微積分的名稱 Calculus一詞是源自拉丁文，原意是指石子。因為古歐洲人喜歡用石子來幫助計算，所以calculus被引申作計算的意思。 例：a calculous man不是指一位精通微積分的人，而是一位患腎結石的病人! 1

微積分這個中文詞，最早見諸清代數學家李善蘭和英國人Wylie(偉烈亞力)在1859年合譯的《代微積拾級》 李善蘭在譯序中說：『是書，先代數，次微分、次積分，由易而難，若階級之漸升。譯既竣，即名之曰代微積拾級。 』 2

思路和淵源 先積分，後微分，最後發展成為微積分 積分概念：源於解決面積、體積、弧長及重心等問題 微分概念：源於求變化率、曲線之切線，以及函數的極大、極小值問題 兩者是互逆的運算 3

積分概念的三大支柱 窮竭法 不可分元法 平衡法 4

窮竭法 Antiphon(安提豐，約430BC)：『隨著一個內接正多邊形的邊數逐次成倍地增加，圓與正多邊形的面積之差最終將被窮竭。』

Eudoxus(歐多克斯，約370BC)：『如果從任何量中減去一個不小於它的一半的部分，再從餘下部分減去不小於它的一半的另一部分，…等等，則最後將留下一個小於任何給定的同類量的量。 』

窮竭法 當矩形的數目愈來愈多，它們的面積之和會愈來愈逼近曲邊形的面積。

不可分元法 對一個平面片而言，其“不可分元”是指它的一條弦(chord) 對一個立體而言，其“不可分元”是指它的一個平面截面

不可分元法

Democritus(德謨克利特 460~370BC) 根據不可分元的想法，推出稜錐(或圓錐)的體積是具有同樣的底和高的稜柱(或圓柱)的體積的三分之一。

Cavalieri原理(卡瓦列利，1598~1647) ： (1) 若兩塊平面片處於二平行線之間，且被任意平行於此二平行線的直線截得的長度均相等，則這兩塊平面片的面積相等。 (2) 若兩個立體處於二平行面之間，且被任意平行於此二平行面的平面截得的面積均相等，則這兩個立體的體積相等。

Cavalieri原理

平衡法 Archimedes(阿基米德，287~212BC)的平衡法是這樣的： “為了找所求物體的面積或體積，可以把它分成很多窄的平行條或平行層，然後(想像)把這些平行條或平行層掛在槓桿的一端，使它與已知容積和重心的物體保持平衡。” 阿基米德用平衡法求得球體的體積公式。

平衡法

古中國的極限思想 《莊子天下篇》曰：「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」 劉徽創割圓術，謂「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」 祖氏父子：『夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異。』(注：“冪”指截面面積，“勢”指高度)

問題引路 第一類問題：已知距離表為時間的函數，求速度和加速度。反過來，已知加速度表為時間的函數，求距離和速度。 (例：Galileo曾探討此類問題) 第二類問題：求已知曲線的切線 (例：Archimedes, Fermat, Barrow曾探討此類問題)

第三類問題：求函數的極大或極小值 (例： Fermat, Barrow曾探討此類問題) 第四類問題：求弧長、面積、體積、重心或物體之間的引力 (例： Archimedes, Barrow, 劉徽及祖氏父子曾探討此類問題)

促成微積分發展的先驅 Fermat(費馬)與Descartes(笛卡兒)分別創立「解釋幾何」(Analytic Geometry)，把代數與幾何結合 Kepler(刻卜勒)發表運動三定律：(1)行星繞日運行的軌道是橢圓形，以太陽為焦點；(2)從日至行星的線段在相等的時間內掃過相等的面積；(3)行星繞日運行一周的周期之平方與橢圓軌道的半長軸之立方成正比。

Galileo(伽利略)開展科學數學化的方向。 他在1610年的一句名言： 『大自然的奧秘都寫在這部永遠展開在我們面前的偉大書本上，如果我們不先學會它所用的語言，就不能了解它……..這部書是用數學語言寫的。』

牛頓(Newton 1642~1727)

牛頓(Newton 1642~1727)的貢獻 1665年11月發現「流數法」(微分法) 1666年5月發現「反流數法」(積分法) 1669年完成《運用無窮多項方程的分析學》(1711年印行)。在論文中，他給出了求變量相對於時間的瞬時變化率之普遍方法。另外，他證明了面積可以由求變化率的逆過程得到(即「微積分基本定理」)

1671年和1676年分別完成《流數法和無窮級數》及《求曲邊形的面積》；但論文完成後，到1742及1693年才刊印。 1687年，好友哈雷(Halley)為他出版《自然哲學的數學原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)。這是一本包括力學理論和流數法的鉅著

萊布尼茲(Leibnitz 1646~1716)

萊布尼茲(Leibnitz 1646~1716)的貢獻 1684年發表《一種求極大極小和切 線的新方法，適用於分式和無窮量，以及這種新方法的奇妙類型計算》 創立微積分符號，對微積分的傳播和發展產生很大影響，且一直沿用至今。

他使用的「差的計算」(Calculus Differentialis)，後來成為專門術語「微分學」(Differential Calculus) 另外，「求和運算」(Calculus Summatorius)由數學家約翰伯努利改為「求整運算」，之後成為專門術語「積分學」(Integral Calculus) 兩者合稱為微積分(Calculus)

Newton和Leibnitz研究的共同點 創立更一般和普遍的微積分方法 以代數方法代替幾何方法 以微分、積分方法解決變率、切線、極值及求和問題

Newton和Leibnitz研究的不同點 牛頓發展的概念 ，而萊布尼茲著重微分dx 牛頓研究微分概念是用來解決物理問題，萊布尼茲是為了解曲線切線問題 牛頓經常將函數表為級數，逐項微分或積分；而萊布尼茲則用閉式(closed-form)

萊布尼茲研究方式較理論化和條理化，且使用較簡單的符號，令微積分便於普及和流傳後世。