2.3 平面上的直線與斜率

2.3 平面上的直線與斜率 學習目標 用線性方程式的斜截式繪圖。 求經過兩點的直線斜率。 用點斜式寫出直線的方程式。 求平行線以及垂直線的方程式。 用線性方程式做為實際生活問題的模型並解之。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-21

斜率的使用 連結兩個變數的最簡單數學模型是線性方程式 (linear equation) y ＝ mx ＋ b。這種方程式稱為線性，是因為其圖形是直線。當 x ＝ 0時，直線與 y 軸相交於 y ＝ b，如圖 2.31 所示。也就是 y 截距為 (0, b)。這條直線的坡度或斜率為 m。 斜率 (slope) 即直線在由左至右水平移到 1 個單位時垂直上升 (或下降) 的單位數，如圖 2.31 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-21

斜率的使用 第二章　函數、圖形與極限 P.2-21 圖2.31

斜率的使用 線性方程式寫成 y ＝ mx ＋ b 時稱為斜截式 (slope-intercept form)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-21

斜率的使用 注意下列的範例中，沒有任何直線是垂直的。垂直線的方程式為 x ＝ a 垂直線 因為這類的方程式不能寫成 y ＝ mx ＋ b 的形式，所以垂直線的斜率是沒有定義的，如圖 2.32 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-22

斜率的使用 第二章　函數、圖形與極限 P.2-22 圖2.32

描繪下列線性方程式的圖形。 a. y = 2x + 1 b. y = 2 c. x + y = 2 範例 1 描繪線性方程式的圖形 範例 1　描繪線性方程式的圖形 描繪下列線性方程式的圖形。 a. y = 2x + 1 b. y = 2 c. x + y = 2 第二章　函數、圖形與極限 P.2-22

範例 1　描繪線性方程式的圖形 （解） a. 因為 b ＝ 1，所以 y 截距為 (0, 1)。此外，因為斜率 m ＝ 2，所以直線每往右移動 1 個單位就會上升 2 單位，如圖 2.33(a) 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-22

範例 1　描繪線性方程式的圖形 （解） b. 將方程式寫成 y ＝ (0)x ＋ 2，可得 y 截距為 (0, 2) 以及斜率為 0。零斜率意味著直線是水平的，也就是不會上升或下降，如圖2.33(b) 所示。 P.2-22

可得 y 截距為 (0, 2)。此外，因為斜率是 m ＝ －1，所以直線每往右移動 1 個單位就會下降一單位，如圖 2.33(c) 所示。 範例 1　描繪線性方程式的圖形 （解） c. 將方程式寫成斜截式。 x + y = 2 寫出原方程式 y = －x + 2 兩邊減 x y = (－1)x + 2 寫成斜截式 可得 y 截距為 (0, 2)。此外，因為斜率是 m ＝ －1，所以直線每往右移動 1 個單位就會下降一單位，如圖 2.33(c) 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-22

範例 1　描繪線性方程式的圖形 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-22 圖2.33

範例 1　描繪線性方程式的圖形 （解） 在實際生活問題中，斜率可解釋為比例或比率。當 x 軸和 y軸的單位相同時，則斜率沒有單位而只是一個比例 (ratio)。當 x軸和 y 軸的單位不同時，則斜率表示比率 (rate) 或變化率 (rate of change)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23

檢查站 1 描繪下列線性方程式的圖形。 a. y ＝ 4x － 2 b. x ＝ 1 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23

範例 2 ： 決策－斜率視為比例的應用 輪椅坡道的建議最大斜率是  0.083。一家公司安裝一個輪椅坡道，其水平長度為 24 呎以及高度為 22 吋，如圖 2.34 所示。此坡道是否比建議的更陡峭？(資料來源：《美國障礙法案手冊》) 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23 圖2.34

坡道的水平長度為 24 呎或者為 12(24) ＝ 288 吋，所以坡道的斜率是 範例 2　斜率視為比例的應用 （解） 坡道的水平長度為 24 呎或者為 12(24) ＝ 288 吋，所以坡道的斜率是 所以此坡道並沒有比建議的陡峭。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23

