自动控制原理 第六章线性系统的频域分析 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

第六章 线性系统的频域分析 6-1 频率特性的概念 6-2 典型环节频率特性的绘制 6-3 系统开环频率特性的绘制 6-4 奈奎斯特稳定判据 第六章 线性系统的频域分析 6-1 频率特性的概念 6-2 典型环节频率特性的绘制 6-3 系统开环频率特性的绘制 6-4 奈奎斯特稳定判据 6-5 最小相位系统的Bode图的应用 6-6 闭环频率特性 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

本章重点 频率特性基本概念 典型环节的幅相频率特性及其绘制 典型环节的对数频率特性 奈奎斯特稳定性及其判定 最小相位系统和稳定裕量概念 系统频率特性的Bode图形表示方法 由系统的开环频率特性分析系统的稳定性 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.1 频率特性的概念 频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同，频率特性法是根据系统对正弦信号的稳态响应，即系统的频率特性来分析系统的频域性能指标。 频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。应用时域分析法和根轨迹法分析系统时，应先通过某种方法获得系统的开环传递函数。频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的的方法测出稳定系统或元件的频率特性。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

系统或对象 １．频率特性的定义 为系统的幅频特性,它反映系统在不同频 为系统的相频特性,它反映系统在不同频率正弦信号 6.1 频率特性的概念 6.1 频率特性的概念 １．频率特性的定义 反映系统对正弦输入信号的稳态响应的性能。讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。 系统或对象 为系统的幅频特性,它反映系统在不同频 率正弦信号作用下,输出稳态幅值与输入稳态幅值的比值。 称 为系统的相频特性,它反映系统在不同频率正弦信号 作用下，输出信号相对输入信号的相移。 称 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

例6－1 求如图RC电路的频率特性。 解 RC电路的传递函数为： 设输入 其拉氏变换为 则输出 的拉氏变换为: 6.1 频率特性的概念 6.1 频率特性的概念 求如图RC电路的频率特性。 例6－1 RC电路的传递函数为： 解 设输入 其拉氏变换为 则输出　 的拉氏变换为: 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

求拉氏反变换，得 暂态分量 稳态分量 其中 ＲＣ电路的稳态频率响应为： 6.1 频率特性的概念 2018/11/9 6.1 频率特性的概念 求拉氏反变换，得 暂态分量 稳态分量 其中 ＲＣ电路的稳态频率响应为： 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

ＲＣ电路的稳态频率响应为： 为幅频特性 为相频特性 6.1 频率特性的概念 可见，ＲＣ电路的频率特性为: 式中 2018/11/9 6.1 频率特性的概念 ＲＣ电路的稳态频率响应为： 可见，ＲＣ电路的频率特性为: 式中 为幅频特性 为相频特性 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

考虑系统的传递函数： 注意： 为幅频特性 为相频特性 可以证明： 频率特性 传递函数 6.1 频率特性的概念 如果令： 如果令： 6.1 频率特性的概念 考虑系统的传递函数： 如果令： 注意： 为幅频特性 为相频特性 可以证明： 如果令： 频率特性 传递函数 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

几点说明： （１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性。 （２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移。 6.1 频率特性的概念 几点说明： （１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性。 （２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移。 （３）已知系统的传递函数，令　　　　，可得系统的频率特性。 （４）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质，因此也是一种数学模型描述。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

频率特性是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。 6.1 频率特性的概念 频率特性的数学描述形式为： 是系统的幅频特性。 其中： 是系统的相频特性。 频率特性是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。 输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

一、解析法 二、实验法 三、定义法 获取系统频率特性的途径: 频率特性 是 特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。 6.1 频率特性的概念 获取系统频率特性的途径: 一、解析法 频率特性 是 特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。 二、实验法 在系统的输入端输入一正弦信号 ，测出不同频率时系统稳态输出的振幅uo和相移 ，便可得到它的幅频特性 和相频特性 。 三、定义法 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

频率特性的表示方法: （一）解析表示 （二）图示（几何）表示 6.1 频率特性的概念 6.1 频率特性的概念 频率特性的表示方法: （一）解析表示 （二）图示（几何）表示 1、极坐标图 —— Nyquist图（又叫幅相频率特性、或奈奎斯特图，简称奈氏图） 2、对数坐标图—— Bode图（伯德图） 3、复合坐标图—— Nichocls图（尼柯尔斯图，或尼氏图），一般用于闭环系统频率特性分析。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

1. 极坐标图—奈奎斯特图 （Nyqusit） —幅相特性曲线 系统频率特性为幅频-相频形式 6.1 频率特性的概念 1. 极坐标图—奈奎斯特图 （Nyqusit） —幅相特性曲线 系统频率特性为幅频-相频形式 当在0～变化时,向量G(j)的幅值和相角随而变化,与此对应的向量G(j) 的端点在复平面 G(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1) 的Nyqusit图 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.1 频率特性的概念 2. 对数坐标图——伯德图（Bode图） 6.1 频率特性的概念 2. 对数坐标图——伯德图（Bode图） 将系统频率特性G(j) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上，分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行线性分度20lg|G(j)|；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgω）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgω ），合称为伯德图(Bode图)。 对数幅频特性记为 单位为分贝（dB) 对数相频特性记为 单位为度或弧度（rad) 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

