8.2 参数估计 §8.2.1 基本概念 一、估计量 估计值 人们往往知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的函数形式并不知道，即总体的参数未知。参数估计就是要根据样本来估计出总体的未知参数。
用一个区间去估计总体的未知参数所在范围，即把未知参数值估计在某两个界限之间 以样本的某个函数值估计总体的未知参数 常见的参数估计方法分为点估计（point estimate）和区间估计（interval estimate）。 用一个区间去估计总体的未知参数所在范围，即把未知参数值估计在某两个界限之间 以样本的某个函数值估计总体的未知参数
点估计要求精确， 估计的结果只有两种可能性：或者正确或者错误 在大多数情况下，要点估计绝对正确几乎是不可能的。 区间估计的正确率比点估计要高。
估计中常用的方法是：用一个样本的统计量 估计总体参数 ，并称它为估计量（estimator），其具体值称为估计值。譬如用样本平均数 作为总体平均数 的估计量。表10-1通过举例对这几个概念进行比较。
表8-1 总体、总体参数、估计量和估计值关系表 按千分之一比例抽取人口，并调查其去年的人年均消费水平 表8-1 总体、总体参数、估计量和估计值关系表 研究的总体 要估计的参数 用作估计量的样本 统计量 估计值 全国的人口 今年的人均年消费水平 按千分之一比例抽取人口，并调查其去年的人年均消费水平 人年均消费5630元 某批出厂的所有灯泡 平均寿命 随机抽取20只，检测其平均寿命 平均寿命6800小时 流动人口 有犯罪记录的人所占比例 随机抽取1000人，有犯罪记录者所占比例 0.041‰ 有犯罪记录
二、评价估计量的标准 1．无偏性（unbiased） 由于估计量是样本的函数，是随机变量，它对于不同样本观测值会得到不同的估计值。我们自然希望这些估计值的平均值与参数的真值相等，也就是一个好的估计量的期望等于未知参数的真实值，具有这种性质的估计量，称为无偏估计量(unbiased estimate) . 即当估计值 的期望 时，称 为 的无偏估计量。
2．有效性（effectiveness） 有时未知参数的无偏估计量不是唯一的，那么如何比较其好坏呢？自然是估计量 与参数 的偏差越小越好，因为 ，也就是 的方差越小越好。我们把方差最小的那个估计量称为有效估计量（efficientestimator）。
3．一致性（consistency） 如果随着容量增加，统计量的值越来越接近总体参数值，这样的统计量就是与总体参数一致的估计量。样本容量越大，估计量的一致性越可靠。
§8.2.2 点估计 样本在一定程度上反映总体的信息 用样本均值作为总体均值的估计量，用样本方差作为总体方差的估计量。 §8.2.2 点估计 样本在一定程度上反映总体的信息 用样本均值作为总体均值的估计量，用样本方差作为总体方差的估计量。 可以证明，样本均值是总体均值的无偏、有效估计量，样本方差是总体方差的无偏估计量。
案例8.1现有一批支援灾区的衣裤，共500箱，每箱内放的衣裤数量差不多，估计这批衣裤有多少件。 解： 为估计衣裤总数，随机抽查其中30箱，清点的数量是： 101，104，98，111，103， 97，110，99，99，100， 103，97，104，102，96， 102，98，101，96，105， 105，98，102，101，107， 97，104，96，103，94。
样本的平均数是： 以此为总体的平均数估计值，也就是说，每箱平均有衣裤101.1件，500箱共计50550件衣裤，也可以说：这批支援灾区的衣裤大约是5万件。
通常用样本均方差 去估计总体标准差。 案例8.2 估算案例10.1的标准差。 解： 即总体标准差的估计值为4.147.
课堂练习 1．使用测量仪器对同一值进行了12次独立测量，测量值为(单位：mm)： 232．50， 232．48， 232．15， 232．53，232．24， 232．30， 232．48， 232．05，232．45， 232．60， 232．47， 232．30． 估计样本的估计值 与方差 ． 解：
2、在处理快艇的6次试验数据中，得到下列最大速度值 (单位：米／秒)： 27，38，30，37，35，31， 求最大艇速的均值与方差的无偏估计 解： 可用样本均值 与样本方差 分别作为它们的无偏估计 最大艇速的均值的无偏估计为： 最大艇速的方差的无偏估计为：
3、 设灯泡厂生产了1600只灯泡，为了检测这批灯泡的寿命，今随机地取16只灯泡进行寿命试验，测得寿命数据如下(单位：小时)： 1502，1480，1485，1511，1514，1527，l603，1480，1532，1508，1490，1470．1520，1505，1485，1540， 试估计这批灯泡的总寿命 解： 样本的平均数是： 以此为总体的平均数估计值， 因此这批灯泡的总寿命为：