2 = ? 根號的近似值 1.4142135623730950488016887242 … (不是整數，分數和有限的小數) 重點: 1. 動機 ~ 不是整數、小數、分數 2. 定義 ~ 近似值的意思 3. 大約的數學符號 同學知道 根號 2 的值是多少嗎? 如果用計算機計算，就會發現他是 1.414213 … 一串非常長的數字，後面還有 … 事實上，根號 2 不是整數，也不是分數和有限的小數 我們並沒有辦法寫出他真正的值 因此，只能用一個接近的值來代表根號 2 例如，根號 2 大約是 1.4， 我們用 = 的符號，上下加上兩個點代表大約的意思 或是更精準一點，大約是 1.4142 但不管怎麼樣， 這些都只是，接近根號 2 的值，我們稱為「近似值」 並不是真正的值

求近似值 (十分逼近法) 2 = 1.41421 … 1.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.5 (1.41)2 = 1.9881 (1.42)2 = 2.0164 當 a, b 是正數時 若 a > b 則 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 重點: 1. 原理 ~ 根號的大小關係 2. 十分逼近法 ~ 分 10 等分 的觀念 接著，我們來探討要怎麼求出 根號 2 等於 1.41421 … 這一長串近似值的方法 首先，根據前面學過的根號的大小關係 我們很容易就知道，根號 2 是介於 1 和 2 之間的一個數 因為 12 < 2，所以 根號 2 大於 1，但 2 會小於 22，所以根號 2 < 2 我們就知道根號 2 是 1 點多的一個數字 如果想要知道是 1 點幾的話 就可以仿照剛剛的做法，試試看 (1.1)2 = 1.21，所以根號 2 大於 1.1 接著看 1.2 =1.44  …  1.3 = 1.69 ….  1.4 = 1.96 1.5 = 2.25 這時候，我們就找出根號 2 ，介於 1.4 和 1.5 之間，也就是 1.4 多 如果用同樣的方法，繼續計算 1.41 的平方 = 1.9881 1.42 的平方 = 2.0164 就可以求出 根號 2 的小數第 2 位 同學可以想像，繼續下去，就可以求出小數點後第三位、第四位的值了 我們將剛剛的過程簡單整理一下 一開始，我們將 1 和 2 之間分成 1.1, 1.2, … 10 等分比較 就可以找出 根號 2 介於 1.4 和 1.5 之間 接著，我們再將 1.4 和 1.5 之間再分成 1.41, 1.42, … 用 10 等分的方式求出 根號 2 介於 1.41 和 1.42 之間 這樣每次分 10 等分，求近似值的方法，就稱為 十分逼近法

例題練習 用十分逼近法，求 5 到小數第二位的近似值 重點: 1. 熟悉十分逼近法 2. 四捨五入的觀念 用十分逼近法，求 5 到小數第二位的近似值 重點: 1. 熟悉十分逼近法 2. 四捨五入的觀念 我們知道 根號 5 是介於 2 和 3 之間，因為 22 < 5 < 32 接著，我們就要比較 2.1 的平方 = 4.41 2.2 的平方 = 4.84 <5 2.3 的平方 … 等等 = 5.29 > 5 ，我們知道 2.2 的平方等於 ... 得到   2.2 < 根號 5 < 2.3   接著，再將 2.2 和 2.3 之間做 10 等，求他們的平方 2.21, 2.22, ... 2.23 = 4.9729 <５ 2.24 = 5.0176 > 5 我們算到 2.23 的平方等於 … 2.24 的平方等於 … 所以 根號 5 就求到了小數點第二位，答案是 2.23

例題練習 ~ 四捨五入 以「四捨五入法」求 5 到小數第二位的近似值 到小數第二位 vs. 「四捨五入」到小數第二位 重點: 以「四捨五入法」求 5 到小數第二位的近似值 到小數第二位 vs. 「四捨五入」到小數第二位 重點: 1. 熟悉十分逼近法 2. 四捨五入的觀念 延續前面的題目 但改成以四捨五入的方式，求 … 到小數第二位   四捨五入的意思，就是要多求一位，到第三位 如果根號 5 大於等於 2.235，比 5 大，就要進位變成 2.24 如果是 2.234 …，就要捨棄變成2.23 因此，我們還要繼續看看小數點第三位的值是多少 如果按照十分逼近法，我們就要求 2.231 的平方，2.232 的平方 … 相信同學看到這麼多位的小數平方大概就不想算下去了 如果仔細想想四捨五入的關係，其實只要知道 根號 5 的值比 2.235 大還是小就可以了 可是 2.235 的平方，一樣不好算 但同學看到平方，就要想到可能可以用「和的平方公式」來簡化計算， 我們來試試看 將 2.235 的平方寫成 (2.23 + 0.005)2 = 2.232 + 2x2.23x0.005 + 0.005 的平方 2.23 的平方剛剛算過了，是 4.9729 0.0223 0.000025 加起來就等於 4.995225 < 5 所以，第三位數字至少是 5 因此，取四捨五入後要進位，根號 5 到小數第二位的近似值就是 2.24

