第2章 电阻电路的等效变换

第2章 电阻电路的等效变换 2.1 概述 2.2 电阻的串联和并联 2.3 电阻的Y形和△形连接的等效变换 2.4 电源的等效变换 2.1 概述 2.2 电阻的串联和并联 2.3 电阻的Y形和△形连接的等效变换 2.4 电源的等效变换 2.5 输入电阻和等效电阻

本章要求: 1.理解电路等效变换的概念； 2.熟练掌握电阻的串联、并联与混联的等效变换，初步掌握电阻Y形联结与△形联结的等效变换； 3.掌握电源的串联、并联，实际电源的两种模型及等效变换； 4.掌握一端口电路输入电阻的计算。

2.1 概述 1 一些概念 1）电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路。 2）等效的概念： 1）电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路。 2）等效的概念： 若结构、元件参数不相同的两部分电路N1、N2，具有相同的电压、电流关系，则称它们彼此等效。 等效

对N3电路中的电流、电压和功率而言，满足 明确 （1）电路等效变换的条件 两电路具有相同的VCR 未变化的外电路N3中的电压、电流和功率（即对外等效，对内不等效） （2）电路等效变换的对象 （3）电路等效变换的目的 化简电路，方便计算

2.2 电阻的串联和并联 一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors ) 1. 电路特点: + _ 2.2 电阻的串联和并联 一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors ) 1. 电路特点: + _ R1 Rn uk i u1 un u Rk (a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。

结论 2. 等效电阻Req 由欧姆定律 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。 a b R1 i +  u uS +  u1 R2 u2 +  u1 R2 u2 Rn un a b Req i ＋ － u uS 由欧姆定律 结论 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。

电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作分压电路。 表明： 分压公式 3. 串联电阻上电压的分配 a b R1 i +  u uS +  u1 R2 u2 Rn un 电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作分压电路。 表明： + _ u R1 R2 - u1 u2 i º 例 两个电阻串联的分压：

二、电阻并联 (Parallel Connection) in R1 R2 Rk Rn i + u i1 i2 ik _ 1. 电路特点: (a) 各电阻头与头、尾与尾相连。各电阻两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。 i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in

2. 等效电阻Req 由KCL: 结论 等效电导等于并联的各电导之和。 且

3 并联电阻的分流 分流公式 可见：电流分配与电导成正比 例：两并联电阻的分流： R1 R2 i1 i2 i a b R1 i u iS ＋ － u iS i1 R2 i2 Rn in 可见：电流分配与电导成正比 例：两并联电阻的分流： R1 R2 i1 i2 i

4.电阻的串并联 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种连接方式称电阻的串并联（又称混联）。 判别电路的串并联关系一般应掌握下述4点： 1）若电阻是首尾相联就是串联，是首首尾尾相联就是并联。 2）若流经电阻的电流是同一个电流，那就是串联；若电阻上承受的是同一个电压，那就是并联。 3）可对电路作变形等效。 4）对于具有对称特点的电路，若两点是等电位点，一是可以用短接线把等电位点联起来；二是把联接等电位点的支路断开（因支路中无电流）。

例1 求: Rab 60 100 b a 120 20 60 100 50 10 b a 40 80 20 40 100 60 b a 20 100 b a 20 Rab＝70

例2 Rab＝10 20 求: Rab 5 a 5 20 b a 15 b 缩短无 电阻支路 7 15 7 6 6 4 3 7 15 b a 4 10 Rab＝10

例6 求: Rab b a c d R 对称电路 c、d等电位 b a c d R 断路 b a c R 短路

2.3 电阻的Y形和△形连接的等效变换 1. 电阻的 、Y形连接  形网络 Y形网络

 ，Y 网络的变形：  型电路 ( 型) T 型电路 (Y、星型) 注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关 系时，能够相互等效 。

2. —Y 变换的等效条件 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y i3  i2  i1 + – u12 u31 R12 R31 R23 1 2 3 i1Y i2Y i3Y + – u12Y u23Y u31Y R1 R2 R3 1 2 3 等效条件： 如果 u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y i1 =i1Y , i2  =i2Y , i3  =i3Y , 则 两电路可互相等效

u23 i3  i2  i1 + – u12 u31 R12 R31 R23 1 2 3 电阻关系： i1Y i2Y i3Y + u12Y u23Y u31Y R1 R2 R3 1 2 3 接: 用电压表示电流 Y接: 用电流表示电压 i1 =u12 /R12 – u31 /R31 u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1) (2) u31Y=R3i3Y – R1i1Y i3 =u31 /R31 – u23 /R23 i1Y+i2Y+i3Y = 0

由式(2)解得： i1 =u12 /R12 – u31 /R31 i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1) (3) i3 =u31 /R31 – u23 /R23 根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得Y的变换条件： 同理得：

简记方法：  形相邻电阻的乘积 Y时： Y形电阻 =  形电阻之和 Y形电阻两两乘积之和 Y 时： 形电阻 = Y形不相邻电阻

(1) 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 特例：若三个电阻相等(对称)，则有 R = 3RY R31 R23 R12 R3 R2 R1 外大内小 注意 (1) 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 (2) 等效电路与外部电路无关。 (3) 用于简化电路