3.复合坐标图—— Nichocls图（将Bode图的两张图合二为一） 6.1 频率特性的概念 3.复合坐标图—— Nichocls图（将Bode图的两张图合二为一） 将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。 20dB ω -20dB -180o 0o 180o 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

获取系统频率特性的途径有两个: 一、解析法 当已知系统的传递函数时，用 6.1 频率特性的概念 获取系统频率特性的途径有两个: 一、解析法 当已知系统的传递函数时，用 代入传递函数可得到系统的频率特性 因此，频率特性是 特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的解析法。 二、实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号 ，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅频特性 和相频特性 。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节幅相频率特性的绘制 自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。典型环节的基本特性在第二章已经介绍，本节将介绍典型环节频率特性的绘制方法。系统或环节频率特性的绘制有多种方式，本节主要介绍应用较为广泛的极坐标图和伯德图。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图） 6.2 典型环节频率特性的绘制 6.2 典型环节频率特性的绘制 一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图） 以角频率ω为参变量，根据系统的幅频特性 和相频特性 在复平面 上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。 它是当角率ω从0到无穷变化时，矢量 的矢端在 平面上描绘出的曲线。 可用幅值 和相角 组成的向量表示。 由0变化到 时，向量 的幅 值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 当输入信号的频率 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。 6.2 典型环节频率特性的绘制 1、比例环节 放大环节的传递函数为： (6-16) 其对应的频率特性是： (6-17) 其幅频特性和相频特性分别为： (6-18) (6-19) 频率特性如图6-1所示。 放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。 图6-1 比例环节的幅相曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 2、积分环节 3、微分环节 所以，积分环节的极坐标图是负虚轴。 所以，微分环节的极坐标图是正虚轴。 6.2 典型环节频率特性的绘制 2、积分环节 所以，积分环节的极坐标图是负虚轴。 3、微分环节 所以，微分环节的极坐标图是正虚轴。 图6-2 积分环节的幅相曲线(极坐标图) 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

4、一阶惯性环节 5、一阶微分环节 图6-3 惯性环节的幅相曲线 一阶惯性环节 的极坐标图 2018/11/9 图6-3 惯性环节的幅相曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的半个圆周，证明如下： 6.2 典型环节频率特性的绘制 当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的半个圆周，证明如下： 令： 则有 这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 半径为 。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即 6.2 典型环节频率特性的绘制 推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即 其频率特性是圆心为 ， 半径为 的实轴下方半个圆周。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6、二阶惯性环节 的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比ξ有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。 思考题：对于二阶微分环节的情况，同学们仿照前面讲过的内容自行绘制。 二阶惯性环节的极坐标图 的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比ξ有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 ξ变化对二阶惯性环节极坐标图曲线形状的影响 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 ξ变化对二阶惯性环节极坐标图曲线形状的影响 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 ξ变化对二阶惯性环节极坐标图曲线形状的影响 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 ξ变化对二阶惯性环节极坐标图曲线形状的影响 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 ξ变化对二阶惯性环节极坐标图曲线形状的影响 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

其中 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，它是频率特性曲线与虚轴的交点处的频率。 6.2 典型环节频率特性的绘制 当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值 谐振频率 , 这可由幅频特性的极值方程解出。 其中 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，它是频率特性曲线与虚轴的交点处的频率。 将 代入 得到谐振峰值 为： 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

在 的范围内，随着ω的增加， 缓慢增大；当 时 达到最大值 。 6.2 典型环节频率特性的绘制 将 代入 得到谐振相移 为： 在 的范围内，随着ω的增加， 缓慢增大；当 时 达到最大值 。 当 时， 迅速减小， 时的频率称为截止频率 ；频率大于 后，输出幅值衰减很快。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二阶微分环节频率特性曲线如图6-6所示，它是一个相位超前环节，最大超前相角为 。 6.2 典型环节频率特性的绘制 7、二阶微分环节 对于 图6-6 二阶微分环节幅相曲线 二阶微分环节 的极坐标图 二阶微分环节频率特性曲线如图6-6所示，它是一个相位超前环节，最大超前相角为 。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

