3.2定額年金 在未討論年金計算前，須先瞭解基本符號Sn┐I 及a n┐I, Sn┐I即表每期末支付1元之普通年金之年金終值（複利終值之總和），其中n為支付期數，i為每期利率，故得 Sn┐I =1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n-1 =1[(1+i)n-1]∕(1+i)-1 =[(1+i)n-1]∕i 上述公式亦可以下述方法求出。

年金終值 : 設以本金1元，存入某銀行，期末之利息為i元，若將此利息i元在每期末取出存入利率相同之另一家銀行，則利息之終值應為iSn┐I元，加上原銀行存入之1元，其和為1+Sn┐I，設若利息不領出，則其複利終值為(1+i)n，依價值方程式兩者應相等，故得 1+iSn┐I = (1+i)n 移項得 Sn┐I = (1+i)n-1∕I 若期之年金額為R元，則年金終值S應為S = R× Sn┐ I (3-1)

例1 某就讀五專同學，於入學即每月末存2500元，利率為j(12)=0.12，求五年末之年金終值？ 解：依題意R=2500，i = j()12)／j(12) = 0.12／ 12 = 0.01，n = 5×12 = 60 代入公式 得 S= 2500 * S60┐0.01 =204, 174.17 元

a n┐I表每期末付1元之普通年金之年金現值（複利現值之總和），其中，n為支付期數，i為每期利率，故得 a n┐I=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-n =(1+i)-1 [(1+i)-n -1] [等比級數，公比(1+i)-1] =[(1+i)-n -1]／[1-(1+i)] [分子分母同乘(1+i)] =[1-(1+i)-n]／I 上述公式可以下述方法求出。

年金現值：設以本金1元，存入某銀行，期末之利息為i元，若將此利i元於每期末取出存入利率相同之另一家銀行，則利息之現值應為ian┐I，加上原銀行存入1元之複利現值ian┐I元，其和為ian┐I+(1+i)-n，設若利息不領出，最後還本1元，依價值方程式兩者應相等，故得

i an┐I+(1+i)-n=1 移項得an┐I =[1-(1+i)-n]／i 若每期之年金額為R元，則年金現值P應為 P=R* an┐I (3-2) 綜合前式得Sn┐I =(1+i)n × an┐I (3-3)

例2 設某人就讀五專，其父親每半年末支付學費及生活費80000元，為期五年，利率為j(2)=0.12，試求年金現值？ 解：依題意R=80000，n=502=10， i=0.12 / 2=0.06 代入公式 得 P = 80000× a10┐0.06 = 80000{ [1-(1.06)-10]／0.06}=588,806.96元

由前公式知，普通年金終值為1元之年金額為S-1n┐I (∵1=R× Sn┐I， R=1／Sn┐ I=S-1n┐ I)，普通年金現值為1元之年金額為 a-1n┐I(∵1=R×an┐I， R=1／a n┐I = a-1 n┐I) S-1n┐ I與a-1 n┐I之關係如下： 　　　a-1 n┐I=S-1n┐ I+ I (3-4) a-1 n┐I=(1+i)nS-1n┐ I (3-5)

【證】 S-1n┐ I+i=i／[(1+i)n -1] ＋i =i+i[(1+i)n -1]／i[(1+i)n -1] =i(1+i)n／[(1+i)n -1] =i／1-(1+i)-n[分子分母同除以(1+i)n] = a-1n┐I 又利用公式 (3-3) 兩邊移項 得 a-1n┐I =(1+i)n ×S-1n┐ I

若年金終值及年金現值分別為S,P則其年金額分別為 R=S×S-1n┐I , R=P× a-1n┐I (3-6)

例3 某物品價值73,500元，其出售方式為先付款10,000元，餘款今日起三年內，每季之末付相同款項，利率j(4)=0.12，求每季末應付款額？ 解：依題意P=73500-10000=63500, i=0.12／4=0.03, n=3×4=12 代入公式(3-6) 得 R=63500× a-1 12┐0.03 =63500×{0.03／[1-(1.03)-12]} =6379.34元

期數n計算 : 若已知年金終值S或年金現值P，年金額R與每期利率i，則可求得期數n如下： S=R× S-1n┐ I = R×{[(1+i)n-1]／} 移項 [(S×i)／R] +1=(1+i)n

兩邊取自然對數 得 n={ln [(S×i)／R] +1}／ln(1+i) =[ln(i× Sn┐ I +1)]／ln(1+i) (3-7) P=R× a n┐I =R×{[1-(1+i)-n]／i} 移項 1-[(P×i)／R]= (1+i)-n

兩邊取自然對數　得 n={-ln[1-(P×i)／R]}／in(1+i) =-in(1-i× an┐I)／in(1+i) (3-8)

例4 每年末支付年金20000元，年利率為15%，問需經過若干年可得年金終值500000元？ 解：依題意 S=500000, R=20000, i=0.15 代入公式(3-7) 得 n=ln[(500000*0.15)／20000]+1／in(1.15) =In4.75／in1.15 =11.15(年)

例5 某人存款300000元，年利率12%，每年末支領45000元，問可支領若干年？ 例5　　 某人存款300000元，年利率12%，每年末支領45000元，問可支領若干年？ 解：依題意　P=300000, R=45000, i=0.12 代入公式　得 n=-ln[1-(300000×0.12)／45000]／ln(1.12) =-ln0.2／ln1.12 =14.20150519 14.20(年)

零星年金: 如例5所顯示期數非正整數，即有一筆少於定額年金R元之金額，稱之為零星年金。若最後一期(14期)付R元加零星年金，稱膨脹款項(balloon payment)，若最後一期(15期)所付款項少於R元稱跌落款項(drop payment)，當然零星年金亦可能於第一期支付，或期中任何一期支付。

利率之求法 有關普通有限年金利率之求法，祇能應用直線插值法(插補法)(須查表)。

例6 設年末支付3000元之年金，為期10年，年金現值為21690元，求年利率？ (已知a 10┐0.06 =7.3600873，a10┐0.07 =7.0235816) 解：依題意 P=21690, R=3000, n=10 代入公式 得 21690=3000× a n┐I 即a10┐i =7.23

若已知S,P,R，亦可由以下公式求每期利率i，再求出期數(或虛、實利率、年數)。 I=R(1/P – 1/S) (3-9) 應用插補法 7.3600871 0.06 7.23 i 7.0235816 0.07 (7.3600871-7.0235816)／(7.3600871-7.23)=(0.06-0.07)／(0.06-i) 移項 得 i=0.06386 ≒6.39% 若已知S,P,R，亦可由以下公式求每期利率i，再求出期數(或虛、實利率、年數)。 I=R(1/P – 1/S) (3-9)

【證】 可由公式(3-4) 得 a-1 n┐I =R/P S-1n┐I =R/S 即 R/P =R/S +i 移項 i=R/P –R/S

例7 每半年末支付年金30000元，每年複利兩次，其年金現值為488666.07元，年金終值為1830212.1元，試求虛利率、實利率、支付期數與年數？ 解：依題意 R=30000, m=2, P=488666.07,S=1830212.1 代入公式(3-9) 得 i=30000[(1/488666.07)-(1/1830212.1)] =0.045 =4.5%

故知虛利率 j(2)=2*4.5%=9% 實利率 α=(1+i)2 -1 =(1.045)2 -1 =0.092 =9.2% 再代公式(3-7) 得 n=ln[(1830212.1×0.045)／30000]+1／ln(1.045) =ln3.74531815／ln1.045 =30(期) 支付年數為 n/2 = 30/2 = 15(年)