材料力学 第八章 弯曲变形

第八章 弯曲变形 §8–1 概述 §8–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §8–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 第八章 弯曲变形 §8–1 概述 §8–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §8–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 §8–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §8–5 梁的刚度校核 §8–6 梁内的弯曲应变能 §8–7 简单超静定梁的求解方法 §8–8 梁内的弯曲应变能

弯曲变形 §8－１ 概 述 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。

弯曲变形 一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 P x v C q C1 f 2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。　　　 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v =f (x) 小变形 三、转角与挠曲线的关系：

弯曲变形 §8-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 x M>0 f x M<0 f §8-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 f x M>0 小变形 f x M<0 式（2）就是挠曲线近似微分方程。

弯曲变形 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A B C P D

弯曲变形 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： 讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。

弯曲变形 例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 P 解： L x 建立坐标系并写出弯矩方程 f 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数

弯曲变形 P L x f 写出弹性曲线方程并画出曲线 最大挠度及最大转角

弯曲变形 解：建立坐标系并写出弯矩方程 P L a x f 写出微分方程的积分并积分

弯曲变形 应用位移边界条件求积分常数 P L a x f

弯曲变形 写出弹性曲线方程并画出曲线 最大挠度及最大转角 P L a x f

弯曲变形 §8-3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。 二、方法的理论基础：相似比拟。 上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。

弯曲变形 三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）： ①x轴指向及坐标原点完全相同。 ②几何形状完全相同。 ③实梁对应方程： 虚梁对应方程： ④ ⑤虚梁“力”微分方程的积分

弯曲变形 实梁“位移”微分方程的积分 下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。 ⑥依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。

弯曲变形 固定端A A 自由端A A 固定端A A 自由端A A 铰支端A A 铰支端A A 中间铰支座A 中间铰A 中间铰A 中间铰支座A

弯曲变形 总结：等截面实梁与虚梁的关系如下： ① x 轴指向及坐标原点完全相同。 ②几何形状完全相同。 ③ ④依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。 a ：固定端 自由端 b ：铰支座 铰支座 c ：中间铰支座 中间铰链 ⑤依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。

弯曲变形 例2 求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。 q L A B 解： 建立坐标和虚梁 求实梁的弯矩方程 以确定虚梁荷载 f x 求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度 A B L

弯曲变形 求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度 B点之矩 A B L

弯曲变形 q 解： 建立坐标和虚梁 qa2 A B D 求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载 f x C D qa a qa2/2 3qa2/8 – + x M qa2/2

弯曲变形 求虚梁B点的剪力和弯矩 qa2/2 x M 3qa2/8 – + 3qa2/8 A B C D qa2/2 a a a

弯曲变形 四、变截面直梁的共轭梁法： ①将截面的变化折算到弯矩之中去。 ②几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。 ③实梁对应方程： 虚梁对应方程： ④ 其它与等截面直梁完全相同。

弯曲变形 0.5a P B 例3 求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。 A x f D C E a a 解： 建立坐标和虚梁 x M

弯曲变形 0.5a P B A 求虚梁C点的剪力和弯矩 x f D C E a a x M

弯曲变形 §8-4 按叠加原理求梁的挠度与转角 一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：

= + 弯曲变形 P q 例4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。 A B C a a 解、载荷分解如图 P 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 = B A + q A B

弯曲变形 P q A B C a a P = 叠加 B A + q A B

弯曲变形 例5 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图 q0 b x dx C 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 x f 0.5L 叠加

= + 弯曲变形 例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 P L1 L2 A B C f x f P L1 L2 A B C B C 刚化AC段 B C P L2 等价 x f f1 + P L1 L2 A B C M P L1 L2 A B C 刚化BC段 等价 f2 x f

弯曲变形 §8-5 梁的刚度校核 一、梁的刚度条件 其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算： §8-5 梁的刚度校核 一、梁的刚度条件 其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：　　 、校核刚度：　 、设计截面尺寸； 、设计载荷。 (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）

弯曲变形 例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度。 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B P2 B C D A = = P2 B C a P1=1kN A B D C + P2 B C D A M + P2=2kN B C D A

= + + 弯曲变形 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B 解：结构变换，查表求简单 载荷变形。 x f = P1=1kN A B D C 图1 + P2 B C a 图2 + P2 B C D A M 图3

= + + 弯曲变形 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B 叠加求复杂载荷下的变形 x f = P1=1kN A B D C 图1 + P2 B C a 图2 + P2 B C D A M 图3

弯曲变形 校核刚度

弯曲变形 §8–6 梁内的弯曲应变能 一、弯曲应变能的计算： 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 P1 M x f P2 dx r dx §8–6 梁内的弯曲应变能 一、弯曲应变能的计算： 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 P1 M x f P2 dx r dx x Q Q+dQ M M+dM dq dq M(x)

弯曲变形 例8 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 解：外力功等于应变能 P x a f 在应用对称性，得： q

弯曲变形 二、 梁的冲击问题 1.假设： 冲击物为钢体； 不计被冲击物的重力势能和动能； 冲击物不反弹； 不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。 mg L h A B C A B C x f fd

弯曲变形 A B C x f fd 冲击前、后，能量守恒，所以：

弯曲变形 三、动响应计算： 动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积. 例9 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 h B A C mg E =P 解：求C点静挠度 D C2 C1 A1 L

弯曲变形 h B A C mg E =P 动荷系数 D C2 C1 A1 L 求C面的动应力

= 弯曲变形 §8-7 简单超静定梁的求解方法 q0 x B A L 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。 §8-7 简单超静定梁的求解方法 q0 x f B A L 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。 = L q0 MA B A 解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。 q0 L RB A B

= + 弯曲变形 几何方程——变形协调方程 q0 B A L RB 物理方程——变形与力的关系 B A RB 补充方程 q0 B 求解其它问题（反力、应力、 变形等）

+ = = 弯曲变形 C 例10 结构如图，求B点反力。 LBC q0 解：建立静定基 x B A 几何方程 L RB f 几何方程 ——变形协调方程： = q0 L RB A B = q0 A B RB A B +

+ = 弯曲变形 q0 L RB A B C 物理方程——变形与力的关系 LBC x f 补充方程 RB A B q0 A B 求解其它问题（反力、应力、 变形等）

弯曲变形 §8-8 如何提高梁的承载能力 强度：正应力： 剪应力： 刚度： 稳定性： 都与内力和截面性质有关。

英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 弯曲变形 一、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比 R b h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为

弯曲变形 一般的合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a

弯曲变形 z D 0.8D a1 2a1 z

弯曲变形 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 工字形截面与框形截面类似。

弯曲变形 2、根据材料特性选择截面形状 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图： z G s 二、采用变截面梁 最好是等强度梁，即 P x 若为等强度矩形截面，则高为 同时

弯曲变形 三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。 P L/2 M x + PL/4 P L/4 3L/4 M x P=qL L/5 4L/5 对称 M x qL2/10

弯曲变形 M x q L 40 2 qL 50 - M x L/5 q 32 2 qL - M x q L/2

弯曲变形 四、梁的侧向屈曲 1.矩形纯弯梁的临界载荷 L M x y z

弯曲变形 2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷 h M z x L y 由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。

弯曲变形 五、选用高强度材料，提高许用应力值 同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！

本章结束