多组资料均数的比较

多组资料均数的比较 第一节 方差分析的基本思想及应用条件 第二节 完全随机设计资料的方差分析 第三节 随机单位组设计资料的方差分析 第一节 方差分析的基本思想及应用条件 第二节 完全随机设计资料的方差分析 第三节 随机单位组设计资料的方差分析 第四节 均数间的多重比较 第五节 析因设计资料的方差分析 第六节 Bartlett齐性检验 第七节 Excel实现方差分析（实例演示）

第一节 方差分析的基本思想及应用条件 将所研究的对象分为多个处理组,施加不同的干预，施加的干预称为处理因素（factor），处理因素至少有两个水平(level)。用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数是否存在差别，常采用的统计分析方法为方差分析(analysis of variance, ANOVA)。 由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验 （F test）。

i为组的编号，A，B，C j为组内为个体编号， 1，2，…，10

i为组的编号，1，2，3 j为组内为个体编号， 1，2，…，10

下面先用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小 试验数据有三个不同的变异 总变异（Total variation）：全部测量值Xij与总均数 间的差别 组间变异（ between group variation ） 各组的均数 与总均数 间的差异 组内变异（within group variation )每组的10个原始数据与该组均数 的差异 下面先用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小

1. 总变异 SS总反映了所有测量值之间总的变异程度， SS总=各测量值Xij与总均数 差值的平方和

2. 组间变异 mi mj SS组间反映了各组均数 间的变异程度 组间变异＝①随机误差+②处理因素效应

3. 组内变异 在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。SS组内仅仅反映了随机误差的影响。也称SS误差 m i

三种“变异”之间的关系

Variation Due to Treatment SSB Variation Due to Random Sampling SSW One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation Variation Due to Treatment SSB Variation Due to Random Sampling SSW Total Variation SST Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation Sum of Squares Among, or Sum of Squares Between, or Sum of Squares Model, or Among Groups Variation = +

均方(mean square，MS)

均方之比＝F value

F 分布 F分布概率密度函数：

F 分布曲线

F 界值表 附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01 分母自由度υ2 分子的自由度，υ1 1 2 3 6   161 200 216 225 230 234 4052 4999 5403 5625 5764 5859 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 98.49 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63

对于不同设计的方差分析，其思想都一样，即均将处理间平均变异与误差平均变异比较。不同之处在于变异分解的项目因设计不同而异。 方差分析的基本思想 首先将总变异分解为组间变异和误差（组内）变异，然后比较两者的均方，即计算F值，若F值大于某个临界值，表示处理组间的效应不同，若F值接近甚至小于某个临界值，表示处理组间效应相同(差异仅仅由随机原因所致)。 对于不同设计的方差分析，其思想都一样，即均将处理间平均变异与误差平均变异比较。不同之处在于变异分解的项目因设计不同而异。

方差分析的应用条件 各样本是相互独立的随机样本； 各样本来自正态总体； 各处理组总体方差相等，即方差齐性或齐同（homogeneity of variance）。 上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同。 当组数为2时，方差分析与两均数比较的t检验是等价的，对同一资料,有

第二节 完全随机设计的方差分析 完全随机设计(completely random design) 也叫单因素方差分析（one－way ANOVA）。将受试对象随机地分配到各个处理组的设计。 随机分组方法： 1. 编号,确定分组方案（如较少10个随机数为A,中间10个数为B，较大10个随机数为C） 2. 产生随机数字（附表15，或电脑），排序 3. 按方案分组 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 29 30 随机数 12.1 3.9 18.3 27.1 26.7 28.8 1.4 12.8 26.0 5.0 24.4 29.7 8.4 分组 B A C

二、方差分析的步骤 m1 = m2 = m3 H0: m1 = m2 = m3 = ... = mk H1: not all the mi are equal m1 = m2 = m3 m1 = m2  m3 m1  m2  m3

（二）计算F值（方差分析表）

计算F值（方差分析表）

（三）下结论

第三节 随机单位组设计的方差分析 随机单位组设计(randomized block design) ：又称随机区组设计、配伍组设计，也叫双因素方差分析（two--way ANOVA）。是配对设计的扩展。 具体做法：将受试对象按性质（如性别、年龄、病情等） （这些性质是非处理因素，可能影响试验结果）相同或相近者组成b个单位组（配伍组），每个单位组中有k个受试对象，分别随机地分配到k个处理组。 这样，各个处理组不仅样本含量相同，生物学特点也较均衡。比完全随机设计更容易察觉处理间的差别 。

表4-4 注射不同剂量雌激素后的大白鼠子宫重量(g)

