第四章 布林代數及第摩根定理 4-1 布林代數之特質 4-2 布林代數之基本運算 4-3 布林代數之假設 4-4 布林代數之基本定理 第四章 布林代數及第摩根定理 4-1　布林代數之特質 4-2　布林代數之基本運算 4-3　布林代數之假設 4-4　布林代數之基本定理 4-5　邏輯閘的結合性 4-6　布林函數的模範式與標準式 4-7　布林函數的輸出真值表與電路 4-8　第摩根定理 4-9　邏輯閘之互換

布林代數之特質 基本的布林代數包含了二元性變數及邏輯運算兩項，如下所示： Y = A + B ▼ 表4-1 圖4-1的真值表 A B Y 1 ▼ 表4-1 圖4-1的真值表 A B Y 1 ▲ 圖4-1 並聯電路

布林代數之基本運算 布林代數的加法運算（+）： 布林代數的乘法運算（ ）： 布林代數的補數運算（ ）：

布林代數之假設 ▼ 表4-2 布林代數的假設 假設1 (a) "+"具有封閉性 (b) "．"具有封閉性 假設2 (a) X + 0 = X ▼ 表4-2 布林代數的假設 假設1 (a) "+"具有封閉性 (b) "．"具有封閉性 假設2 (a) X + 0 = X (b) 假設3 (a) X + Y = Y + X (b) 　　　　　　交換律 假設4 (a) (b) 　　　　　　　　　　　 分配律 假設5

布林代數的基本定理 ▼ 表4-3 布林代數的定理 定理1 單一律 定理2 定理3 自補定理 定理4 結合律 定理5 第摩根定理 定理6 ▼ 表4-3 布林代數的定理 定理1 單一律 定理2 定理3 自補定理 定理4 結合律 定理5 第摩根定理 定理6 消去定理 定理7 定理8 定理9

邏輯閘的結合性 (1) 或閘具有結合性 ▲ 圖4-2 或閘的結合性

邏輯閘的結合性 (2) 及閘具有結合性 ▲ 圖4-3 及閘的結合性

▲ 圖4-4 使用2輸入互斥或閘替代3輸入互斥或閘的接法 邏輯閘的結合性 (3) 互斥或閘具有結合性 ▲ 圖4-4 使用2輸入互斥或閘替代3輸入互斥或閘的接法

▲ 圖4-6 使用2輸入反或閘替代3輸入反或閘的接法 邏輯閘的結合性 (4) 反或閘不具結合性 ▲ 圖4-5 反或閘不具結合性 ▲ 圖4-6 使用2輸入反或閘替代3輸入反或閘的接法

▲ 圖4-8 使用2輸入反及閘替代3輸入反及閘的接法 邏輯閘的結合性 (5) 反及閘不具結合性 ▲ 圖4-7 反及閘不具結合性 ▲ 圖4-8 使用2輸入反及閘替代3輸入反及閘的接法

布林函數名詞的定義及說明 (1) ▼ 表4-4 名詞的定義及說明 名詞 定義 說明（以三個變數X、Y、Z為例） ▼ 表4-4 名詞的定義及說明 名詞 定義 說明（以三個變數X、Y、Z為例） 積項 （product term） 變數以AND運算連接而成 和項 （sum term） 變數以OR運算連接而成 標準積項 （standard product term） 積項中包含所有的變數。一函數若有n個變數，會有2n個標準積項 3個變數共有23 = 8個最小項，分別為： 標準和項 （standard sum term） 和項中包含所有的變數。一函數若有n個變數，會有2n個標準和項

布林函數名詞的定義及說明 (2) ▼ 表4-4 名詞的定義及說明 名詞 定義 說明（以三個變數X、Y、Z為例） ▼ 表4-4 名詞的定義及說明 名詞 定義 說明（以三個變數X、Y、Z為例） 積項之和 （Sum Of Product，簡記SOP） 若干個積項以OR運算連接而成 和項之積 （Product Of Sum，簡記POS） 若干個和項以AND運算連接而成 標準積項之和 （Standard Sum Of Product， 簡記SSOP） 若干個標準積項以OR運算連接而成 標準和項之積 （Standard Product Of Sum， 簡記SPOS） 若干個標準和項以AND運算連接而成

▼ 表4-5 最小項與最大項之對照表（以三個變數X、Y、Z為例） 標準積項（最小項）與標準和項（最大項） ▼ 表4-5 最小項與最大項之對照表（以三個變數X、Y、Z為例） 十進位數 X Y Z 最小項 最大項 1 2 3 4 5 6 7

模範式與標準式的定義 標準式： 一布林函數中的每一項均為標準積項（最小項）或標準和項（最大項），則稱該函數為標準式。 模範式： 一布林函數中的任一項缺少了某個變數，則稱該函數為模範式。

模範式化為標準積項之和 檢查模範式之各項是否均為積項，若否，則須利用分配律將各項化為積項。 檢查各項是否均為最小項，若否，則須乘入該項所缺之變數及其補數的和。

模範式化為標準和項之積 檢查模範式之各項是否均為和項，若否，則須利用分配律將各項化為和項。 檢查各項是否均為最大項，若否，則須加入該項所缺之變數及其補數的積。

由真值表列出布林函數的標準式 列為SSOP型式：將真值表中函數值為1的各項以最小項表示，再將這些最小項OR（和）起來。可用　　 表示，括號中填入之數字為最小項的項號。 列為SPOS型式：將真值表中函數值為0的各項以最大項表示，再將這些最大項AND（相乘）起來。可用　　 表示，括號中填入之數字為最大項的項號。

SSOP與SPOS的互換 符號互換，並將括號內的數字換成原式所缺少的項號即可。

2個變數的第摩根第一定理 ▼ 表4-11 　　　與　　 的真值表 A B 1

2個變數的第摩根第二定理 ▼ 表4-12　　　與　　 的真值表 A B 1

第摩根定理的電路互換 ▲ 圖4-13 第摩根第一定理的電路互換 ▲ 圖4-14 第摩根第二定理的電路互換

3個變數的第摩根第一定理 ▼ 表4-13 　　　　 與　　　 的真值表 X Y Z 1

3個變數的第摩根第二定理 ▼ 表4-14 　　　　與　　　　 的真值表 X Y Z 1

第摩根定理的應用 求布林函數的補函數。 證明組合邏輯中SSOP電路與SPOS電路的等值關係。