基础 方法 能力 ---数学教育教学感悟 浙江省舟山市南海实验学校郑伟君 13515800518

数学解题教学的建议 ——基础+方法 1.重视问题的分析——高效的启发 2.直观化教学策略-----数形结合 3.重视总结解题的规律和方法 数学解题教学的建议 ——基础+方法 1.重视问题的分析——高效的启发 2.直观化教学策略-----数形结合 3.重视总结解题的规律和方法 4.我们何时需要”讲” 5.深刻理解数学概念促使问题转化

例1、如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，且交点为O。求证：OE=OD 1.重视问题的分析——高效的启发 例1、如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，且交点为O。求证：OE=OD D E O B C A 三角形中内角、外角的有关性质 角平分线的有关性质 证明线段相等的基本知识和方法

对“角平分线”概念的理解 从定义角度理解：∠1＝∠2＝1/2∠AOB 从性质角度理解：角平分线上的点到解的两边距离相等； 从对称性角度理解：角是轴对称图形，平分线所在的直线是对称轴。 A B O 1 2 C

例1、如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，且交点为O。求证：OE=OD 分析1：由已知你可以得到什么结论？ 你还可以得到什么结论？ N 启发：点O有什么特殊性质？ M 结合结论只需证明什么？ Q △OME≌△OND 所以，只需证明∠OEM=∠ODN！

所以，只需证明∠MOC=∠DOC！ 分析2：由已知你可以得到什么结论？ 你还可以得到什么结论？ 启发：直线BO有什么特殊性质？ 直线BO是对称轴，所以取BM=BE时 可得：OE=OM。 M 结合结论只需证明什么？ △OMC≌△ODC 所以，只需证明∠MOC=∠DOC！

小结：对角平分线概念从不同的角度进行理解就是知识基础； 分析的过程（要经常用分析思路图，体现“两头凑”思考的过程），启发语句的运用等就是方法。

例2、如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求一点M，使△MEF的周长最短。 1.重视问题的分析——高效的启发 例2、如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求一点M，使△MEF的周长最短。 考试结果11班有24个 学生作出了EF的中垂线与BC的点，占 50%，我班有12人

（转化为一个常见问题） 理解问题 在BC上求一点M，使△MEF的周长最短，即EF+FM+ME最小（可画草图分析）。 制订计划 因为E、F为定点，所以EF为定值，所以只要FM+ME最小，问题转化为在BC上求一点M，使点M到两定点E、F的距离之和最小。 （转化为一个常见问题） 3、执行计划 作点E或F关于BC的对称点…… 4、回顾

例3，已知：如图，平行四边形ABCD中，G为DC延长线上一点，AG交BD于E，交BC于F，求证：AE：EF=EG：AE 理解问题 正确观察图形，并联想有关性质，联想与结论有关的性质。 制订计划 采用“两头凑”的分析方法。AE：EF可进行怎样的转化……（DE：EB或AD：FB），EG：AE可转化为……（DE：EB或DG：AB），都等于DE：EB，成功！（也可采用箭头法） 3、执行计划 用演绎法表述推理过程 4、回顾 特别是前两步的思考方法。

例4.如图，三角形ABC和DEF都是正三角形（A与F重合，D、A、C在一条直线上） ，AC=5，DF= ，把三角形DEF沿AC方向平移，当三角形AEC是等腰三角形时，求平移的距离。 先充分理解题意,找到在移动过程中变与不变的”元素”,弄清问题中图形的变化规律, 在此基础上进行归纳和抽象(改变问题). 注意不要急于用媒体展示变化过程!