例題練習 用十分逼近法，以「四捨五入法」求 5 到小數第二位的近似值 到小數第二位 vs. 「四捨五入」到小數第二位 重點: 用十分逼近法，以「四捨五入法」求 5 到小數第二位的近似值 到小數第二位 vs. 「四捨五入」到小數第二位 重點: 1. 熟悉十分逼近法 2. 四捨五入的觀念 我們知道 根號 5 是介於 2 和 3 之間，因為 22 < 5 < 32 接著，我們就要比較 2.1 的平方 = 4.41 2.2 的平方 = 4.84 <5 2.3 的平方 … 等等 = 5.29 > 5 ，我們知道 2.2 的平方等於 ... 得到   2.2 < 根號 5 < 2.3   接著，再將 2.2 和 2.3 之間做 10 等，求他們的平方 2.21, 2.22, ... 2.23 = 4.9729 <５ 2.24 = 5.0176 > 5 我們算到 2.23 的平方等於 … 2.24 的平方等於 … 所以 根號 5 就求到了小數點第二位，是 2.23 很多同學做到這邊就以為得到答案了，其實不是喔 因為四捨五入的意思，要求到第三位 如果比 5 大，就要進位變成 2.24，如果比 5 小，就要捨棄變成2.23 因此，我們還要繼續看看小數點第三位的值是多少 如果按照前面的做法，就要求 2.231 的平方，2.232 的平方 … 相信同學看到這麼多位的小數平方大概就不想算下去了 如果仔細想想四捨五入的關係，其實我們只要知道 根號 5 的值比 2.235 大還是小就可以了 可是 2.235 的平方，一樣不好算 但同學看到平方，就要想到可能可以用「和的平方公式」來簡化計算， 我們來試試看 將 2.235 的平方寫成 (2.23 + 0.005)2 = 2.232 + 2x2.23x0.005 + 0.005 的平方 2.23 的平方剛剛算過了，是 4.9729 0.0223 0.000025 加起來就等於 4.995225 < 5 所以，第三位數字至少是 5 因此，取四捨五入後要進位，根號 5 到小數第二位的近似值就是 2.24

2 = 1.41421 … 求近似值 (十分逼近法) 1 2 當 a, b 是正數時 若 a > b 則 1.4 1.5 1.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 當 a, b 是正數時 若 a > b 則 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 同學一定很好奇，要怎麼求出這一長串接近根號 2 的近似值 其實做法並不難喔，而且，也很直覺 首先，根據前面學過的根號的大小關係 我們很容易就知道，根號 2 是介於 1 和 2 之間的一個數 因為 12 < 2，所以 根號 2 大於 1 但 2 會小於 22 ，所以根號 2 < 2 所以，我們就知道根號 2 是 1 點多的一個數字 如果希望更精準知道是 1 點幾的話 就可以仿照剛剛的做法，試試看 (1.1)2 = 1.21，所以根號 2 大於 1.1 接著看 1.2 =1.44 1.3 = 1.69 1.4 = 1.96 1.5 = 2.25 這時候，我們就會發現，根號 2 是介於 1.4 和 1.5 之間 也就求出小數點後第一位了 如果用同樣的方法 繼續計算 1.41 的平方 = 1.9881 1.42 的平方 = 2.0164 就可以求出 根號 2 是介於 1.41 和 1.42 之間的數 用同樣的方法，就可以一次計算出多一位的小數 這樣的方法，就稱為 十分逼近法 因為，我們每次 我們又可以求出小數點第二位 nji3

1.4 1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

求近似值 (十分逼近法) 比較下列各組數的大小 (1) (2) 5, 2.1 (3) 甚麼數的平方會等於 9 呢? (1) (2) 5, 2.1 (3) 甚麼數的平方會等於 9 呢? 同學應該都會，3 的平方會等於 9 同樣的，-3 的平方也會等於 9 所以，3 和 -3，在數學上，就稱為 9 的平方根 其中，3 是正平方根，-3 就是負平方根 我們來看嚴謹的數學定義 若 b 2 = a，則 b 為 a 的平方根 反果來，若 b 是 a 的平方根 則 b 2 就會等於 a 接著來看例題練習

例題練習 比較下列各組數的大小 (1) (2) 5, 2.1 (3) 甚麼數的平方會等於 9 呢? 同學應該都會，3 的平方會等於 9 (1) (2) 5, 2.1 (3) 甚麼數的平方會等於 9 呢? 同學應該都會，3 的平方會等於 9 同樣的，-3 的平方也會等於 9 所以，3 和 -3，在數學上，就稱為 9 的平方根 其中，3 是正平方根，-3 就是負平方根 我們來看嚴謹的數學定義 若 b 2 = a，則 b 為 a 的平方根 反果來，若 b 是 a 的平方根 則 b 2 就會等於 a 接著來看例題練習

如果 a 是一個正數 何時 a 會比 a 大? 何時 a 比 a 小?