第5章 动态电路时域分析 5. 1 电感元件和电容元件 5. 2 动态电路方程的列写 5. 3 动态电路的初始条件 5. 4 一阶动态电路 5. 1 电感元件和电容元件 5. 2 动态电路方程的列写 5. 3 动态电路的初始条件 5. 4 一阶动态电路 5. 5 二阶动态电路 5. 6 全响应的分解 5. 7 单位阶跃响应和单位冲激响应 5. 8 卷积积分 5. 9 状态变量法 清华大学电路原理教学组

L 的单位名称：亨[利] 符号：H (Henry） 5.1 电感元件和电容元件 一、电感元件 (inductor) L i + – u  i + – u e 变量: 电流 i , 磁链 1. 线性定常电感元件 = N  为电感线圈的磁链 L 称为自感系数 inductance L 的单位名称：亨[利] 符号：H (Henry） 电感以磁场形式存储能量。

  i 韦安（ -i ）特性 2. 线性电感电压、电流关系： 由电磁感应定律与楞次定律  i + – u e i ,  右螺旋 e ,  右螺旋 u , i 关联

电感的电压-电流关系小结： (1) u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关； (2) 当 i 为常数(直流)时，di / dt =0  u=0, 电感在直流电路中相当于短路； (3) 电感元件是一种记忆元件； (4) 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt； u，i 为非关联方向时，u= – L di / dt 。 清华大学电路原理教学组

无源元件 从t0 到t 电感储能的变化量： 不消耗能量 3. 电感的储能 无源元件 从t0 到t 电感储能的变化量： 不消耗能量 清华大学电路原理教学组

结论：n个串联电感的等效电感值等于各电感值之和。 4. 电感的串并联 （1）电感的串联 L1 u i + _ u1 n个电感串联 L2 u2 Ln un Leq u i + _ 等效电感 根据KVL和电感的电压电流的关系，有 等效电感与各电感的关系式为 结论：n个串联电感的等效电感值等于各电感值之和。

根据KCL及电感的电压与电流的关系式，有 (2) 电感的并联 in L1 u i + _ i1 L2 i2 Ln u1 u2 un n个电感并联 Leq u i + _ 等效电感 根据KCL及电感的电压与电流的关系式，有 清华大学电路原理教学组

结论：n个并联电感的等效电感值 的倒数等于各电感值倒数之和。 等效电感与各电感的关系式为 结论：n个并联电感的等效电感值 的倒数等于各电感值倒数之和。 当两个电感并联（n=2）时，等效电感值为 清华大学电路原理教学组

+ + + + – – – – +q –q C 电路符号 C i u + – 二、电容元件 (capacitor) 线性定常电容元件 电容器 + + + + – – – – +q –q C 电路符号 电容以电场形式存储能量。 1. 元件特性 描述电容的两个基本变量: u, q 对于线性电容，有：q =Cu C i u + – 电容 C 的单位：法[拉]， 符号：F (Farad) 常用F，pF等表示。 清华大学电路原理教学组

q u  库伏（q-u） 特性 C  tan 2. 线性电容的电压、电流关系 C i u + –  库伏（q-u） 特性 C  tan 2. 线性电容的电压、电流关系 C i u + – 清华大学电路原理教学组

(1) i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关； 电容的电压-电流关系小结： (1) i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关； (2) 当 u 为常数(直流)时，du/dt =0  i=0。电容在直流电路中相当于开路，电容有隔直作用； (3) 电容元件是一种记忆元件； (4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。当 u，i为关联方向时，i= C du/dt； u，i为非关联方向时，i= –C du/dt 。 清华大学电路原理教学组

无源元件 从t0到 t 电容储能的变化量： 不消耗能量 3. 电容的储能 无源元件 从t0到 t 电容储能的变化量： 不消耗能量 清华大学电路原理教学组

4. 电容的串并联 （1）电容的串联 由KVL，有 代入各电容的电压、电流关系式，得 C1 u i + _ u1 C2 u2 Cn un Ceq u i + _ 等效电容 由KVL，有 代入各电容的电压、电流关系式，得 清华大学电路原理教学组

结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和。 等效电容与各电容的关系式为 结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和。 当两个电容串联（n=2）时，等效电容值为 清华大学电路原理教学组

结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和。 （2）电容的并联 in i C1 u + _ i1 C2 i2 Cn q1 q2 qn n个电容并联 Ceq u + _ q 等效电容 由KCL，有 代入各电容的电压、电流关系式，得 等效电容与各电容的关系式为 结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和。

电容元件与电感元件的比较： 电容 C 电感 L 电压 u 电荷 q 电流 i 磁链  变量 关系式 (1) 元件方程是同一类型； 磁链  变量 关系式 (1) 元件方程是同一类型； (2) 若把 u-i，q- ，C-L， i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程； (3) C 和 L 称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。 清华大学电路原理教学组

uC uC i i = 0 , uC = 0 i i = 0 , uC =US 三、 动态电路简介 1. 什么是电路的过渡过程 稳态分析 1. 什么是电路的过渡过程 稳态分析 稳定状态 S + – uC US R C i t = 0 S未动作前 i = 0 , uC = 0 i + – uC US R C S接通电源后很长时间 i = 0 , uC =US 清华大学电路原理教学组

