖，其中設∠B = ，∠C = 90°，AB = 5 及 AC = 4，則根據畢氏定理， ∴ 目錄

已知 cos = 。不使用計算機，求 sin 和 tan 的值。 12.2 利用畢氏定理求三角比的值 2B_Ch12(15) 已知 cos = 。不使用計算機，求 sin 和 tan 的值。 如圖所示，畫直角三角形 ABC， 其中 BC = 8 及 AB = 9，使 cos = 。 根據畢氏定理， AC = = = 目錄

∴ sin = = tan = = 習題目標 目錄 12.2 利用畢氏定理求三角比的值 12.2 利用畢氏定理求三角比的值 2B_Ch12(16) 返回問題 ∴ sin = = tan = 習題目標 已知 cos，利用畢氏定理求 sin 和 tan。 = 目錄

已知 tan  = 。不使用計算機，求 sin cos 的值。 12.2 利用畢氏定理求三角比的值 2B_Ch12(17) 已知 tan  = 。不使用計算機，求 sin cos 的值。 如圖所示，畫直角三角形 ABC，其中 AC = 及 BC = 4，使 tan  = 。 根據畢氏定理， = = 目錄

∴ sin = = cos = = ∴ sin cos =  = 習題目標 目錄 12.2 利用畢氏定理求三角比的值 12.2 利用畢氏定理求三角比的值 2B_Ch12(18) 返回問題 ∴ sin = = cos = = =  ∴ sin cos = 習題目標 利用已知三角比及畢氏定理求三角式的值。 重點理解 12.2.1 目錄

sin tan  cos sin 與 cos 的比 A) ‧ 利用以下三角恆等式，我們便可化簡或計算涉及三角比的數式。 目錄 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(19) 例題演示 sin 與 cos 的比 A) ‧ 利用以下三角恆等式，我們便可化簡或計算涉及三角比的數式。 tan  sin cos 目錄 12.3 目錄

化簡下列各式。 (a) (b) tan cos (a) = tan 35° (b) tan cos =  cos = sin 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(20) 化簡下列各式。 (a) (b) tan cos (a) = tan 35° =  cos (b) tan cos = sin 目錄

若 sin = ，tan = ，求 cos 的值。 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(21) 若 sin = ，tan = ，求 cos 的值。 ∴ tan = ∴ cos = = = 目錄

化簡 。 = = = sin 習題目標 目錄 12.3 三角恆等式的基本認識 利用三角恆等式化簡三角式。 重點理解 12.3.1 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(22) 化簡 。 = = 習題目標 利用三角恆等式化簡三角式。 = sin 重點理解 12.3.1 目錄

sin2 + cos2  1 sin2  1 – cos2 cos2  1 – sin2 B) 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(23) 例題演示 B) sin 與 cos 的平方和 ‧ 以下也是一個三角恆等式，它適用於任何 。 sin2 + cos2  1 亦可寫成： sin2  1 – cos2 cos2  1 – sin2 目錄 12.3 目錄

(a) sin2 43° + cos2 43° (b) 3sin2 + 3cos2 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(24) 化簡下列各式。 (a) sin2 43° + cos2 43° (b) 3sin2 + 3cos2 (a) sin2 43° + cos2 43° = 1 (b) 3sin2 + 3cos2 = 3(sin2 + cos2 ) = 3  1 = 3 目錄

如果 sin = ，求 4 – 4 cos2 的值。 4 – 4 cos2 = 4(1 – cos2) = 4 sin2 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(25) 如果 sin = ，求 4 – 4 cos2 的值。 4 – 4 cos2 = 4(1 – cos2) = 4 sin2 = 4  = 目錄

12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(26) 化簡 。 = = = 習題目標 利用三角恆等式化簡三角式。 = = 目錄

已知 sin x = 。利用三角恆等式求 cos x 及 tan x 的值。 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(27) 已知 sin x = 。利用三角恆等式求 cos x 及 tan x 的值。 cos2 x = 1 – sin2 x = ∴ cos x = = = = 目錄

∴ tan x = = = 習題目標 目錄 12.3 三角恆等式的基本認識 利用三角恆等式求三角比或三角式的值。 返回問題 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(28) 返回問題 ∴ tan x = = = 習題目標 利用三角恆等式求三角比或三角式的值。 目錄

已知 tan  = 3，利用三角恆等式求的 值。 = = = = = 7 習題目標 目錄 12.3 三角恆等式的基本認識 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(29) 已知 tan  = 3，利用三角恆等式求的 值。 = = = 習題目標 利用三角恆等式求三角比或三角式的值。 = = 7 目錄