三角形ACE是等腰三角形有下面三种可能 ①若AC=AE，以A为圆心AC为半径作圆得点E1； ②若AC=CE，以C为圆心CA为半径作圆得点E2和E3； ③若AE=CE，作AC的垂直平分线得点E4。 移动距离只要求垂足之间的距离HH2即可。

重视启发引导 案例：这样讲题目更好 例3：如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在弧BC的中点A1，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分EF的长为 。 师：我们先来感觉一下这个 图形的特点，你感觉这个图形 中的哪些线段比较特殊？ 生1：我感觉线段AA1是直径。

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程 师：为什么？ 生1：连结BA1，因为A1是弧BC的中点，所以AA1是BAC的 平分线，所以∠BAA1=30°，∠BA1A=∠C=60°， 所以∠A1BA=90°，AA1是直径。 生2：我是这样想的，因为△ABC是正三角形，所以弧BA=弧AC，A1是弧BC的中点，所以由垂径定理，AA1是直径。 生3：因为△ABC是正三角形，所以弧BA=弧AC，所以弧BA是弧BAC的一半，同理弧BA1是弧BA1C的一半，所以弧ABA1是半圆，所以AA1是直径。 师：三个同学用三种不同的说法说 明了AA1是直径，说明大家很会动 脑筋，知识的应用很灵活，学得很 有效果，希望大家继续有好的表现。

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程 生4：我感觉MN是直径，因为MN是对称轴，而圆的对称轴过圆心，所以MN是直径。 生5：我感觉MN和EF是平行的，因为他们都垂直于AA1。 生6：那么△AEF是正三角形了。 师：很好，现在同学们对这个 图形已经有了比较全面和深入 的了解，下面可以考虑该如何 求EF的长度的问题了。 生1：在△ABA1中，AB=5， ∠AA1B=60°，所以， ，所以EO=5/3 所以EF=10/3。

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程 生7：我不用求出直径也可以求EF的长。因为∠A1=60°，所以△A1OB是正三角形，又BC⊥A1O，所以OG=1/2OB=1/2OA，所以EF：BC=AO：AG=2：3，所以EF=10/3 生8：我用相交弦定理，更简单。设EF=x，那么， ，因为AE×EB=ME×EN 所以 解得x=EF=10/3 生9：我还有另一种解法。说着他走到 前面在黑板上很自信地写下： 师：请你说明你的思路。

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程 这时，下面出现了议论声，并且越来越响，我感觉有事情了，果然， 生8：老师，我怎么用他的方法解不出EF的值呢？化简后的等式没有x了呀。 老师在黑板上演算后，发现真的出现了不含x的恒等式了，同学们感到很迷惑。 师：请大家思考，怎么会出现这种情况，你能发现其中的原因吗？ 同学们展开了热烈的讨论，不一会， 生7：这个等式中的EF不管在什么位置都能够使这个等式成立，所以求不出EF的具体数值了。

理解教学——让学生参与分析题意寻求解题思路的过程 师：生7讲得很好，事实上不论EF的位置如何，只要它平行于BC，都有生9的等式成立，也就是EF的值不能确定了。那么这个思路是否一定不对吗？我们是否可以做些改正呢？ 又一轮讨论开始了，约一分钟后，生9有了答案。 生9：只要把 改为 就可以了。 师：为什么这样就行了？ 生9：梯形的高是AO的一半， 这样就确定了EF的位置， 所以一定是对的。 教室里很安静，但马上就出现了大家对生9的赞叹声。

2.直观化教学策略-----数形结合 学生的问题：为什么要学习函数图象？ 美国数学家斯蒂恩:如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法. 图形表征不仅能够明确展现问题各个组成部分的拓扑关系和几何关系,而且图形表征的相关信息通常处于邻近的位置,这就使得人们易于识别模式、搜索信息和展开推导。 华罗庚曾精辟地说过:数缺形时少直观,形缺数时难入微,两者结合万般好,隔离分家万事休. 研究表明，文本信息在有图形描述时比没有图形描述时能够记得更加深刻。 学生的问题：为什么要学习函数图象？ x------图象------y 函数、方程和不等式之间的联系

例:公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的教学 教法1:示意编码法 这种教法多见于课本. 教法2:图形编码法 将(a+b)和(c+d)看成长方形的长 和宽,利用大长方形的面积等于四 个小长方形的面积之和. 这种教法多见于情境创设中. 教法3:标签编码法 （前 + 后）×（前+ 后）=前前+ 前后+ 后前+后后 口诀：前加后乘以前加后，等于前前、前后、后前、后后的和。 经过实验，图形编码的学习效果最好。