如果範例 2 的坡道在水平的長度為 26 呎時升高到 27 吋，是否比建議的坡道陡峭？ 檢查站 2 如果範例 2 的坡道在水平的長度為 26 呎時升高到 27 吋，是否比建議的坡道陡峭？ 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23

一家製造公司確定生產 x 單位產品的總成本是 C ＝ 25x ＋ 3500，對此方程式的直線，說明 y 截距和斜率的實際意義。 範例 3　斜率做為變化率的應用 一家製造公司確定生產 x 單位產品的總成本是 C ＝ 25x ＋ 3500，對此方程式的直線，說明 y 截距和斜率的實際意義。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23

範例 3　斜率做為變化率的應用 （解） y 截距 (0, 3500) 表示生產零單位的成本為 $3500。此為生產的固定成本 (fixed cost，不管生產多少單位都必須支付此成本)，斜率m ＝ 25 表示每生產一單位的成本是 $25，如圖 2.35 所示。經濟學家將每一單位的成本稱為邊際成本 (marginal cost)，如果生產增加一單位，則「邊際」或額外的成本是 $25。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23

範例 3　斜率做為變化率的應用 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23 圖2.35

一家小公司購買一部影印機且在 t 年後的價值為 V ＝ －175t ＋ 875，對此方程式的直線，說明 y 截距和斜率的實際意義。 檢查站 3 一家小公司購買一部影印機且在 t 年後的價值為 V ＝ －175t ＋ 875，對此方程式的直線，說明 y 截距和斜率的實際意義。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-23

直線的斜率 已知一個非垂直線的方程式，可將方程式寫成斜截式而求出斜率。如果沒有已知方程式，還是可求出斜率。例如，假設要求得經過點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之直線的斜率，如圖 2.36 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-24

直線的斜率 第二章　函數、圖形與極限 P.2-24 圖2.36

直線的斜率 沿著直線由左往右移動時，在垂直方向有 (y2 － y1) 單位的變化量相當於在水平方向有 (x2 － x1) 單位的變化量，這兩種變化量以下列符號表示。 Δy ＝ y2 － y1 ＝ y 的變化量 以及 Δx ＝ x2 － x1 ＝ x 的變化量 (符號 Δ 是希臘文 delta 的大寫字母，符號 Δy 和 Δx 唸成“delta y”和“delta x”。) 第二章　函數、圖形與極限 P.2-24

直線的斜率 Δy 和 Δx 的比值為經過 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之直線的斜率。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-24

直線的斜率 第二章　函數、圖形與極限 P.2-24

直線的斜率 用這個公式求斜率時，減法運算的順序是很重要的。已知直線上的兩點，可任意令其中一點為 (x1, y1)，而另外一點為 (x2, y2)。一旦設定，分子和分母相減的運算順序要一致。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-24

直線的斜率 例如，經過點 (3, 4) 和 (5, 7) 之直線的斜率算法為 或 第二章　函數、圖形與極限 P.2-24

求經過下列每一對點的直線斜率。 a. (－2, 0) 和 (3, 1) b. (－1, 2) 和 (2, 2) 範例 4　求直線的斜率 求經過下列每一對點的直線斜率。 a. (－2, 0) 和 (3, 1) b. (－1, 2) 和 (2, 2) c. (0, 4) 和 (1, －1) d. (3, 4) 和 (3, 1) 第二章　函數、圖形與極限 P.2-25

a. 令 (x1, y1) ＝ (－2, 0) 和 (x2, y2) ＝ (3, 1) ，則可得斜率為 範例 4　求直線的斜率 （解） a. 令 (x1, y1) ＝ (－2, 0) 和 (x2, y2) ＝ (3, 1) ，則可得斜率為 如圖 2.37(a) 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-25

範例 4　求直線的斜率 （解） b. 經過 (－1, 2) 和 (2, 2) 的直線斜率是 第二章　函數、圖形與極限 P.2-25

範例 4　求直線的斜率 （解） c. 經過 (0, 4) 和 (1, －1) 的直線斜率是 第二章　函數、圖形與極限 P.2-25

d. 經過 (3, 4) 和 (3, 1) 的垂直線斜率是無定義的，因為除以 0 是沒有意義 (參考 圖 2.37(d))。 範例 4　求直線的斜率 （解） d. 經過 (3, 4) 和 (3, 1) 的垂直線斜率是無定義的，因為除以 0 是沒有意義 (參考 圖 2.37(d))。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-25 圖2.37