如图6-7所示，滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。 6.2 典型环节频率特性的绘制 8、纯滞后环节 滞后环节的传递函数为： 其对应的频率特性是： 幅频特性和相频特性分别为： 图6-7 滞后环节频率幅相曲线 　　如图6-7所示，滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 8、纯滞后环节 当 时， 可见，低频时传递延迟与 一阶环节的特性相似 当 时 两者存在本质的差别 6.2 典型环节频率特性的绘制 8、纯滞后环节 当 时， 可见，低频时传递延迟与 一阶环节的特性相似 当 时 两者存在本质的差别 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 二、(半)对数坐标图(Bode图) H.W.Bode（1906-1982）美国Bell实验室著名科学家，他的工作为数据传输、通信工程，火炮控制及经典控制中的反馈系统稳定性分析奠定了基础，他于1969获得IEEE Medal of Honor。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二、(半)对数坐标图(Bode图) 6.2 典型环节频率特性的绘制 6.2 典型环节频率特性的绘制 二、(半)对数坐标图(Bode图) 1.定义：伯德（Bode）图又叫对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性，统称为对数频率特性。两个坐标平面横轴（ω轴）用对数分度。　　　　　　　　 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 对数幅频特性的纵轴按下式线性分度: 对数相频特性的纵轴是线性分度： 半对数坐标系。 2018/11/9 6.2 典型环节频率特性的绘制 对数幅频特性的纵轴按下式线性分度: 对数相频特性的纵轴是线性分度： 半对数坐标系。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统或环节的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； 6.2 典型环节频率特性的绘制 用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统或环节的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； （2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，简化计算； （3）用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便； （4） 横轴（ω轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

一、典型环节的Bode图绘制 6.2 典型环节频率特性的绘制 1.放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性为： 幅频特性是 对数幅频特性为 6.2 典型环节频率特性的绘制 一、典型环节的Bode图绘制 1.放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性为： 幅频特性是 对数幅频特性为 放大环节的相频特性是 K>1，20lgK>0,横轴上方； K=1，20lgK=0,与横轴重合; K<1，20lgK<0,横轴下方。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

2.积分环节 积分环节的频率特性是 幅频特性为 对数幅频特性是 相频特性是 6.2 典型环节频率特性的绘制 2018/11/9 6.2 典型环节频率特性的绘制 2.积分环节 积分环节的频率特性是 幅频特性为 对数幅频特性是 相频特性是 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅频特性穿越0分贝线（ ω轴）时的频率，称为穿越频率或剪切频率(用 表示) 6.2 典型环节频率特性的绘制 当 时, 积分环节的对数幅频特性是一条在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ω轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec.）变化的直线。积分环节的相频特性是一条值为-90°且平行于ω轴的直线。 幅频特性穿越0分贝线（ ω轴）时的频率，称为穿越频率或剪切频率(用 表示) 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

3.微分环节 微分环节的频率特性是 幅频特性为 对数幅频特性是 相频特性是 6.2 典型环节频率特性的绘制 2018/11/9 6.2 典型环节频率特性的绘制 3.微分环节 微分环节的频率特性是 幅频特性为 对数幅频特性是 相频特性是 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

积分环节与微分环节的比较 相差一个符号 类推 这些幅频特性曲线将通过点（ ）。 6.2 典型环节频率特性的绘制 2018/11/9 6.2 典型环节频率特性的绘制 积分环节与微分环节的比较 相差一个符号 类推 这些幅频特性曲线将通过点（ ）。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

4.惯性环节 惯性环节的频率特性是： 对数幅频特性是： 当 时， 当 时， 当 时， 6.2 典型环节频率特性的绘制 2018/11/9 6.2 典型环节频率特性的绘制 4.惯性环节 惯性环节的频率特性是： 对数幅频特性是： 当 时， 当 时， 当 时， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

在 时近似幅频特性曲线的斜率发生了变化,两条近似直线交接于 , 6.2 典型环节频率特性的绘制 在 时近似幅频特性曲线的斜率发生了变化,两条近似直线交接于 , 称为交接频率。 惯性环节的相频特性为： 当 时， 当 时， 当 时， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

5.一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性是： 对数幅频特性是： 当 时， 当 时， 当 时， 6.2 典型环节频率特性的绘制 6.2 典型环节频率特性的绘制 5.一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性是： 对数幅频特性是： 当 时， 当 时， 当 时， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 一阶微分环节的相频特性为： 当 时， 当 时， 当 时， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为20分贝/十倍频程的直线 6.2 典型环节频率特性的绘制 对数幅频特性 一阶惯性环节与一阶微分环节的比较 一阶因子 低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线 相频特性 在低频时，即 在高频时，即 高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为20分贝/十倍频程的直线 +—— 下两页的图中表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

一阶惯性环节的对数频率特性 Exact curve Exact curve 渐近线 Asymptote 渐近线 精确曲线 渐近线精确曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

一阶微分环节的对数频率特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.二阶振荡环节 6.2 典型环节频率特性的绘制 二阶振荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 时， 当 时， 当 当 时， 2018/11/9 6.2 典型环节频率特性的绘制 6.二阶振荡环节 二阶振荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 当 时， 当 时， 当 时， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 对数相频特性为 当 时， 当 时， 当 时， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.2 典型环节频率特性的绘制 7.二阶微分环节 二阶微分环节的频率特性是 对数幅频特性为 时， 当 时， 当 当 时， 2018/11/9 6.2 典型环节频率特性的绘制 7.二阶微分环节 二阶微分环节的频率特性是 对数幅频特性为 当 时， 当 时， 当 时， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