(也可用特殊的数代替a,b,其实质是一样的) 例1.已知点A(a,b),O为坐标原点,连结OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得到OA1,则点A1的坐标为( ) A.(-a,b) B.(a,-b) C.(-b,a) D.(b,-a) 1.建议画一个符合题意的一般图形(方法); 2.怎样确定点A1的坐标呢? 3.思考坐标的本来意义是什么?(知识); 4.过点A和A1向坐标轴作垂线!(方法) (也可用特殊的数代替a,b,其实质是一样的) A(a,b) A1(-a,b) O B C a b

例2.二次函数y=x2-x+a(a>0),当x取m时,y<0,问x取m-1时,y取正数还是负数还是0? 渗透数形结合思想方法、深入理解函数的意义，掌握具体的方法.------画示意图 例2.二次函数y=x2-x+a(a>0),当x取m时,y<0,问x取m-1时,y取正数还是负数还是0? 1.满足题意的图不容易画出; (注意到:开口向上,对称轴为x=1/2,与y轴交点在正半轴上) 2.由图可知0＜m＜1; 3.所以m-1＜0,又由图得y取正数 1/2 1 O ·

例2’.一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4的直线； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3。 请写出满足上述全部特点的一个二次函数。 1.通过画图可知,这个三角形的底AB和高OC的长度都是整数,且AB·OC=6; 2.由抛物线的对称性可知,AB=2或6; 3.y=±1/5(x-3)(x-5)或y=±1/7(x-1)(x-7)

例3. 方程 实数解的个数为( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 例3. 方程 实数解的个数为( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 1.设y1=x2-1,y2=1/x,利用图象,看它们的交点情况. 2.注意符合题意的图形应是下面的哪一个呢? -1 O -1 O -1 O

渗透数形结合思想方法、深入理解函数的意义，掌握具体的方法.------画示意图 例4、函数y1=-2/x, y2=-x-1,当x何值时，y1<y2。 1.函数值的大小反映在图象上就是图象位置的高和低; 2.函数图象交点(-2,1)和(1,-2)的意义? 3.注意x≠0,结合图象就可确定y1<y2时,x的取值范围是x＜-2或0＜x＜1

例5.若一元二次方程ax2+bx+c=0的系数满足 a + b + c＜0, a – b + c=2,则该方程( ) A. 必有两个不相等的实数根； B. 必有两个相等的实数根； C. 必无实数根； D. 无法确定.

3.重视总结解题的规律和方法 例1.如图，函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-1，2），且与x轴的交点的横坐标分别为，x1，x2，其中-2< x1 <-1,0< x2 <1,下列结论①abc>0;②4a-2b+c<0;③2a-b<0;.其中正确的有（ ） A. 0个，B. 1个， C.2个，D.3个

例2.(09黄石)函数y=ax2+bx+c的图象(a ≠0)的图象如图所示，下列结论①abc>0;②2a+b<0;③4a-2b+ c<0;④a+c>0.其中正确的个数有（ ） A. 4个，B.3个， C.2个，D.1个 ①错②对③对,难点是第④a+c>0,可从a和c的意义角度考虑,当二次函数的开口方向和大小确定时,a的值也随之确定,再通过平移图象改变c 值的大小.所以a+c的值有取正、负、0的情况，如当交点为x1=-0.2,x2=2.1时，a+c＜0。选C o -2 -1 1

这类问题最近几年较普遍地出现在各类考题中，它能较全面地考查函数基本性质，充分发挥函数图象在研究函数性质中的作用，如增减性与图象的特征，突出了利用函数图象沟通自变量与函数值这两个量之间的对应关系，函数图象与解析式的关系，正确运用函数图象信息的能力等都有较高要求。具有较强的综合性。 这样的问题其实是巩固函数知识的很好载体教学中要引起足够的重视。 回忆巩固基础知识：函数图象能清楚地反映出函数中两个量之间的对应关系，这种关系在解析式中的表现就是关于系数的方程或者不等式