已知 cos = 。利用三角恆等式求 2cos2 + 3sin2 的值。 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(30) 已知 cos = 。利用三角恆等式求 2cos2 + 3sin2 的值。 ∴ sin2 = 1 – cos2 ∴ 2cos2 + 3sin2 = 2cos2 + 3(1 – cos2 ) = 2cos2 + 3 – 3cos2 = 3 – cos2 = 習題目標 利用三角恆等式求三角比或三角式的值。 = = 重點理解 12.3.2 目錄

12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(31) C) 餘角的三角比 參看右圖，我們說  和  互為餘角，即  是  的餘角而  也是  的餘角。 我們亦可簡稱  和  互餘。 2. 下列三個都是三角恆等式，適用於任何一對互餘角  和  。 tan  1 tan sin  cos  cos  sin  目錄

sin  cos(90° –  ) cos  sin(90° –  ) 1 tan  tan(90° –  ) 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(32) 例題演示 C) 餘角的三角比 3. 上述三個恆等式亦可寫成： （由於  + = 90°，所以  = 90° – ） sin  cos(90° –  ) cos  sin(90° –  ) tan  1 tan(90° –  ) 目錄 12.3 目錄

(a) 試以餘弦表示 sin 10°。 (b) 試以正弦表示 cos 54°。 (a) sin 10° = cos(90° – 10°) 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(33) (a) 試以餘弦表示 sin 10°。 (b) 試以正弦表示 cos 54°。 (a) sin 10° = cos(90° – 10°) = cos 80° (b) cos 54° = sin(90° – 54°) = sin 36° 目錄

12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(34) 試以 tan 46° 表示 tan 44°。 = tan 44° = 目錄

試將以下各式簡化成 tan 的形式。 (a) (b) (a) = = = tan 22° 目錄 12.3 三角恆等式的基本認識 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(35) 試將以下各式簡化成 tan 的形式。 (a) (b) (a) = = = tan 22° 目錄

(b) = = = tan 54° 習題目標 目錄 12.3 三角恆等式的基本認識 利用餘角的三角比化簡三角式。 返回問題 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(36) 返回問題 (b) = = = tan 54° 習題目標 利用餘角的三角比化簡三角式。 目錄

不使用計算機，求 sin2 59° + sin2 31°的值。 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(37) 不使用計算機，求 sin2 59° + sin2 31°的值。 sin 31° = cos(90° – 31°) = cos 59° ∴ sin2 31° = cos2 59° ∴ sin2 59° + sin2 31° = sin2 59° + cos2 59° = 1 習題目標 利用餘角的三角比求三角式的值。 目錄

已知 tan x = 。不使用計算機，求 x。 tan x = = tan(90° – 75°) = tan 15° ∴ x = 15° 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(38) 已知 tan x = 。不使用計算機，求 x。 tan x = = tan(90° – 75°) = tan 15° ∴ x = 15° 習題目標 利用餘角的三角比求未知角。 目錄

已知 sin 3 = cos 2。不使用計算機，求 。 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(39) 已知 sin 3 = cos 2。不使用計算機，求 。 sin 3 = cos 2 = sin(90° – 2) ∴ 3 = 90° – 2 5 = 90°  = 18° 習題目標 利用餘角的三角比求未知角。 目錄

化簡 。 = sin – cos  tan = sin – cos  = sin – sin = 0 習題目標 目錄 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(40) 化簡 。 = sin – cos  tan = sin – cos  習題目標 利用餘角的三角比化簡三角式。 = sin – sin = 0 重點理解 12.3.3 目錄

簡單三角恆等式的證明 D) ‧ 我們可以利用下列 5 個恆等式來證明其他的三角恆等式，所用的方法與證明代數恆等式相同。 i. tan  12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(41) 例題演示 D) 簡單三角恆等式的證明 ‧ 我們可以利用下列 5 個恆等式來證明其他的三角恆等式，所用的方法與證明代數恆等式相同。 i. tan  ii. sin2 + cos2  1 iii. sin  cos(90° –  ) iv. cos  sin(90° –  ) v. tan  目錄

證明 (1 + cos )(1 – cos )  sin2。 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(42) 證明 (1 + cos )(1 – cos )  sin2。 左方 = (1 + cos )(1 – cos ) = 1 – cos2 = sin2 右方 = sin2 左方 = 右方 ∴ 習題目標 證明三角恆等式。 ∴ (1 + cos )(1 – cos )  sin2 目錄

證明 sin(90° – x)  sin x‧tan(90° – x)。 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(43) 證明 sin(90° – x)  sin x‧tan(90° – x)。 右方 = sin x‧tan(90° – x) = = = = cos x 目錄

∴ sin(90° – x)  sin x‧tan(90° – x) 12.3 三角恆等式的基本認識 2B_Ch12(44) 返回問題 左方 = sin(90° – x) = cos x 左方 = 右方 ∴ ∴ sin(90° – x)  sin x‧tan(90° – x) 習題目標 證明三角恆等式。 重點理解 12.3.4 目錄