对数相频特性为 当 时， 请同学们课下完成。 6.2 典型环节频率特性的绘制 2、二阶振荡与微分环节的比较与前述相比怎样？ 6.2 典型环节频率特性的绘制 对数相频特性为 当 时， 思考题：1、二阶微分环节的Bode图是怎样的？ 2、二阶振荡与微分环节的比较与前述相比怎样？ 3、互为倒数的传递函数的BODE图有什么关系？ 4、最小相位环节和对应的非最小相位环节的BODE图有什么关系？ 请同学们课下完成。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

谐振频率 谐振峰值 6.2 典型环节频率特性的绘制 令 谐振频率 谐振峰值 当 时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振 6.2 典型环节频率特性的绘制 谐振频率 谐振峰值 令 谐振频率 谐振峰值 当 时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅频特性与 关系 二阶因子的对数幅频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅频特性与 关系 二阶因子的对数幅频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅频特性与 关系 二阶因子的对数幅频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅频特性与 关系 二阶因子的对数幅频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅频特性与 关系 二阶因子的对数幅频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅频特性与 关系 二阶因子的对数幅频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

相频特性与 关系 二阶因子的对数相频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

相频特性与 关系 二阶因子的对数相频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

相频特性与 关系 二阶因子的对数相频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

相频特性与 关系 二阶因子的对数相频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

相频特性与 关系 二阶因子的对数相频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

相频特性与 关系 二阶因子的对数相频特性曲线 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

幅值误差与 关系 6.2 典型环节频率特性的绘制 二阶振荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 时，二阶振荡系统的准确的对数幅频特性： 当 6.2 典型环节频率特性的绘制 幅值误差与 关系 二阶振荡环节的频率特性是 对数幅频特性为 当 时，二阶振荡系统的准确的对数幅频特性： 当 时，二阶振荡系统的近似折线的对数幅频特性： 由此得幅值误差与 关系 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 幅值误差与 关系 二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 幅值误差与 关系 二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 幅值误差与 关系 二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 幅值误差与 关系 二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 幅值误差与 关系 二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 幅值误差与 关系 二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

8.纯滞后环节 6.2 典型环节频率特性的绘制 纯滞后环节的传递函数为： 纯滞后环节的频率特性是： 对数幅频特性是： 对数相频特性为： 6.2 典型环节频率特性的绘制 8.纯滞后环节 纯滞后环节的传递函数为： 纯滞后环节的频率特性是： 对数幅频特性是： 对数相频特性为： 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

一、绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤 6.3 系统开环频率特性的绘制 6.3 系统开环频率特性的绘制 本节将通过一些示例介绍系统的开环率特性（包括它的极坐标和伯德图）的绘制方法和步骤。将系统的开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式是绘制系统开环Bode频率特性的基本步骤。 一、绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤 1、将开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式； 2、各环节幅频特性相乘得到开环幅频特性； 3、各环节相频特性相加得到开环相频特性； 4、如幅频特性有积分环节，根据开环频率特性表达式的实部和虚部，求出渐近线； 5、根据系统类型和开环M、N的数值，确定极坐标图的起始角度和终止角度；求极坐标曲线与负实轴的焦点。 5、在G(jω)H(jω)平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图；注意各典型环节的参数和特性。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.3 系统开环频率特性的绘制 0型系统：起点 ， 是一个位于正实轴的有限值 6.3 系统开环频率特性的绘制 一、绘制系统开环频率特性极坐标图的一般形式和规律 0型系统：起点 ， 是一个位于正实轴的有限值 终点 ,极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。 极坐标是一条渐近平行于虚轴的直线段。 幅值为零，且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。 1型系统： 的相角是 在总的相角中 项产生的 在总相角中 的相角是由 项产生的 2型系统： 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

对于 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点。 时， 轨迹将与实轴或虚轴相切。 当 高频(ω→∞)区域的极坐标图 本课程只要求 最小相位系统 的极坐标图的 绘制。 思考题：1、互为倒数的传递函数的极坐标图有关系吗？ 2、最小相位环节和对应的非最小相位环节的极坐标图有关系吗？

n>m，终止于原点，相角＝－90(n-m)。 极坐标图的一般绘制方法(最小相位系统) 1、起点和终点 γ＝0，起自于实轴G(0)； γ > 0，起自于无穷远，相角＝－90γ。 起点 终点 n=m，终止于实轴G(∞)； n>m，终止于原点，相角＝－90(n-m)。 2、与(负)实轴的交点 令： 得 可求得。 3、变化过程和范围 注意 从小到大变化的过程中，各环节在幅相特性变化中的 作用。注意分子环节和分母环节的作用是不同的。

考虑下列二阶传递函数： 试画出这个传递函数的极坐标图。 例6-1 解 极坐标图的低频部分为： 极坐标图的中频部分为： 极坐标图的高频部分为：

极坐标图

它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是 例6-2 已知系统的开环传递函数为 它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

当ω由零增至无穷大时，幅值由K衰减至零, 相角由 变至 。频率特性与负虚轴的交点频率为 ，交点坐标是 ，其极坐标图如图6- 17所示。 6.3 系统开环频率特性的绘制 当 时， 当 时， 当 时， 当ω由零增至无穷大时，幅值由K衰减至零, 相角由 变至 。频率特性与负虚轴的交点频率为 ，交点坐标是 ，其极坐标图如图6- 17所示。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.3 系统开环频率特性的绘制 [G] 图6-17开环系统极坐标图 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