? uC i uC US + R S US C – t t1 过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。 US t1 ? 初始状态 新稳态 过渡状态 过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。 过渡状态（瞬态、暂态） 清华大学电路原理教学组

能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 2. 过渡过程产生的原因 （1）电路内部含有储能元件 L 、M、 C 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 + - uS R1 R2 R3 （2）电路结构发生变化 支路接入或断开； 参数变化 换路 清华大学电路原理教学组

稳 态 暂 态 3. 稳态分析和暂态分析的区别 换路发生很长时间后 换路刚刚发生 iL 、 uC 随时间变化 IL、 UC 不变 3. 稳态分析和暂态分析的区别 稳 态 暂 态 换路发生很长时间后 换路刚刚发生 iL 、 uC 随时间变化 IL、 UC 不变 代数方程组描述电路 微分方程组描述电路 清华大学电路原理教学组

激励 u(t) 响应 i(t) 时域分析法 复频域分析法 拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法 4. 分析方法 激励 u(t) 响应 i(t) 时域分析法 复频域分析法 经典法 拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法 清华大学电路原理教学组 返回目录

5.2 动态电路方程的列写 依据：KCL、KVL和元件约束。 清华大学电路原理教学组

i - _ + S(t=0) US + – uR C uC R 例1 iL uL uS uR 例2 例3 (t=0) 0.01F + - 0.04H R iL 复习常系数线性常微分方程求解过程。 返回目录

5.3 动态电路的初始条件 一、t = 0+与t = 0-的概念 f(t) t 换路在 t=0时刻进行 0- 0+ 5.3 动态电路的初始条件 一、t = 0+与t = 0-的概念 f(t) t 换路在 t=0时刻进行 0- 0+ 0- t = 0 的前一瞬间 0+ t = 0 的后一瞬间 初始条件就是 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值。 清华大学电路原理教学组

+ - uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-) 二、换路定律 i uC C q =C uC t = 0+时刻 电荷守恒

换路定律成立的条件!!! iL(0+)= iL(0-) L (0+)= L (0-) + iL u L - 当u为有限值时 磁链守恒 清华大学电路原理教学组

+ - + - + - uC (0+) = uC (0-)=8V 三、电路初始值的确定 例1 10V iC uC 10k 40k S 10k 40k 求 iC(0+)。 (1) 由0-电路求 uC(0-) + - 10V uC 10k 40k + - 10V iC(0＋) 8V 10k 0+等效电路 uC(0-)=8V 电阻电路1 (2) 由换路定律 uC (0+) = uC (0-)=8V (3) 由0+等效电路求 iC(0+) 电阻电路2 iC(0-)=0 iC(0+) 清华大学电路原理教学组

 iL(0+)= iL(0-) =2A 例 2 iL + uL - L 10V S 1 4 t = 0时闭合开关S , 求 uL(0+)。  iL(0+)= iL(0-) =2A + uL - 10V 1 4 0+电路 2A 电阻电路 清华大学电路原理教学组

+ uR 例3 已知 R uL L S - uS iL 求 (1) R uR + uL (2) 0+时刻电路: - iL(0+) (2) 0+时刻电路: 清华大学电路原理教学组

小结——求初始值的步骤： 1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。 电阻电路( 直流 ) 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画出0+时刻的等效电路。 （1） 画换路后电路的拓扑结构； （2） 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 电阻电路 4. 由0+电路求其它各变量的0+值。 清华大学电路原理教学组 返回目录

i uR uC uC (0-)=U0 5.4 一阶动态电路 一、经典解法 全解=齐次解+特解 全响应=自由响应+强制响应 例1 US + – 5.4 一阶动态电路 一、经典解法 全解=齐次解+特解 全响应=自由响应+强制响应 例1 i S(t=0) US + – uR C uC R uC (0-)=U0 列方程： 非齐次线性常微分方程 非齐次方程的通解 解答形式为： 非齐次方程的特解

uC (0+)=A+US= U0 ：特解（强制分量） = US 与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量 ：通解（自由分量，暂态分量） 齐次方程 的通解 变化规律由电路参数和结构决定 全解 由起始条件 uC (0+)=U0 定积分常数 A： uC (0+)=A+US= U0  A= U0-US 清华大学电路原理教学组

自由分量(暂态) 强制分量(稳态) t uC U0 -US uC' uC" US U0 US > U0 t i 清华大学电路原理教学组

时间常数  的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 令  =RC , 称 为一阶电路的时间常数。 时间常数  的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 U0 t uC  小  大  大 过渡过程时间的长；  小 过渡过程时间的短。 电压初值一定： C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大 放电时间长 R 大（C不变） i=u/R 放电电流小 清华大学电路原理教学组