提炼归纳解决问题的方法： 这类问题中的结论可分为三类， 一是利用图象或已知条件中的信息（图象经过点（-1，2）），可直接得出的结论，如系数a，c，b2-4ac，等的符号或满足的等式。 二是利用这些符号或不等式可以进一步得出的结论，如b的符号，本题中③2a-b<0等。此时,所用的方法是很重要的!如本题中增加一个判断不等式2b-3c+8<0是否成立，这可由② 4a-2b+c<0和图象经过点（-1，2）得到的等式a-b+c=2，消去a得到。 三是象例2的④判断a+c>0，可以根据系数a,c的本质特征结合题意得到解决。

例3．已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们交于点P。过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________。 Q R

作EF∥AD交BC于F，则DF：DC=AE：AC，求得FD=5/7，所以BP：BE=BD：BF=28：33，即PQ：AE=BP：EP=28：33，所以PQ=140/33，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是_400：1089_____。 A B C D E F

提炼归纳解决问题的方法： 如图中，点D、E、F把线段BC、AC、AD、BE分成的比中，只要已知其中的两个比，就可以添加平行线利用相似三角形的性质求得其它线段的比或线段的长度！ 向学生讲透求比的方法比多做题更有效果！ A B C D E F

(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S； 例4.已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S； (3)在轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在,求出所有的点P；若不存在,请说明理由． (4)在直线BC下方的抛物线上是否 存在一点H,使△HBC的面积 最大?若存在,请求出H点的坐标； 若不存在,请说明理由． （第24题）

(4)在直线BC下方的抛物线上是否 存在一点H,使△HBC的面积 最大?若存在,请求出H点的坐标； 若不存在,请说明理由． （第24题） 总结规律:第4小题，抛物线上求一点使面积最大（小），转化为坐标系中已知三角形三个点的坐标，求这个三角形的面积最值问题，这类通常有3种不同的思考途径：一是补成矩形减直角三角形，二是把三角形分为两个三角形，即面积=1/2×水平长×铅垂高，三是平行与三角形一边的直线与抛物线有唯一交点……。

相似三角形的判定 复习课 浙江省舟山市南海实验初中 郑伟君

4、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1, 点D是BC边上的一个动点 (不与B、C重合），在AC 上取一点E，使∠ADE=45°， 设BD=x，AE=y，求y关于 x的函数关系式及自变量x的 取值范围; E B C D

点D是BC边上的中点，∠EDF=45°，交AB于M， 交AC于N， （1）问：图中有相似三角形吗？请说明理由。 变式：如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC， 点D是BC边上的中点，∠EDF=45°，交AB于M， 交AC于N， （1）问：图中有相似三角形吗？请说明理由。 M N B C D （2）连结MN，则图中又增加了 几对相似三角形？

变式：如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC， 点D是BC边上的中点，∠EDF=45°， （3）当∠EDF绕着点D旋转， M A F N B C D （3）当∠EDF绕着点D旋转， 使得DE与BA的延长线交于 点M，DF与AC交于点N， 问：图中还存在刚才的 几对相似三角形吗？请说明理由。

练习：如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C， ∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1） 写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2） 连结FG，如果α＝45°，AB＝ ，AF＝3，求FG的长． M A B G F C D E

思考方法:如果问题的结论成立,应该具有什么条件? … 三、拓展提高 5.正方形边长为4, M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。 （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2） 当M点运动到什么位置时， Rt△ABM∽Rt△AMN． 对于(2):如果结论成立,应该有什么条件呢?比如哪两个角应该相等? …… 如果结论成立,应该有什么条件呢?比如哪些边会成比例呢? …… 思考方法:如果问题的结论成立,应该具有什么条件? …

值得思考的问题 1.有关三角形相似的判定方法及性质等知识你得到加深了吗? 2.你能提炼问题中的基本图形并会运用它解决问题吗? 3.你知道数学问题常用的分析方法和策略应该是怎样的吗?