例6-3 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。 解: 系统的开环传递函数可写成 它由一个放大环节、一个积分环节和一个振荡环节串联组成，对应的频率特性表达式为 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

由于系统含有一积分环节，为使频率特性曲线比较精确，须求出它的渐近线。由系统的开环频率特性可得 6.3 系统开环频率特性的绘制 当 时， 当 时， 当 时， 由于系统含有一积分环节，为使频率特性曲线比较精确，须求出它的渐近线。由系统的开环频率特性可得 当ω→0时有 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

即渐近线是一条与实轴交点为 且垂直于实轴的直线，图6-19绘制出该系统在不同阻尼比的渐近线（虚线) 及对应开环频率特性的极坐标图。 即渐近线是一条与实轴交点为 且垂直于实轴的直线，图6-19绘制出该系统在不同阻尼比的渐近线（虚线) 及对应开环频率特性的极坐标图。 图6-19 例6-2极坐标图 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二、绘制系统开环频率特性（伯德图）的步骤 6.3 系统开环频率特性的绘制 下面通过一些示例介绍系统的开环频率特性(Bode图)的绘制方法和步骤。将系统的开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式是绘制系统开环频率特性的基本步骤。 二、绘制系统开环频率特性（伯德图）的步骤 1、将开环传递函数写成典型环节乘积形式； 2、如存在交接频率，在ω轴上标出交接频率的坐标位置； 3、各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线； 4、修正误差，画出比较精确的对数幅频特性； 5、画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

解 6.3 系统开环频率特性的绘制 例6-2 已知系统的开环传递函数为: 1、由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是 6.3 系统开环频率特性的绘制 例6-2 已知系统的开环传递函数为: 解 1、由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

5、画出各串联环节相频特性，相加得到系统开环相频特性; 相频特性的绘制 1、比例环节 2、惯性环节 3、振荡环节 4、各环节叠加 幅频特性的绘制 1、比例环节 2、惯性环节 3、振荡环节 4、各环节叠加 6.3 系统开环频率特性的绘制 2、存在交接频率 ，在ω轴上标出； 3、各环节的对数幅频特性叠加； 4、修正误差； 5、画出各串联环节相频特性，相加得到系统开环相频特性; dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -180º -270º 20lgK -40dB/dec -60dB/dec -20dB/dec 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

解 6.3 系统开环频率特性的绘制 例6-3 某反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示） 6.3 系统开环频率特性的绘制 例6-3 某反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示） 解 开环频率特性为 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.3 系统开环频率特性的绘制 -40dB/dec -20dB/dec -20dB/dec 2018/11/9 6.3 系统开环频率特性的绘制 -40dB/dec -20dB/dec -20dB/dec 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

三、稳态误差的分析——系统类型和系统的开环 放大倍数 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 一、最小相位系统与非最小相位系统 二、由Bode图判断系统的稳定性 三、稳态误差的分析——系统类型和系统的开环 放大倍数 四、由Bode图求GK(S) 五、由Bode进行动态分析——瞬态计算 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

一、最小相位系统与非最小相位系统 6.4 最小相位系统的Bode图的应用 定义：在S右半平面上，若没有系统开环传递函数的极点和零点，则称此系统为最小相位系统。相反，若在S右半平面有开环传递函数的零极点，则称之为非最小相位系统。 注：（1）在稳定系统中，若幅频特性相同，对于任意给定频率，最小相位系统的相位滞后最小； （2）延迟环节的系统也属于非最小相位系统； （3）最小相位系统的对数幅频特性与对数相频特性具有一一对应的关系，即对于给定的对数幅频特性只有唯一的对数相频特性与之对应。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

a、对于最小相位系统，当ω→∞时，其相位为-(n-m)90°。（其中m，n分别为传递函数分子和分母多项式的最高阶次） 6.4 最小相位系统的Bode图的应用 （4）判定最小相位系统的方法： a、对于最小相位系统，当ω→∞时，其相位为-(n-m)90°。（其中m，n分别为传递函数分子和分母多项式的最高阶次） b、对于非最小相位系统，当ω→∞时，其相位不等于-(n-m)90°。 c、当ω→∞时，这两类系统的对数幅频特性曲线斜率都等于-20(n-m)dB/dec。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图 6.4 最小相位系统的Bode图的应用 例6-4 系统的开环传递函数分别为： 试分别绘制其零极点分布图和Bode图。 解 最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.4奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) N. Nyquist （1889-1976），美国Bell实验室著名科学家，他的工作为数据传输，通信工程，火炮控制及经典控制中的反馈系统稳定性分析奠定了基础。他于1960年 获得IEEE Medal of .Honor. 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.4奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数为： 为了保证系统稳定，特征方程 的全部根，都必须位于左半s平面。 闭环线性系统稳定的充要条件 闭环系统 虽然开环传递函数 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.4奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 与 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的函数映射基础上的。 的极限，或趋于零，或趋于常数。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.4奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 6.4.1 预备知识 可以证明，对于S平面上任意一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 幅角定理 设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则S 沿Γ顺时针运动一周时，在F(S)平面上，F(S)闭合曲线ΓF包围原点的圈数： R>0和R<0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的 原点，R＝0表示不包围F(s)平面的原点。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