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 A 0.368A 0.135A 0.05A 0.007A t 0  2 3 5 A A e -1 A e -2 A e -3 Ae -5 ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 工程上认为 , 经过 3 ~5  , 过渡过程结束。 清华大学电路原理教学组

i uL i (0+) = i (0-) = S(t=0) US L + – R R1 例2 特征根 p = 特征方程: Lp+R=0 通解： i (0+) = i (0-) = I0 t i 确定A： A= i(0+)= I0 清华大学电路原理教学组

令  = L/R ，一阶RL电路的时间常数. 放电慢  大 电流初值一定： L大 初始储能大 R小 放电过程功率小 放电慢  大 清华大学电路原理教学组

uV iL uV (0+)= -10000V iL 例3 t=0 时刻 S 打开, 求 uV . + 电压表量程为 50V. R=10 S(t=0) + – uV L=4H R=10 V RV 10k 10V t=0 时刻 S 打开, 求 uV . 电压表量程为 50V. 根据例2结论 iL L R 10V V iL (0+) = iL(0-) = 1 A 续流二极管 uV (0+)= -10000V V 坏了！

小结： 经典法求解一阶电路过渡过程的一般步骤: 列写微分方程（以uC或iL等为变量）； 求非齐次方程的通解（相应的齐次方程的解）； 求非齐次方程的特解（稳态解）； 确定初始条件（0+时刻）； 求初始值的步骤 根据初始条件确定积分常数。 清华大学电路原理教学组

i 二、三要素法 R + uR – US uC C 特点: （1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 S(t=0) US + – uR C uC R 特点: （1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 同一电路不同支路变量解的自由分量形式完全相同 （2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初始值不同 同一电路不同支路变量解的强制分量和待定系数不同 （3）同一电路不同支路变量解的强制分量均为该变量的稳态解

适用范围：激励为直流和正弦交流!!! 任意支路量方程的形式： 恒定激励下一阶电路的解的一般形式为 令 t = 0+ 自由分量 强制分量 清华大学电路原理教学组

- 2 例4 S 已知： t=0时合开关S。 求 换路后的uC(t)的全响应， 1A 强制分量，自由分量。 + 2 1 3F uC 解: (V) 0.667 定性画曲线的几个要点 强制分量 自由分量

- 三、 脉冲序列作用下的RC电路 uS t T 2T 3T 100V uS + uC(0-)=0 R + uC - uR uS + - uC(0-)=0 R + uC - uR （1） T >>  t uC uC(0+)=0 100V 0 < t < T uC()=100V  = RC T 2T 3T uC(T+)=100V uC()=0  = RC T < t < 2T 清华大学电路原理教学组

- - （2） T 与 接近 uS t T 2T 3T 100V uS + uC(0-)=0 R + uC - uR 稳态解： t T 仿真2 uS t T 2T 3T 100V uS + - uC(0-)=0 R + uC - uR 这类问题的分析特点： （1）认为电路已经进入稳态 （2）画不同状态下的电路图，求解电路 （3）利用边界条件求出关键点电压/电流 稳态解： t T 2T 3T 100 V uS 0 < t < T 等效电路图 U2 U1 100V + - R + uC - uR 清华大学电路原理教学组

- - t T 2T 3T 100V uS + uC(0-)=0 R + uC - uR U2 U1 R + uC - + uR R + uC - + uR - T < t < 2T 等效电路图 清华大学电路原理教学组

- uS + uC(0-)=0 R + uC - uR C t T 2T 3T 100V U2 U1 0 < t < T 0 < t < T T < t < 2T t = 2T t = T 这类问题的分析特点： （1）设电路已经进入稳态 （2）画电路图，求解电路 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流

四、一阶电路几个典型的应用实例 1. MOSFET反相器的输出延迟 US RL ui1 uO1 A D uO2 uO1 uO2 ui2 G D S RL US ui1 uO2 uO1 ui2 ui1 uO2 A B uO1 ui2 t ui1 t uO1 t uO1 清华大学电路原理教学组

ui1 = “0” ui1 = “1” G D S RL US ui1 uO2 uO1 ui2 ui1 G D S CGS1 CGS2 RON RL US G D S CGS1 CGS2 uO1 uO2 RON RL US ui1 清华大学电路原理教学组

ui1 = “0” ui1 = “1” ui1 由“1”变为 “0” 导通阈值 CGS2 充电 ui1 G D S CGS1 CGS2 uO1 uO2 RON RL US G D S CGS1 CGS2 uO1 uO2 RON RL US ui1 ui1 由“1”变为 “0” US RL CGS2 + _ UO1 导通阈值 CGS2 充电

ui1 = “0” ui1 = “1” ui1 由“0”变为 “1” 关断阈值 CGS2 放电 ui1 G D S CGS1 CGS2 uO1 uO2 RON RL US G D S CGS1 CGS2 uO1 uO2 RON RL US ui1 ui1 由“0”变为 “1” US RL RON CGS2 + _ UO1 关断阈值 CGS2 放电

t ui1 t uO1 tpd, 10 UOH tpd, 01 UOL t uO2 清华大学电路原理教学组

u 2. DC-DC变换 问题：如何改变直流电压？ 方法一： + – R US uGS t T 2T 3T 缺点：类似桥式整流， 开关信号 t T 2T 3T 缺点：类似桥式整流， 直流质量较差。 u t T 2T 3T US 改进思路： 利用电感维持电流的能力。

u u i 方法二： + L R US – i + L R US – D S G t 这类问题的分析特点： （1）设电路已经进入稳态 （2）画电路图，求电路解 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流 方法二： i u、i uGS I2 I1 tON tOFF t T 0 < t < tON 时段等效电路 + – u R US L i 清华大学电路原理教学组

u u i + L R US – i + L R – D S G i u、i uGS I2 I1 tON tOFF t T t T tON < t < tON + tOFF 时段等效电路 + – u R L i