範例 4(b) 的直線是一條水平線，求此直線方程式。範例4(d) 的直線是一條垂直線，求此直線方程式。 探索 範例 4(b) 的直線是一條水平線，求此直線方程式。範例4(d) 的直線是一條垂直線，求此直線方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-25

求經過下列每一對點的直線斜率。 a. (－3, 2) 和 (5, 18) b. (－2, 1) 和 (－4, 2) 檢查站 4 第二章　函數、圖形與極限 P.2-25

直線方程式的形式 如果 (x1, y1) 是斜率為 m 的非垂直線上的一個點，以及 (x, y) 是直線上的任意其他點，則 這個含變數 x 和 y 的方程式可寫成 y － y1 ＝ m (x － x1) 的形式，稱為直線方程式的點斜式 (point-slope form)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26

直線方程式的形式 求非垂直線的方程式時，點斜式最好用，應該熟記此方程式以便今後隨時使用。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26

範例 5　用點斜式 求斜率為 3 且經過點 (1, －2) 的直線方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26

用點斜式，已知 m ＝ 3 以及 (x1, y1) ＝ (1, －2)。 y － y1 = m(x － x1) 點斜式 範例 5　用點斜式 （解） 用點斜式，已知 m ＝ 3 以及 (x1, y1) ＝ (1, －2)。 y － y1 = m(x － x1) 點斜式 y － (－2) = 3(x － 1) 代入 m、x1 和 y1 的值 y + 2 = 3x － 3 化簡 y = 3x － 5 寫成斜截式 此直線方程式的斜截式是 y ＝ 3x － 5，其圖形如圖 2.38 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26

範例 5　用點斜式 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26 圖2.38

檢查站 5 求斜率為 2 且經過點 (－1, 2) 的直線方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26

直線方程式的形式 點斜式可用來求經過點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直線方程式，首先求此直線的斜率 然後用點斜式可得方程式 也稱為此直線方程式的兩點式 (two-point form)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26

學習提示 一條直線的兩點式與斜截式相似，以兩點式 表示的直線之斜率為何？ 第二章　函數、圖形與極限 P.2-26

範例 6　預測每股股價 Ruby Tuesday 公司每股股價在 2004 年是 $2.51，而 2005 年是$2.65。用這些資料，寫出以年為變數表示每股股價的線性方程式，然後預測 2006 年的每股股價。(資料來源：Ruby Tuesday 公司) 第二章　函數、圖形與極限 P.2-27

令 t ＝ 4 表示 2004 年，則兩筆已知的數值用點 (4, 2.51) 和(5, 2.65) 來表示，經過這兩點之直線的斜率為 範例 6　預測每股股價 （解） 令 t ＝ 4 表示 2004 年，則兩筆已知的數值用點 (4, 2.51) 和(5, 2.65) 來表示，經過這兩點之直線的斜率為 用點斜式，可求得表示股價 y 與年 t 關係的方程式是 y ＝ 0.14t ＋ 1.95。根據此方程式，在 2006 年的每股股價是 $2.79，如圖 2.39 所示 (這個實例中的預測相當準確，在 2006 年的實際股價是 $2.96)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-27

範例 6　預測每股股價 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-27 圖2.39

檢查站 6 Energizer Holdings 公司每股股價在 2004 年是 $5.22，在 2005 年是$6.01，將每一股的股價寫成以年為變數的線性方程式，令 t ＝ 4 表示 2004 年，然後預測 2006 年的每股股價。(資料來源：Energizer Hordings公司) 第二章　函數、圖形與極限 P.2-27

直線方程式的形式 在範例 6 中所提的預測方法稱為線性外插法 (linear extrapolation)。注意，在圖 2.40(a) 中外插點並不在給定兩點之間。當估計的點位於兩個給定點之間，如圖 2.40(b) 所示，這種方法稱為線性內插法 (linear interpolation)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-27