S平面与 平面的映射关系 例6-5 当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外,在S平面上任取一点,如 则 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

例6-6 试分别用下面量个特殊函数检验幅角定理。 F1平面 分析 S平面 F2平面 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

可见， 的分子是闭环特征多项式，其对应的是闭环极点， 与系统的稳定性有关。分母是开环特征多项式。如果我们适 6.4.2 奈奎斯特稳定定理 考察 可见， 的分子是闭环特征多项式，其对应的是闭环极点， 与系统的稳定性有关。分母是开环特征多项式。如果我们适 当设计，就有可能利用幅角定理分析系统的稳定性。 假设F(S)在S平面的虚轴上没有零极点，在S平面上作一条完整的封闭曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

注意，这时的极点数P就是系统开环传递函数中的不稳定极点 数，而不稳定零点数Z就是我们要求的闭环不稳定极点数。如 果能够知道F(S)包围原点的圈数N，那么问题就解决了。 曲线对原点的包围，恰等于 轨迹对-1+j0点的包围。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

现在看起来似乎问题已经都解决了，请注意这样一个问题。 看包围S右半平面的图，ω的变化范围是(-∞→0→∞),而在 绘制极坐标图时， ω的变化范围是(0→∞)。 （这个问题请同学们自己想办法来解决办法。） 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

奈奎斯特稳定判据 1、如果z=0，则系统稳定，Z>0则系统不稳定，且S右半平面 上有z个不稳定极点。 这一判据可表示为： 式中 为 在右半s平面内的零点数， 是 对-1+j0点顺时针包围的次数(注意ω的变化范围是(-∞→0→∞))， 是 在S右半平面的极点数。 1、如果z=0，则系统稳定，Z>0则系统不稳定，且S右半平面 上有z个不稳定极点。 2、如果H(s)H(s)在右半s平面内无任何极点，即P不等于零， 对于稳定的控制系统，必须R=-P ，这意味着H(s)H(s)必 须反时针方向包围-1+j0点P次。 3、如果H(s)H(s)在右半s平面内无任何极点，即P等于零，这 意味着H(s)H(s)必须不包围-1+j0点。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

设 ，显然在S=0处有一个极点，这时奈奎斯特轨迹取为下图形式，于是轨迹没有经过起点。 6.4.3 含有位于 上极点和/或零点的特殊情况 设 ，显然在S=0处有一个极点，这时奈奎斯特轨迹取为下图形式，于是轨迹没有经过起点。 当ω从(0ˉ→0 → 0＋)， 从(∞＋→0→∞－)。 ¥ 平面 GH Re Im -¥ = w ' , F E D A B C + - 平面 s w j ¥ + - 1 << e A B C F E D 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

在 中将有： 对于包含因子 的开环传递函数 ，当变量s沿半径为 ( )的半圆运动时，即 例如，考虑开环传递函数： 在 中，当 时，有 中的 在 中将有： 对于包含因子 的开环传递函数 ，当变量s沿半径为 ( )的半圆运动时，即 例如，考虑开环传递函数： 在 中，当 时，有 中的 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.4.3 含有位于 上极点和/或零点的特殊情况 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。 例6-7 设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。 分析 的轨迹如图所示。 在右半s平面内没有任何极点，并且 的轨迹不包围 的值，该系统都是稳定 的。 ，所以对于任何 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

设系统具有下列开环传递函数: 试确定以下两种情况下，系统的稳定性： 增益K较小增益K较大。 小K值时是稳定的 大K值时是不稳定的 ¥ ¥ 例6-8 设系统具有下列开环传递函数: 试确定以下两种情况下，系统的稳定性： 增益K较小增益K较大。 分析 小K值时是稳定的 大K值时是不稳定的 ¥ 平面 GH Re Im -¥ = w + - 1 ´ 2 Z R P ¥ 平面 GH Re Im -¥ = w + - 1 ´ Z R P 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

表明闭环系统有两个极点在右半s平面，故系统是不稳定的。 例6-9 设一个闭环系统具有下列 开环传递函数： 试确定该闭环系统的稳定性。 开环传递函数在s右半平面 内有一个极点( ）， 奈奎斯特曲线如图示，轨迹顺时针 方向包围 点一次 因此 分析 表明闭环系统有两个极点在右半s平面，故系统是不稳定的。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.4.4 系统稳定裕量 -1 根据根轨迹，我们知道：对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳定。 一、相对稳定性 （a） -1 （b） 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