+ – u R US D S G L i i u、i uGS I2 这类问题的分析特点： （1）设电路已进入稳态 （2）画电路图，求电路解 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流 I1 tON tOFF t T 清华大学电路原理教学组

u i + L R US – I I + L + L U R US U R – – D S G 从工程观点来估计U： 因为L值取得较大， 因此 u=U 也不变。 + – U R L I I + – U R US L 电感吸收的能量为 电感发出的能量为 稳态时电感 每周期能量守恒 降压斩波器 Buck Converter 清华大学电路原理教学组

非线性电路， 分段讨论。 3. AC-DC变换 用二极管的模型1分析电路。 D1 D3 i u i + + R u _ _ D2 D4 + + R u _ _ D2 D4 （1）D1～D4共有16种状态 非线性电路， 分段讨论。 （2）电流 i 只能从上往下流。 （3） D1～D4有两种可能的导通模式： D1和D4同时导通； D2和D3同时导通。 清华大学电路原理教学组

+ _ i D1 D3 D2 D4 u R u us R 获得直流 + _ i D1 D4 u R + _ i D3 D2 u R us t R 获得直流 + _ i D1 D4 u R 设D1和D4同时导通 条件 i >0 uS > 0 ， u = uS + _ i D3 D2 u R 设D2和D3同时导通 条件 i >0 uS < 0 ， u = －uS

us u 电容具有维持电压的能力 + _ i D1 D3 D2 D4 u R C 问题1：该直流电压平均值多大？ t 问题1：该直流电压平均值多大？ 问题2：如何改进该直流电压的质量？ 电容具有维持电压的能力 + _ i D1 D3 D2 D4 u R C C 很大 清华大学电路原理教学组

+ _ i uC R C D1 D4 uS > 0时 假设uC为某值 uS下降，电容放电。 τ 很大，放电很缓慢。 D1和D4同时导通 t 假设uC为某值 uC > uS，二极管不导通 RC放电 uS下降，电容放电。 τ 很大，放电很缓慢。 正弦的衰减速度>RC放电速度。 uC > uS ，D1和D4截止。

D3 i + C R uC _ D2 uS < 0时 1. 直流电压平均值提高； 2. 直流电压脉动减小。 D2和D3同时导通 t uC > -uS，二极管不导通 1. 直流电压平均值提高； RC放电 2. 直流电压脉动减小。 清华大学电路原理教学组

 4. 用Op Amp构成微分器和积分器 （1）积分器 uC uR C - R + ui uo _ R1 如果ui＝US（常数），则 ＋ － uC uR 如果ui＝US（常数），则 线性函数 清华大学电路原理教学组

 （2）微分器 uR R uC - C + ui uo _ R1 如果ui＝ t US （线性函数），则 常数 － ＋ 清华大学电路原理教学组

- +  5. 用Op Amp构成脉冲序列发生器 R1 正反馈电路：虚短不再适用 虚断仍然适用 - 电路开始工作时存在小扰动。 + C _ uo R C uC R1 正反馈电路：虚短不再适用 虚断仍然适用 电路开始工作时存在小扰动。 由于正反馈，uo为Usat或－Usat 设uo＝Usat， 则u＋＝ 设此时uC=0，等效电路为 + - Usat uC C R1 上升至 时 uC = 由于正反馈，uo＝－Usat 清华大学电路原理教学组

+ -  R1 uo＝－Usat，此时uC=Usat/2，等效电路为 R1 - － + C C uC Usat uC uo _ R 下降至 时， uC = － 由于正反馈，uo＝＋Usat 清华大学电路原理教学组

占空比：D=ton/T 如何使占空比可调？ 如何产生三角波？ uO t uC t=T/2时 也可以得到 返回目录 R1 -  C + uC _ uo R C uC R1 uO uC t t=T/2时 也可以得到 占空比：D=ton/T 如何使占空比可调？ 如何产生三角波？ 返回目录

5.5 二阶动态电路 一、经典解法求解析表达式 R分别为5 、4  、1  、 0 时求uC(t)、 iL(t) ，t  0 。 5.5 二阶动态电路 一、经典解法求解析表达式 R分别为5 、4  、1  、 0 时求uC(t)、 iL(t) ，t  0 。 (t=0) 0.01F + - uC 0.04H R iL uC(0-) = 3V iL(0-) = 0 1. 列方程 清华大学电路原理教学组