【例2.6】如图所示，求电路中a、b间的等效电阻Req和电流i 解：将上图R1、R2、R5组成的△形电路转换成下图Ra、Rc、Rd组成的Y形电路

a、b间的等效电阻为

例 桥 T 电路 1/3k 1k R E 1k R E 1k R E 3k

2.4 电源的等效变换 注意参考方向 （1）理想电压源串联 （2）理想电压源并联 相同的电压源才能并联,电源中的电流不确定。

（3）电压源与支路的串、并联等效 + _ uS i u R uS2 + _ uS1 i u R1 R2 uS + _ i 任意 元件 u uS + _ i u R R 对外电路而言，与电压源并联的元件为虚元件，应断开。

（4） 理想电流源的并联 注意参考方向 （5） 理想电流源的串联 相同的理想电流源才能串联, 每个电流源的端电压不能确定

(6) 电流源与支路的串、并联等效 R iS i + _ u R2 R1 + _ u iS1 iS2 i 等效电路 iS 任意 元件 u _ + iS R R 等效电路 对外电路而言，与电流源串联的元件为虚元件，应短路。

【例2.7】将图示电路等效简化为一个电压源或电流源。

(7)．实际电压源的模型和伏安特性曲线 RS＝0时,为理想电压 注意：实际电流源也不允许开路。因其内阻大，若开路，电压很高，可能烧毁电源。

(8)．实际电流源的模型和伏安特性曲线 RS→∞时，就变为理想电流源 注意：实际电流源也不允许开路。因其内阻大，若开路，电压很高，可能烧毁电源。

iS=uS /RS GS=1/RS u=uS – RS i i =iS – GSu i = uS/RS– u/RS （9）两种电源的等效变换 实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。 u=uS – RS i i =iS – GSu 端口特性 i = uS/RS– u/RS iS=uS /RS GS=1/RS 比较可得等效条件

US = IS R IS = US / R ① 电压源和电流源的等效关系只对外电路而言，对电源内部则是不等效的。 注意: ① 电压源和电流源的等效关系只对外电路而言，对电源内部则是不等效的。 注意: 例：当RL=  时，电压源的内阻 RS 中不损耗功率， 而电流源的内阻 RS 中则损耗功率。 ② 等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。 RS + – US a b IS RS – + US a b IS R R R R ③ 理想电压源与理想电流源之间无等效关系。 ④ 任何一个电压源US和某个电阻 R 串联的电路， 都可化为一个电流为 IS 和这个电阻并联的电路。 US = IS R IS = US / R

例1: 求下列各电源等效变换 + – a b U 2 6V (a)  - + a b U 3 9V (b)  解: a 3A b U

例1: 求下列各电源等效变换 a 3A b U 1 (c) +  a 2A b U 5 (d) +  解: + – a b U 1 3V (c)  - + a b U 5 10V (d) 

例2: 试用电压源与电流源等效变换的方法，计算2电阻中的电流。 解: 由图(d)可得 2A 3 1 2 2V + – I 6 (b) 6V 3 + – 12V 2A 6 1 2 I (a) 4A 2 2V + – I (c) – 8V + 2 2V I (d) 由图(d)可得

（10）关于受控电源的等效变换 受控源等效变换和独立源相似，但需特别注意在转换过程中，要保存控制量所在的支路，而不要消除掉。 【例2.9】如图2-28（a）所 示电路，应用等效化简方法， 求支路电流 和电压

2.5 输入电阻和等效电阻 1 一端口（二端）网络 如果一个网络N通过两个端子与外电路相连，从它一个端子流入的电流一定等于从另一个端子流出的电流，这样的网络叫做一端口（网络）或二端网络。 若一端口网络含有独立源时，称为有源一端口网络NS，否则，称为无源一端口网络NO。

对于一个不含独立源的一端口电路NO，不论内部如何复杂，其端口电压和端口电流成正比，定义这个比值为一端口电路的输入电阻Rin 2 输入电阻 1）定义： 对于一个不含独立源的一端口电路NO，不论内部如何复杂，其端口电压和端口电流成正比，定义这个比值为一端口电路的输入电阻Rin u 和 i 关联参考方向下，有 端口的输入电阻也就是端口的等效电阻Req。

1 纯电阻无源二端网络 2 含受控源和电阻的无源二端网络 加压求流 加流求压 2）输入电阻的计算方法： R1 a b R2 R3 R4 R5 R6 1 纯电阻无源二端网络 应用电阻的串、并联和Y-△变换的方法，求得它的等效电阻，即为输入电阻 2 含受控源和电阻的无源二端网络 外加电源法 ： 加压求流 加流求压

【例2.10】求图示电路的输入电阻 解：可用加压求流。 列KVL方程 则 需要指出的是： （1）应用外加电源法时，端口电压、电流的参考方向对两端电路来说是关联的。 （2）对含有独立电源的一端口电路NS，求输入电阻时，要先把独立源置零，即电压源短路，电流源断路。