图(a)和(b)所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围 点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图(a)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 A 距离点较远，图(b)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 B 距离 点较近。 （a） -1 （b） 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了50%，则图(a)中的A点移动到 点,仍在 点右侧，系统还是稳定的；而图(b)中的B点则移到 的左侧 点，系统便不稳定了。可见前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。 （a） （b） 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二、稳定裕度 （一） 相角裕度 通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。 我们把GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率 称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足： 所谓相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移 与 角的差值，即 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

对于最小相位系统，如果相角度 系统是稳定的(下图)且 对于最小相位系统，如果相角度 系统是稳定的(下图)且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度 ,系统则不稳定(下图右)。当 时，系统的开环频率特性曲线穿过 点，系统处于临界稳定状态。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

（二） 幅值裕度 把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率 ，显然它应满足 对于最小相位系统，当幅值裕度Kg>1 ,系统稳定，且Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果 则系统不稳定. 所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率 所对应的开环幅频特性的倒数值，即 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

使系统到达临界状态时的开环频率特性的幅值 增大(对应稳定系统)或缩小(不稳定系统)的倍数。幅值裕度也可以用分贝数来表示。 幅值裕度的含义 使系统到达临界状态时的开环频率特性的幅值 增大(对应稳定系统)或缩小(不稳定系统)的倍数。幅值裕度也可以用分贝数来表示。 分贝 因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏必须同时考虑相角和幅角裕度。 通常要求相角裕度= ～ ,幅值裕度 （6分贝） 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

三、稳定裕度与系统的稳定性 前面已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面通过两个示例进一步说明。 例1-10 已知最小相位系统的开环传递函数为: 试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。 该 系统的开环频率特性的极坐标图分别如图(a)(当 时)和图(b) （当 时）所示。由 图(a)可知，当 时,系统的相角裕 度 ，由图(b)可知,当 时，系统的相角裕度 。 解 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

系统的幅频特性和相频特性分别为 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

令 ,则有 ，故 或 ; 对应S平面的坐标原点，舍去。 由 求出系统的幅值裕度为 可见，当 ,则 时 , 该系统不稳定； 令 ,则有 ，故 或 ; 对应S平面的坐标原点，舍去。 由 求出系统的幅值裕度为 可见，当 ,则 时 , 该系统不稳定； 时 ，该系统是稳定的。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

的轨迹越接近于包围 点，系统的稳定程度越差．因此，系统开环频率特性靠近 点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。 四、由Bode图判断系统的稳定性 　　稳定裕量就是表征系统稳定程度的量．它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由Bode图求系统稳定余量，并判断稳定性的方法。 　　　　　　　的轨迹越接近于包围　　　点，系统的稳定程度越差．因此，系统开环频率特性靠近　　点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。 　　系统的稳定裕量用相角裕度　和增益裕度　来表示． 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

§５－４ 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 剪切频率—对应于 的频率，记为 相角裕量—在剪切频率 处，使系统达到临界稳定状态所 §５－４ 　乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 剪切频率—对应于　　　　　　　 的频率，记为 相角裕量—在剪切频率　 处，使系统达到临界稳定状态所 要附加的相角迟后量． 为使系统稳定，相角裕量必须为正值． 增益裕度　　—在相角特性　　 等于　　　的频率 处， 开环幅频特性的倒数　　　　　　若系统增益Ｋ增大到 ，则系统达到临界稳定状态。　　 或 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

§５－４ 　乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 稳定的系统， 　　　　为正． 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.5 最小相位系统的Bode图的应用 相同的幅值特性 最小相位系统 非最小相位系统 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。因此对响应要求快的系统不宜采用非最小相位元件。 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 关于最小相位系统的几个结论： (1) 在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围。 (2) 最小相位系统，幅频特性和相频特性之间具有唯一的对应关系。即，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定。反之亦然。 以上结论对于非最小相位系统不成立。 非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。因此对响应要求快的系统不宜采用非最小相位元件。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

二、由Bode图判断系统的稳定性 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 剪切频率 —对应于　　　　　　　 的频率，记为 相角裕量 —在剪切频率　 处，使系统达到临界稳定状态所 要附加的相角迟后量。为使系统稳定，相角裕量必须为正值． 增益裕度　　—在相角特性　　 等于　　 　的频率 处 的一个数值， 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.5 最小相位系统的Bode图的应用 如果 ，则系统稳定。 如果 ，则系统稳定。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

(1)绘制折线Bode图；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定稳定性。 例6-9 已知某系统的开环传递函数为： (1)绘制折线Bode图；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定稳定性。 解 (1)绘制Bode图 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º 20lg10 -20dB/dec -60dB/dec 5 0.5 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

系统稳定 (2)求ωc、γ、GM、ωg； (3)判定系统的稳定性 因为系统是最小相位的，并且 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

三、稳态误差的分析—— 系统类型和系统的开环放大倍数 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。 当 趋近于零时，回路增益越高，静态误差值就越小。 系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