2. 求自由分量 (t=0) 0.01F + - uC 0.04H R iL 特征方程 清华大学电路原理教学组

R＝5  0.04H iL (t=0) + R uC 0.01F R＝4  - R＝1  过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 清华大学电路原理教学组

有关欠阻尼二阶动态电路中3个参数的讨论： 自由振荡角频率/ 自然角频率 衰减系数 欠阻尼  < 0 物理上稳定的系统 衰减振荡角频率 清华大学电路原理教学组

3. 用初值确定待定系数 R＝5 R＝4 R＝1

R＝5 (t=0) 0.01F + - uC 0.04H R iL R＝4 R＝1 看仿真 清华大学电路原理教学组

uC iL tm 4. 波形与能量传递 R＝5 0 < t < tm uC 减小, i 增加. 过阻尼，无振荡放电

uC iL tm R＝4 0 < t < tm uC 减小 , i 增加. t > tm uC 减小 , i 减小. 临界阻尼，无振荡放电

uC R＝1 iL 欠阻尼，振荡放电

uC iL 讨论半个周期中能量的关系 uC 减小， i 增加 uC 减小 ，i 减小 uC iL 衰减到零。 | uC | 增加，i 减小 周而复始，电阻不断消耗能量， uC iL 衰减到零。 uC 减小， i 增加 R L C uC 减小 ，i 减小 R L C | uC | 增加，i 减小 R L C

(t=0) 0.01F + - uC 0.04H iL R＝0 无阻尼振荡

二、用直觉解法定性画支路量的变化曲线 1. 过阻尼或临界阻尼（无振荡衰减） 以过阻尼为例。 iL 0.04H iL (t=0) + R 0.01F + - uC 0.04H R iL 二、用直觉解法定性画支路量的变化曲线 1. 过阻尼或临界阻尼（无振荡衰减） 初值 导数初值 终值 以过阻尼为例。 uC(0-) = 3V iL(0-) = 0 uC t 3 uC iL t iL 清华大学电路原理教学组

2. 欠阻尼（衰减振荡） 回忆一阶电路中的时间常数：3～5 后过渡过程结束 振荡周期为 (t=0) 0.01F + - uC 0.04H R iL 2. 欠阻尼（衰减振荡） 衰减系数δ 衰减振荡角频率ωd 初值 导数初值 终值 经过多少周期振荡衰减完毕 uC(0-) = 3V iL(0-) = 0 回忆一阶电路中的时间常数：3～5 后过渡过程结束 后过渡过程结束 衰减过程中有 0.24/0.13≈2次振荡 或0.4/0.13≈3次振荡 振荡周期为 清华大学电路原理教学组

uC 0.04H iL (t=0) + R uC 0.01F - 初值 导数初值 终值 经过多少周期振荡衰减完毕 衰减过程中有 0.24/0.13≈2次振荡 或0.4/0.13≈3次振荡 uC t uC 3 清华大学电路原理教学组

0.04H iL 3. 无阻尼 (t=0) + uC 0.01F - iL 初值 导数初值 最大值 uC(0-) = 3V 3. 无阻尼 初值 导数初值 最大值 uC(0-) = 3V iL(0-) = 0 因为无阻尼，所以能量守恒 iL取最大值时，uC=0，因此 iL t 1.5 iL -1.5 清华大学电路原理教学组

三、关于列写方程和求初值的讨论 C + - uL L R iL uC uR

（1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 自由分量形式完全相同 （2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初值不同 特点： （1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 自由分量形式完全相同 （2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初值不同 强制分量和待定系数不同 （3）同一电路不同支路变量微分方程列写和初值获取难度不同 返回目录

5.6 全响应的分解 全解=齐次解+特解 全响应=自由响应+强制响应 外部输入（独立源） 激励 元件的初始储能 零状态响应 + 零输入响应 5.6 全响应的分解 全解=齐次解+特解 全响应=自由响应+强制响应 外部输入（独立源） 激励 元件的初始储能 零状态响应 + 零输入响应 = 全响应 清华大学电路原理教学组

= + i uC (0-)=U0 i uR uC uC (0-)=U0 i uR uC uC (0-)=0 uC (0-)=U0 uC i 例1 i S(t=0) US + – uR C uC R uC (0-)=U0 全响应= 零状态响应 + 零输入响应 i S(t=0) US + – uR C uC R uC (0-)=U0 i S(t=0) US + – uR C uC R = uC (0-)=0 + uC (0-)=U0 C – uC i S(t=0) uR R 强制分量(稳态解) 自由分量(暂态解) 零状态响应 零输入响应

uC' uC" t uC US U0 t uC US U0 uC -US U0 全响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 零输入响应 全响应 US 零状态响应 零输入响应 U0 强制分量(稳态解) 自由分量(暂态解) t uC uC' US 稳态解 U0 uC 全解 uC" -US U0 暂态解