直線方程式的形式 因為垂直線的斜率沒有定義，它的方程式不能寫成斜截式。然而，每一條直線的方程式都可寫成一般式 (general form)，即 其中 A 和 B 不能同時為 0。例如，垂直線 x ＝ a 可用一般式x － a＝ 0 來表示。下列為五個常用的直線方程式的形式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-27

直線方程式的形式 第二章　函數、圖形與極限 P.2-27

平行線和相互垂直線 斜率可用來判定兩條非垂直線是否平行、垂直，或者都不是。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-28

求經過點 (2, －1) 以及 a. 與直線 2x － 3y ＝ 5 平行的直線方程式。 範例 7　求平行線和相互垂直線 求經過點 (2, －1) 以及 a. 與直線 2x － 3y ＝ 5 平行的直線方程式。 b. 與直線 2x － 3y ＝ 5 垂直的直線方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-28

將已知的直線方程式寫成斜截式，即 由此可得所求的直線斜率為 ，如圖 2.41 所示。 範例 7 求平行線和相互垂直線 （解） 範例 7　求平行線和相互垂直線 （解） 將已知的直線方程式寫成斜截式，即 由此可得所求的直線斜率為 ，如圖 2.41 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-28

a. 與已知之直線平行的直線，其斜率必定是 。所以經過 (2, －1)而與已知之直線平行的直線方程式為 範例 7　求平行線和相互垂直線 （解） a. 與已知之直線平行的直線，其斜率必定是 。所以經過 (2, －1)而與已知之直線平行的直線方程式為 第二章　函數、圖形與極限 P.2-28

b.與已知之直線垂直的直線，其斜率必為 。所以經過 (2, －1) 且與已知之直線垂直的直線方程式為 範例 7　求平行線和相互垂直線 （解） b.與已知之直線垂直的直線，其斜率必為 。所以經過 (2, －1) 且與已知之直線垂直的直線方程式為 第二章　函數、圖形與極限 P.2-28

範例 7　求平行線和相互垂直線 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-28 圖2.41

求經過點 (2, 1) 以及 a. 與直線 2x － 4y ＝ 5 平行的直線方程式。 檢查站 7 求經過點 (2, 1) 以及 a. 與直線 2x － 4y ＝ 5 平行的直線方程式。 b. 與直線 2x － 4y ＝ 5 垂直的直線方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-28

延伸應用：線性折舊 大部分的營業費用在當年度都可扣除。有一種例外就是使用壽命超過一年的資產的費用，如建築物、汽車或設備。這樣的費用在資產使用壽命期間會折舊 (depreciated)。如果每一年的折舊金額一樣，這個程序稱為線性折舊 (linear depreciation) 或直線折舊(straight-line depreciation)。帳面價值就是原價扣掉迄今的折舊總額的差額。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-29

公司花 $12,000 購買一部使用壽命 8 年的機器。經過 8 年後殘餘價值為 $2000。寫出描述這部機器每一年的帳面價值的線性方程式。 範例 8　設備的折舊 公司花 $12,000 購買一部使用壽命 8 年的機器。經過 8 年後殘餘價值為 $2000。寫出描述這部機器每一年的帳面價值的線性方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-29

它表示每一年的折舊金額。用點斜式來寫出直線方程式如下所示。 V － 12,000 = －1250 (t － 0) 點斜式 範例 8　設備的折舊 （解） V 表示 t 年後機器的價值。可用有序對 (0, 12,000) 表示機器最初的價值以及有序對 (8, 2000) 表示殘餘價值。則直線的斜率為 它表示每一年的折舊金額。用點斜式來寫出直線方程式如下所示。 V － 12,000 = －1250 (t － 0) 點斜式 V = －1250t + 12,000 斜截式 第二章　函數、圖形與極限 P.2-29

範例 8　設備的折舊 （解） 下表所示為每一年的帳面價值： 方程式的圖形如圖 2.42 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-29

範例 8　設備的折舊 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-29 圖2.42

如果 8 年後殘餘價值為 $1000，寫出表示範例 8 中的機器線性方程式。 檢查站 8 如果 8 年後殘餘價值為 $1000，寫出表示範例 8 中的機器線性方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-29