为0，其与纵轴的交点是20lgK，可以利用此值确定K。 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 假设系统的开环传递函数为 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -20dB/dec -60dB/dec ω1 ω2 20lgK 静态位置误差常数的确定 当ν=0时， 由于此时最低频段的幅频特性斜率 为0，其与纵轴的交点是20lgK，可以利用此值确定K。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.5 最小相位系统的Bode图的应用 静态速度误差常数的确定 的起始线段/或其延长线与 的直线的交点具有的幅值为 定理1：斜率为 证明 1型系统中 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -20dB/dec -60dB/dec (1,20lgk) ω=1 20lgkv ω＝1时的幅频特性为： 起始线段/或其延长线过 （ )这一点。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

kv 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 的起始线段/或其延长线与 轴的交点为 。 定理2：斜率为 证明 1型系统中 轴的交点为 。 定理2：斜率为 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -20dB/dec -60dB/dec (1,20lgk) ω=1 kv 证明 1型系统中 在与 Bode图的横轴交点处有： 故其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.5 最小相位系统的Bode图的应用 静态加速度误差常数的确定 定理3：斜率为 的起始线段/或其延长线与 的直线 的交点具有 的幅值为 的直线 的交点具有 的起始线段/或其延长线与 定理3：斜率为 的幅值为 证明: 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

故，其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 的起始线段/或其延长线与 轴的交点为 。 定理4：斜率为 证明 II型系统中 在与 Bode图的横轴交点处有： 故，其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

四、由Bode图求GK(S) 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 这里只要求对最小相位系统会从Bode图求得GK(S)。 1、根据最低频段的斜率确定系统的类型ν。 2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。 0型系统：最低频段的幅频特性与纵轴的交点是20lgK。 Ⅰ型系统：最低频段的幅频特性过 ， 最低频段的幅频特性在 通过横轴。 Ⅱ型系统：最低频段的幅频特性过 ， 最低频段的幅频特性在 通过横轴。 3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。 4、根据二阶环节的修正情况确定ξ。 例6-10 下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -180º -20dB/dec -60dB/dec 0.5 5 25 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 解 1、系统的类型ν=0。 2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。 因为20lgK=20，所以K=10。 3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -180º -20dB/dec -60dB/dec 0.5 5 25 4、确定ξ。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。 例6-11 下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -40dB/dec -60dB/dec (ω=1,30) ω=1 解 1、系统的类型ν=2。 2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。 3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。 未修正 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

3、根据转折频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。 dB φ(ω) ω 20 40 -45º -90º -40dB/dec -60dB/dec (ω=1,30) ω=1 3、根据转折频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

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6.5 最小相位系统的Bode图的应用 最低频段的直线方程： 过点(ω=1,30)，所以 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

五、由Bode进行动态分析——瞬态计算 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 由于人们的直觉是建立在时间域中的，所以，工程上提 出的指标往往都是时域指标。 对于二阶系统来说，时域指标与频域指标之间有着严格 的数学关系。对于高阶系统来说，这种关系比较复杂，工程 上常常用近似公式来表达它们之间的关系。 1、二阶系统性能指标 、 与开环频域指标 、ωc的关系 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.5 最小相位系统的Bode图的应用 （1） 与 之间的关系 开环传递函数 幅频特性： 令 所以相位裕量： 2018/11/9 （1） 与 之间的关系 开环传递函数 幅频特性： 令 所以相位裕量： 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

6.5 最小相位系统的Bode图的应用 当 时， 与 为近似直线关系，如右图中虚线 所示，此时: 超调量： 与 的关系是通过中间参数ξ相联系 当 时， 与 为近似直线关系，如右图中虚线 所示，此时: 超调量： 与 的关系是通过中间参数ξ相联系 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

结论：对于二阶系统来说， 越小， 越大；反之亦然。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取： 6.5 最小相位系统的Bode图的应用 结论：对于二阶系统来说， 越小， 越大；反之亦然。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取： （2） 与 、 之间的关系 因为 将 代入上式得到： 可以看出：ξ确定以后，剪切频率ωc大的系统，过渡过程时间 短，而且正好是反比关系。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准 2、高阶系统 对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准 确的关系式。介绍如下两个经验公式： 式中 可以看出，超调量 随相位裕度的减小而增大；过 渡过程时间ts也随 的减小而增大，但随ωc的增大而减小。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

结论 由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知，系统开环频率特性中频段的两个重要参数  、ωc，反映了闭环系统的时域响应特性。所以可以这样说： 闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

例6-12 某系统的开环传递函数为： 试估算该系统的时域性能指标。 解 开环放大系数K=250， 所以20lgK=20lg250=48(db) 各环节的转折频率分别为： 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

图中ωc=12s-1，它是最小相位系统，故相位裕量： 所以，闭环系统的最大超调量σp及过渡过程时间 ： 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

本章小结 一、模型关系 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 频率特性与传递函数具有十分相的形式 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系

稳定余量及有关参数的计算γ、ωc 、 κ g 、 ωg 二、 频率特性的表示法 对数频率特性曲线 对数幅频特性 相频特性 纵坐标均按线性分度 横坐标是角速率 10倍频程 按 分度 三、 频率特性的应用 稳定性分析 G(S)的获得 稳定余量及有关参数的计算γ、ωc 、 κ g 、 ωg 2018/11/9 北京科技大学自动化学院自动化系