直角坐標平面的介紹與二元一次方程式的圖形

單元主題： 直角坐標平面的介紹與 二元一次方程式的圖形 分段能力指標— A-3-07 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的 關係 A-3-10 能理解二元一次方程式的意義 A-3-11 能理解平面直角坐標系，並畫出線性函數 圖形 A-3-12 能運用直角坐標系及方位距離來標定位置 A-4-05 能畫出形如y=ax+b的坐標平面圖形

內容大綱 壹、有序數對 貳、平面坐標 叁、二元一次方程式 肆、二元一次方程式圖形的類別 伍、二元一次方程式圖形的平移

壹、有序數對 一、平面上的點如何表示？ 二、何謂數對？ 三、想想看？ 四、動手畫畫看 五、名詞介紹--有序數對 活動一：打擊魔鬼 活動二：大家來猜心

一、平面上的點如何表示？

二、何謂數對： 在平面上的一點，以（x，y）來表示 其位置，則稱（x，y）為一個數對

三、想想看？ （X，Y） （Y，X）

四、動手畫畫看 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

五、名詞介紹--有序數對 在平面上，當x≠y時，則 （x，y）≠ （y，x） 我們把這樣的數對稱為有序數對

活動一：打擊魔鬼 規則: 1. 以教室門入口的第一個位置為（1，1） 2. 請全班同學觀察自己在班上的位置。 3. 老師抽一位同學起來。 4. 尋找下一位目標。 5. 當音樂結束時，你就是魔鬼拉！ P.S.不可重覆叫到同一個人

（一）認識密碼表 （二）製作密碼表 （三）查密碼 （四）師生同樂 （五）HOMEWORK：分組報告 活動二：大家來猜心 （一）認識密碼表 （二）製作密碼表 （三）查密碼 （四）師生同樂 （五）HOMEWORK：分組報告

（一）認識密碼表 例如: ； a=（1，1） ？ 「 」 、 ： ！ y z ， . u v w x q r s t m n o p i j 空格=（4，9） 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ？ 「 」 、 ； ： ！ y z ， . u v w x q r s t m n o p i j k l e f g h a b c d 1 2 3 4

（二）製作密碼表 9 8 7 6 5 4 3 2 1 請將所需要的密碼填入空白的表格中 1 2 3 4

老師和學生共同製作好的密碼表 ； m ： ！ ？ 「 」 o p ， 。 I u y t q w e r a s d f j i h g k 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ； m ： ！ ？ 「 」 o p ， 。 I u y t q w e r a s d f j i h g k 、 n b z x c v 1 2 3 4

（三）查密碼 由老師先決定一組底牌--『i love you』， 並示範尋找密碼的方法。 得到密碼為『（2，3）、（4，8）、 （1，6）、（1，7）、（4，1）、 （3，5）、（4，8）、（3，6）、 （1，7）、（2，6）、（4，9）』

（四）師生同樂 將班上同學分成兩組， 一組製定密碼，一組進行搶答

製定密碼： (2，3)、(4，6)、(4，8)、 (2，3)、(2，4)、(4，8)、 (2，4)、(1，7) 、(4，8)、 (3，1)、(1，7)、(1，6)、 (3，4)、(4，7) 進行搶答

（五）HOMEWORK：分組報告 老師將班上分成6~8組 由小組自行製定密碼表及密碼 以英文為主題造一個句子 下一堂課請各組上台呈現小組的密碼表

X X Y 貳、平面坐標 X Y Y

一、定義：直角坐標系 在平面上，兩條互相垂直的數線， 所形成的圖形稱為直角坐標系平 面，簡稱坐標平面。

二、直角坐標平面有什麼？

三、專有名詞的介紹 （一）橫軸（x軸） （二）縱軸（y軸） （三）原點（基準點） （四）象限

X （一） 橫軸（x軸） Y 以右邊方向為正向（要以箭頭表示） 無限多點 y=0 1.橫軸上有幾點？ Ans： 2.這些點有何特色？ （-2，0） （1，0） y=0 （3，0）

Y （二）縱軸（y軸） 以上方為正向（要以箭頭為方向） X 1.縱軸上有幾個點？ Ans：無限多個 2.這些點有何特色？ Ans：x=0 （0，3） （0，1） （0，-2）

（三） 原點（基準點） Y X 原點在哪裡呢？ Ans： x軸與y軸的 交點叫做這個坐 標平面的原點， 以O（0，0）來 表示 O（0，0）

（四）象限 坐標平面被x軸與y軸分成四個區域，每個區域稱為一個象限 （1 ）第一象限：（＋，＋） （2 ）第二象限：（－，＋） （3 ）第三象限：（－，－） （4 ）第四象限：（＋，－）

平面坐標的圖形 X Y 第一象限 （＋，＋） 第二象限 （－，＋） 第四象限 （＋，－） 第三象限（－，－）

四、題目演練 1.判別下列的點在哪個象限？ 2.判別各個點到x軸與y軸的距離。 (1)（-4，7） (2)（5，2） (3)（9，-4） (4)（-3，-6）

你做對了嗎？ 1.判別下列的點在哪個象限？ (1)（-4，7） （－，＋）第二象限 (2)（5，2） （＋，＋）第一象限 (2)（5，2） （＋，＋）第一象限 (3)（9，-4） （＋，－）第四象限 (4)（-3，-6）（－，－）第三象限