全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解) 两种分解方式的比较： 全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解) 计算简单 强制分量(稳态解) 自由分量(暂态解) 全响应= 零状态响应 + 零输入响应 物理概念清楚 利于叠加 零状态响应 零输入响应 清华大学电路原理教学组

i uC (0-)=0 uR uC 原因1：ZIR 和 ZSR 都是可能单独出现的过渡过程 原因2：ZSR 对于分析一般激励的响应非常重要 输入－输出线性关系 i S(t=0) US + – uR C uC R uC (0-)=0 零状态 激励 响应 清华大学电路原理教学组

1. 一阶电路的零状态响应与输入成正比，称为零状态线性。 小结： 1. 一阶电路的零状态响应与输入成正比，称为零状态线性。 2. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响应 , 都是从初始值衰减为零的指数衰减函数。 3. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路  = RC , RL电路  = L/R 4. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 5. 一阶电路的全响应既不与初始值成正比，也不与输入成正比。 清华大学电路原理教学组 返回目录

5.7 单位阶跃响应和单位冲激响应 一、单位阶跃函数(unit-step function) (t) 1. 定义 1 t 用 5.7 单位阶跃响应和单位冲激响应 一、单位阶跃函数(unit-step function) t (t) 1 1. 定义 用 来描述开关的动作： IS S S E u(t) t = 0合S u(t) = E t = 0拉闸 i(t) = IS 清华大学电路原理教学组

2. 单位阶跃函数的延迟 t (t-t0) t0 1 1 t0 t f(t) (t) t f(t) 1 例 1 t0 -(t-t0) 1 3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号 1 t0 t f(t) (t) t f(t) 1 例 1 t0 -(t-t0) 清华大学电路原理教学组

例 2 1 t f(t) t 1 1 t 例3 f(t) 1 2 t(s) V 清华大学电路原理教学组

i uC uC (0-)=0 二、单位阶跃响应——单位阶跃激励下电路的零状态响应 uC R 1 + C t – i t i 1 t 的区别 i t 1 i 注意 和 的区别 清华大学电路原理教学组

u(t)= (t)+ (t-1) -2(t-2) 例4 + - u(t) 1 5 5H iL 已知: u(t)如图示 , iL(0-)= 0。 求: iL(t) , 并定性画出其波形。 u(t) 1 2 t(s) u(t)= (t)+ (t-1) -2(t-2)  (t) (1 -e -t / 6) (t)  (t-1) (1 -e-(t -1) / 6 ) (t-1) -2 (t -2) -2(1-e -(t -2) / 6 ) (t-2) iL(t) = (1-e -t / 6)  (t) + (1 -e-(t -1) / 6 ) (t-1) -2(1-e-( t -2) / 6 ) (t-2) 清华大学电路原理教学组

- - - 例5 求图示电路中电流 iC(t)。 10k uS/V iC + 10 uS 100F t/s 0.5 uC(0-)=0 解法一： 两次换路，三要素法。 解法二： 10k + - iC 100F uC(0-)=0 10k + - iC 100F uC(0-)=0

- - - 10k 5k + iC + iC 等效 100F 100F uC(0-)=0 uC(0-)=0 10k iC +

三、单位冲激函数（unit impulse function） 1. 单位脉冲函数 p(t)  1/ t p(t) 清华大学电路原理教学组

2. 单位冲激函数  (t) /2 1/ t p(t) -/2 t (t) (1) 定义： t (t) (1) 清华大学电路原理教学组

例6 uS t E  /2 -/2 iC + - C uC iC uS CE/  清华大学电路原理教学组

uC t E /2 -/2 uC t E iC t /2 CE/  -/2 iC t CE (t)   0 -/2 uC t E iC t /2 CE/  -/2 iC t CE (t)   0 uC  E (t) iC  CE (t) + - C uC iC E 清华大学电路原理教学组

iC t = t0 iC + CE (t-t0) S E uC C t – t0 3. 单位冲激函数的延迟  (t-t0) 3. 单位冲激函数的延迟  (t-t0) t  (t-t0) t0 (1) 清华大学电路原理教学组

f(0)(t) 同理有： t (t) (1) f(t) f(0) 例7 4.  函数的筛分性 f(0)(t) 同理有： t (t) (1) f(t) * f(t)在 t0 处连续 f(0) 例7 清华大学电路原理教学组

四、(t)与(t)的关系 t (t) (1) t (t) 1 t r(t) 1 单位斜升函数 清华大学电路原理教学组

单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应。 五、一阶电路的冲激响应 单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应。 零状态 h(t) 方法1. 由单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃 单位阶跃响应  (t) s(t) 单位冲激 单位冲激响应  (t) h(t) 清华大学电路原理教学组

iC R is C 例8 + - uC 已知： 求： iS (t)为单位冲激时，电路响应 uC(t)和 iC (t)。 先求单位阶跃响应 令 is (t)= uC(0+)=0 uC()=R  = RC iC(0+)=1 iC()=0 再求单位冲激响应 令 iS (t) =

uC R t iC 1 t 阶跃响应 uC t iC t (1) 冲激响应 清华大学电路原理教学组

关键在于求uC(0+) ！ 方法2. 分两个时间段来考虑冲激响应 uC(0-)=0 iC R  (t) C + - uC 0- 0+ 方法2. 分两个时间段来考虑冲激响应 uC(0-)=0 iC R  (t) C + - uC 0- 0+ 0+  t 零输入响应 电容充电 关键在于求uC(0+) ！ 清华大学电路原理教学组