三、归纳总结 1.回顾了三角形相似的四个判定方法及性质的 简单应用；特别是前两种常用在平行型和相交 型这种基本图形中。 B C A D E

2、解决了一类如图所示的一条直线上有 三角相等称为“一线三等角”的图形，这种 图形往往会有相似的结论。 A E C B D ┓ ┓ ┏ A N B C ┓ ┓ ┏ D B C M

3. 简单学习了数学问题常用的分析方法和策略：从已知和求证出发经过观察、思考、推理…,探求结论成立的“两头凑”方法 3.简单学习了数学问题常用的分析方法和策略：从已知和求证出发经过观察、思考、推理…,探求结论成立的“两头凑”方法.感悟到分类讨论等数学思想方法在解题中的指导作用，比如最后一题可以这样思考：如果结论成立，必须要具有什么条件，而这个条件的成立又应该具备怎样的条件呢……要学会从不同的角度来分析。

4.我们何时需要”讲” 在学生理解肤浅时; 在学生思路受阻时; 在学生理解有误时…… 苏霍姆林斯基认为,探究问题”能增强学生对周围实际现象的兴趣,发展他们看出多种事物和现象之间的相互联系的能力”.课堂教学需要学生探究,当探究困难问题时学生的思路往往受阻,出现”断路”,这时就需要教师的帮助,而有效的帮助需要教师了解学生思路”卡壳”的原因,因势利导进行启发,这样才能延续和激发学生的思维,而不能直接告诉学生答案了事.

例1. 已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,那么满足这样条件的P共有( ) A. 2个 B 例1.已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,那么满足这样条件的P共有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.7个 解析:分类讨论,当点A为直角顶点时过点A做AB的垂线与y轴负半轴有一个点P1,同理,当点B为直角顶点时,可得P2和P3两个所求的点. 当P为直角顶点时,学生产生了困难,教师应当如何帮助? 可思考一个问题:对一条线段的张角等于90°,这样的点有什么规律? P 6 5 4 3 2 1 O Y X -1 B(1,2) A(-1,0)

例，已知a+b=2，ab=-12，求下列各式的值。 这类问题分析时，应告诉学生根据已知条件和要求的代数式，可以联想到什么公式？（完全平方公式），（思考方法）。 进一步，可作如下的提炼和归纳：其实在 中，涉及到了 这4个（或6个）代数式之间的关系，并且已知其中的2个，就可以就出其余的几个。

谢谢！

渗透数形结合思想方法、深入理解函数的意义，掌握具体的方法.------画示意图 1.已知抛物线y=x2+(b-1)x+c经过点P(-1,-2b).b>3,过点P作直线PA⊥y轴,交点为A,交抛物线于另一点B,且BP=2PA,求这条抛物线所对应的二次函数关系式.

例．如图，在△ABC中，AB = AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分别交AD,AC于E,F.若EF：BE=a:b，那么GE:BE等于 . 分析1：不添加辅助线，利用平行线与比例线段的关系进行转化，比较复杂； 分析2：注意到四条线段EF、BE、GE、BE且BE=CE，考虑三角形EFC和ECG，相似！ 分析3：考虑AD是对称轴，有更简单的解法。连接CE并延长交AB于点H，则GE：BE=CE：BH=BE：EF=b:a. H

例3。等腰三角形ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转． （1）如图（1），当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．问△BPE与△CFP是否相似，请说明理由； （2）操作：将三角板绕点P旋转到图（2）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F． ① 探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） ② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

② 探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③ 设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S． 对于探究２，只要说明EP：BE=PF：BP，但由于（1）成立，可得EP：BE=PF：PC又BP=PC，所以得证。 对于探究3，注意到∠EPF=30°，S=0.5PE×PF×sin30°，又可求得BP= ，接下来，很多同学就不知道怎样解了，实际上由上题可知，PE：EF=BP：PF，即PE×PF=EF×BP，所以S= 对于探究3需要有较强的分析能力和必要的表述方法，教学时对于这样的“细节”要予以重视！

谢谢！