你做對了嗎？ 2.判別各個點到x軸與y軸的距離。 (1)（-4，7） 到y軸的距離為｜-4｜=4 到x軸距離為｜7｜=7

叁、二元一次方程式 一、何謂二元一次式？ 二、二元一次式標準式：ax+by+c 三、算算看：二元一次式的值 四、何謂二元一次方程式 五、定義二元一次方程式 六、想想看 七、不同的情況會有不同的答案

一、何謂二元一次式？ 有兩個未知數 最高次數都是『1』 利用加、減運算結合在一起的式子稱為二元一次式 ex：2x-y+1 3x-3y …

二、二元一次式標準式：ax+by+c a、b、c都是已知數 x與y是變量，『元』是指「變量」 『次』是指「變量的最高次數都只有一次」

三、算算看：二元一次式的值 1.x=1，y=2，求2x-y+1=______ 2. 3x-5y+2 X 2 -3 4 Y 6 6 3x-5y +2

答案抵家 1. x=1，y=2，求2x-y+1= 1 2. 3x-5y+2 X 2 -3 4 Y 6 3x-5y +2 8 -27 -16

四、何謂二元一次方程式

五、定義二元一次方程式 有兩個未知數 最高次數都是『1』 利用加、減運算結合在一起的方程式稱為二元一次方程式 ex：2x-y+1=11

六、想想看 二元一次方程式式有幾組解？

七、不同的情況會有不同的答案 情況一：有限制的解：其解為整數解、正 整數解或是有範圍限制的解 解有固定的組數 情況二：沒有限制的解：不限制解的形式 無限多組解

八、動手解解看 （一）給定一個二元一次式方程式及數個 解，找出何者為正確的解 （二）給定一個二元一次式方程式，在有條 件限制的情況下，請同學依照題目的限 制找出解答。

（一）哪一個是正確的解？ 1. x+2y=10 請找出下列何者為二元一次方程式正確的解 2. x-5y=25 選項：（2，-5）、（0，5）、（4，1）、 （10，0）、（2，4）、（-2，12） 2. x-5y=25 選項：（3，-7）、（0，-5）、（10，-2） （15，-3）、（5，-4）、（15，-2）

（二）找出它的解 有條件限制時，如何找出它的解。請找出下 列二元一次方程式的解 1.x+y=10，x、y為正整數或0(請找出五組解) 2.3x-2y=24，1≦x≦6，x為正整數

你寫對了嗎?

（一）哪一個是正確的解？ 1.x+2y=10 解答：（2，-5）、（0，5）、（4，1）、 （10，0）、（2，4）、（-2，12）

2. 3x+5y=37 解答：（3，-7）、（0，-5）、（10，-2） （15，-3）、（5，-4）、（15，-2）

(二) 有條件限制時，如何找出它的解 1. x+y=10，x、y為正整數或 0 解答： x 1 2 3 4 y 10 9 8 7 6

2. 3x-2y=24，1≦x≦6，x為正整數 解答： x 2 4 6 8 y -12 -9 -6 -3

九、將二元一次方程式畫 在直角坐標系時，圖 形為何？

活動三：動手畫畫看

（一）描點作圖 利用練習題所找出的點，將二元一次方程式的圖形畫在直角坐標系上 1.x+2y=10 2. x-5y=25

1. x+2y=10 x 2 10 y 5 4 圖形： x+2y=10

2. x-5y=25 x 5 15 y -5 -4 -2 圖形：

（二）你發現什麼呢？ 由描點你發現什麼呢？ 一個二元一次方程式有無限多個解

（三）動動腦！！ 畫一條直線至少要幾個點才可決定？ 兩點決定一條直線 ？ ？ ？ ？

三、結論：畫直線的方法 1.找出兩組解 2.描點畫直線 注意：有條件限制時要討論。 X Y

四、例題演練 請畫出下列方程式的圖形 1.2x-y=6 2.x+y=6 ， x、y要為正整數

照過來：解答 1. 2x-y=6 圖形： x y -6 1 -4 Y X (1,-4) (0,-6)

2. x+y=6 ，x、y要為正整數 圖形： x y 1 5 2 4 Y (1,5) (2,4) X

五、重點補給站 二元一次方程式有無限多個解 二元一次方程式的圖形為一條直線 有條件限制時，圖形是直線的一部份 兩點決定一條直線

肆、二元一次方程式圖形的類型

一、我是小畫家 請依照下列二元一次方程式畫出其圖形，並觀察他們的相異處 y=3x y=3x+2 y=3 x=2 y=0 x=0

1. y=3x Y (0,0) X

2. y=3x+2 Y X (0,0)

3. y=3 Y X (0,0)

4. x=2 Y X (0,0)

5. y=0 Y X (0,0)

6. x=0 Y X (0,0)

二、圖形彙整（連結到WORD的圖形） 方程式 特性 y=ax（a≠0） 通過原點的斜直線 y=ax+b（a≠0，b≠0） 不通過原點的斜直線 y=c 水平線 x=d 鉛直線 y=0 x軸 x=0 y軸

X Y X Y X Y Y X Y Y X X

伍、延伸題： 二元一次方程式圖形的平移

一、想想看！ 想想看：下列這些方程式的圖形有什麼關係？ （1）y=3x （2）y=3x+1 （3）y=3x+2 （4）y=3x-1

二、 會變動的圖形(連結)

三、結論： 二元一次方程式中，如果只有常數項不同，則圖形必會產生平行線。

恭喜你嚕！全部都學會了！