(1) t 在 0- 0+间 iC + is uC R C - uC 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立。 方法1：对微分方程0－～0＋积分 步骤： (1) 列写方程； (2) 观察方程求uC(0+)； (3) 求iC。 =0 =1 电容中的冲激电流使电容电压发生跳变

iC + uC(0-)=0 uC R C - 方法2：电路直接观察法 在0－～0＋范围内将C用电压源替代。 在 作用的0－～0＋范围内的等效电路为 iC R iS 步骤： (1) 画0－～0＋范围内电路； (2) 求 iC； (3) 求 uC 。 清华大学电路原理教学组

(2) t > 0+ 零输入响应（RC放电） iC R C uC + _ uC t iC t (1) 清华大学电路原理教学组

L + - iL R 例9 uL (1) t 在 0- 0+间 iL不可能是冲激 iL + - R _ uL 0－～0＋

R uL iL + - L （2） t > 0+ RL放电 t iL t uL (1) 清华大学电路原理教学组 返回目录

5.8 卷积积分 一、卷积积分的定义和性质 设 f1(t), f2(t) t < 0 均为零 定义 令  = t-  ：0 t 5.8 卷积积分 一、卷积积分的定义和性质 定义 设 f1(t), f2(t) t < 0 均为零 令  = t-  ：0 t  : t 0 性质1 证明 性质2 清华大学电路原理教学组

e(t) r(t) 性质3 性质4 = f ( t ) 二、卷积积分的应用 线性网络 零状态 利用卷积积分可以求任意激励作用下的零状态响应。 筛分性 = f ( t ) 二、卷积积分的应用 e(t) r(t) 线性网络 零状态 利用卷积积分可以求任意激励作用下的零状态响应。 h(t) 即 清华大学电路原理教学组

物理解释： t = t0 e (0)  2 k (k+1) t = t0时刻的响应是由0 < t < t0时段的全部激励决定的（线性系统的因果性）。 在0 < t < t0时段将激励 e( t )看成一系列 (N个)宽度为 ，高度为 e( k )矩形脉冲的和。 清华大学电路原理教学组

t = t0 e (0)  2 k (k+1) 单位脉冲函数的延时 0 < t < t0 清华大学电路原理教学组

t = t0 e (0)  2 k (k+1) 第1个矩形脉冲 第k个矩形脉冲 若单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t ) 第1个矩形脉冲 第k个矩形脉冲 清华大学电路原理教学组

e (0)  2 k (k+1) t = t0 t = t0 t0 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t0 时间内所有 激励产生的响应的和  2 k (k+1) r(t)

t 参变量(观察响应时刻)  积分变量（激励作用时刻） 由t0的任意性，得 单位冲激 单位脉冲 单位脉冲响应 积分 单位冲激响应 t 参变量(观察响应时刻)  积分变量（激励作用时刻） 由t0的任意性，得

iS uC 例1 R C + – 已知：R=500 k , C=1 F , uC(0-)=0， 求： uC(t)。 解：先求该电路的冲激响应 h(t) uC()=0 清华大学电路原理教学组

R C iS + – uC 冲激响应 再计算 时的响应 uC ( t )： 清华大学电路原理教学组

例2 解  f2()  f2(-t) t  f2(-)  f2(t-) t  f2(t-) t 三、卷积积分的图形解法 例2 参变量 解 积分变量 被积函数 图解说明 f2(t-)  f2()  f2(-t) t  f2(-)  f2(t-) t  f2(t-) t

卷 移 乘 积 f1() f2()   f1(-) f2(-)  f2(t-)  f1(t-)  1  f2() 1  f1(-) 2 1 -1  f2(-) 1 卷  f2(t-) 1 t  f1(t-) 1 -1 t 2 移 1 t’ t’ t’-1 t f1(t)* f2(t) 1 t’ t f1(t)* f2(t) 1 t’  f1() f2(t-) 2 1 t  f2() f1(t-) 1 -1 t 2 乘 t’ 积

由图解过程确定积分上下限： e-(t-) e-(-)  t t t e-  t t t-1 t 2 2 1 1 1 -1 1 1 1 e-(-) t t 1  2 t 1 -1 e- t t t-1 清华大学电路原理教学组 返回目录

5.9 状态变量法 ——从另一种角度研究动态电路 一、状态变量 L3 i3 uS R6 R5 C2 C1 L4 + - i5 i6 i4 5.9 状态变量法 ——从另一种角度研究动态电路 一、状态变量 L3 i3 uS R6 R5 C2 C1 L4 + - i5 i6 i4 u1 u2 分析动态过程的独立变量。 选定系统中一组最少数量的变量 X =[x1,x2,…xn]T ，如果当 t = t0 时这组变量X(t0)和 t  t0 后的输入e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。 称这一组最少数目的变量为状态变量。 X(t0) e(t) t  t0 Y(t) t  t0 原因 1: 方程列写上的需要 原因 2: 容易描述多输入多输出