一、随机单位组设计 随机分组方法（每个单位组内随机）： 1. 将同种类同窝大白鼠为一个单位组，并编号； 2. 给同窝中3只大白鼠编号；规定随机数小者分到 甲组，中等分到乙组，大者分到丙组； 3. 给每个大白鼠一个随机数； 4. 按规定分组 表 4个单位组大白鼠按随机单位组组设计分组 单位组号 1 2 3 4 小白鼠 5 6 7 8 9 10 11 12 随机数 68 35 26 00 99 53 93 61 28 52 70 05 序 号 分配结果 丙 乙 甲

二、方差分析的步骤 与完全随机设计的方差分析基本相同，主要区别在于：F值计算的方差分析表（ANOVA table）不同。 变异来源从组内变异中分解出单位组变异与误差变异。 H0: m1 = m2 = m3 = ... = mk H1: not all the mi are equal m1 = m2 = m3 m1 = m2  m3 m1  m2  m3

（二）计算F值（方差分析表）

计算F值（方差分析表）

（三）下结论

t检验与F检验的关系 当处理组数为2时，对于相同的资料，如果同时采用t检验与F检验，则有： 随机单位组设计ANOVA的处理组F值与配对设计的t值；完全随机设计ANOVA的F值 与两样本均数比较的t值间均有：

完全随机设计ANOVA与随机单位组设计ANOVA

不同设计应采用不同的ANOVA方法

第四节 均数间的多重比较 当方差分析的结果拒绝H0，接受H1 时，只说明k个总体均数不全相等。若想进一步了解哪些两个总体均数不等，需进行多个样本均数间的两两比较或称多重比较（multiple comparison）。也叫post hoc检验

为什么一般t检验作多重比较 是错误的？ 若用上一章的两样本均数比较的t检验进行多重比较，将会加大犯Ⅰ类错误（把本无差别的两个总体均数判为有差别）的概率。 例如，有4个样本均数，两两组合数为 ，若用t检验做6次比较，且每次比较的检验水准选为 ，则每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为（1－0.05），6次均不犯Ⅰ类错误的概率为 . 这时，总的检验水准变为

“多重比较”的几种方法 一、SNK－q检验（多个均数间全面比较） 二、LSD－t检验（有专业意义的均数间比较） 三、Dunnett检验 （多个实验组与对照组比较） 还有TUKEY 、DUNCAN、 SCHEFFE、 WALLER 、BON等比较方法

一、SNK－q检验 SNK（Student-Newman-Keuls）检验，亦称q检验

二、LSD－t检验 最小显著差异（Least significant difference）t检验

三、Dunnett检验

第五节 析因设计资料的方差分析 Factorial design ANOVA 主要介绍两因素两水平的析因分析。 也有两因素多水平、多因素多水平的析因分析。

实例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效（胆固醇降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固醇的作用？②两种药间有无交互作用 完全随机的两因素2×2析因设计

实例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率（％），问①不同缓解程度、不同化疗期淋转率是否相同？②两者间有无交互作用 完全随机的两因素2×2析因设计

实例3：小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤细胞生长特征影响的结果（肿瘤体积cm3）问①A、B、C各自的主效应如何？②三者间有无交互作用？ 完全随机的三因素2×2×2析因设计

实例4：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射频次下药剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效应如何？②二者间有无交互作用？ 随机配伍的两因素3×2析因设计

析因设计的特点 2个以上（处理）因素（factor）（分类变量） 2个以上水平（level） 2个以上重复（repeat） 每次试验涉及全部因素,即因素同时施加 观察指标（观测值）为计量资料（独立随机、正态、等方差）

析因设计的有关术语 单独效应（simple effects）：其它因素（factor）的水平（level）固定为某一值时，某一因素的效应 主效应（main effects）：某因素各单独效应的平均效应 交互作用（Interaction）：某一因素效应随着另一因素变化而变化的情况。（如一级交互作用AB、二级交互作用ABC…

析因设计的优缺点 优点 可用来分析全部主效应，以及因素间各级的交互作用 缺点 所需试验的次数很多，如2因素，各3水平5次重复需要试验为45次

例4-6：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通过率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？缝合后时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用 完全随机的两因素2×2析因设计

例4-6的完全随机设计ANOVA 处理组间 组内(误差)

处理组间变异的分解

单独效应 B的效应 A的效应

主效应 B的效应 A的效应 A因素的主效应解释为：束膜缝合与外膜缝合相比（不考虑缝合时间），神经轴突通过率提高了6%。

交互作用 缝合后2月后束膜缝合与外膜缝合神经轴突通过率的差异，仅比缝合后1月提高了2%， 两条直线相互平行, 表示两因素交互作用很小

ANOVA分析的必要性 A因素（缝合方法）的主效应为6%， B因素（缝合时间）的主效应为22%， AB的交互作用表示为2%。 以上都是样本均数的比较结果，要推论总体均数是否有同样的特征，需要对试验结果进行方差分析后下结论。

SS处理的析因分解

Ti、 Ai、 Bi的计算

析因分析结果

第六节 Bartlett方差齐性检验

例4-1 资料（表4-1）的方差齐性检验