例1 uL C e(t) + - uC iL iC uR L iR 已知 输出: uL , iC 。 解 选状态变量 uC ， iL。 uL 2 已知 输出: uL , iC 。 解 选状态变量 uC ， iL。 uL 10V + - 3V iC uR iR 2 uL(0+)=7V iC(0+)= -1.5A 清华大学电路原理教学组

已知t = t1 时 uC ， iL 和 t  t1 后的输入e(t) ， ---------可以确定t1及t1以后任何时刻系统的输出。 R uL C e(t) + - uC iL iC uR L iR 2 推广至任一时刻 t1 uL(t1)=e(t1)-uC(t1) iC(t1)= iL(t1)-uC(t1)/R 如何求解出 t1时刻的状态变量值？ 已知t = t1 时 uC ， iL 和 t  t1 后的输入e(t) ， ---------可以确定t1及t1以后任何时刻系统的输出。 清华大学电路原理教学组

二、状态方程 ——求解状态变量的方程 R C e(t) + - uC iL L iC uL 设 uC , iL 为状态变量。 列微分方程： 改写 清华大学电路原理教学组

根据该方程和初值即可求解出 t1时刻的状态变量值。 特点: (1) 一阶微分方程组； (2) 左端为状态变量的一阶导数； (3) 右端仅含状态变量和输入量。 矩阵形式 式中 n1 r1 [X]=[x1 x2  xn]T 一般形式 [u]=[u1 u2  ur]T \ nn \ nr 根据该方程和初值即可求解出 t1时刻的状态变量值。 清华大学电路原理教学组

根据该方程即可求解出 t1时刻的输出变量值。 三、 输出方程 ——用状态变量表示输出的方程 R uL C e(t) + - uC iL iC uR L 设输出变量为uL、iC ： uL(t)=e(t)-uC(t) iC(t)= iL(t)-uC(t)/R 根据该方程即可求解出 t1时刻的输出变量值。 一般形式 [Y]=[C][X]+[D][u] 用于描述输出为uL、iC 的两输出系统。 特点： (1) 代数方程； (2) 用状态变量和输入量表示输出量。 清华大学电路原理教学组

归纳： (1) 过渡过程就是一个稳定的能量状态过渡到另一个稳定能量 状态的过程。 (2) 线性电路中的能量状态完全由电感电流和电容电压决定， (1) 过渡过程就是一个稳定的能量状态过渡到另一个稳定能量 状态的过程。 (2) 线性电路中的能量状态完全由电感电流和电容电压决定， 因而很自然地选择它们作为决定电路状态的量。 (3) 状态变量的个数等于独立的储能元件个数。 (4) 一般选择uC和 iL为状态变量。也常选 q 和 为状态变量。 状态变量的选择不唯一。 清华大学电路原理教学组

用电容电压和电感电流来表示电容电流和电感电压。 四、 列写状态方程的方法 1. 直观法 用电容电压和电感电流来表示电容电流和电感电压。 例2 uC(0-) = 3V iL(0-) = 0 (t=0) C + - uL L R iL uC uR 清华大学电路原理教学组

R1 - + uS C uC iS iR R2 i2 L2 L1 - + i1 2. 叠加法 例 3 列写图示电路的状态方程。 - + uS C uC iS iR R2 i2 L2 L1 - + i1 2. 叠加法 例 3 列写图示电路的状态方程。 以uC , i1 , i2 为状态变量。 将电容看作电压源 电感看作电流源 uC R1 - + uS iS iR R2 i2 - + i1 iC + - uL2 uL1 求解出iC、uL1、uL2 叠加定理

uC R1 - + uS iS iR R2 i2 - + i1 iC + - uL2 uL1 uC R1 - + R2 iC + - uL2 - + uS iS iR R2 i2 - + i1 iC + - uL2 uL1 uC R1 - + R2 iC + - uL2 + - uL1 R1 R2 i1 iC + - uL2 + - uL1 uL2 R1 R2 i2 iC + - + - uL1 R1 uS R2 - + iC + - uL2 uL1 R1 iS R2 iC + - uL2 + - uL1 uC i1 i2 uS iS 清华大学电路原理教学组

经典法与状态方程法的比较： uC(0＋) = 3V iL(0＋) = 0 (t=0) iL L + uL R uR uC C - 经典法 方程类型 高阶微分方程 一阶微分方程组 自由分量求法 高阶代数特征方程 高阶代数特征方程 适用对象 多入单出 多入多出 uC(0＋) = 3V iL(0＋) = 0 清华大学电路原理教学组

两种方法描述的系统自由变化量完全一样。 特征方程 求特征值的方程 最容易列写的零输入微分方程 如果仅需判断过渡过程性质 状态方程，求特征值 清华大学电路原理教学组 返回目录 End