波函數代表一個粒子的狀態。 Δk Δx 那如何預測對這個狀態的物理量的測量？
一個粒子處於完全相同的狀態下，某些物理測量的結果卻不是每次測量都相同，粒子的狀態確定，但測量結果卻並不確定。 Δk Δx 波包的波強度的分布是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。 動量（波長）的分布也是高斯分布，寬度即是動量不準度。 那麼對此波包，其他物理量的測量，例如角動量，結果又是如何？
物理量測量的一般理論 對單一電子的物理量，我們可以計算預測的是多次測量後的平均值：期望值-Expectation Value
重複的物理實驗測量的期望值！ 位置的期望值 (平均值） 位置函數（比如位能）的期望值 (平均值） 那麼動量的期望值怎麼算？
那麼動量的期望值怎麼算？ ？ 波函數不認得 p！ 以正弦波為例： 這個式子對一般的波也對，畢竟一般的波可以寫成正弦波的疊加！
正弦波的疊加！ p-eye 波函數 是測量得到粒子動量為的機率密度
動量的函數（比如動能）的期望值 例如
以上的對應提供一個處方來計算其他物理量測量的期望值 所有古典物理量都可以寫成位置與動量的多項式函數： 因此，何不….. 角動量 一個古典物理的數字物理量在量子力學中對應於一個作用在波函數上的運算動作！
量子力學的原則 算子 Operaor 一個古典物理的數字物理量在量子力學中對應於一個作用在波函數上的運算動作！ 這些運算動作將代表狀態的波函數映射到另一個波函數！ 而這個物理量測量的期望值可以計算： 算子 Operaor
算子與數最大的不同就是算子沒有交換性： 海森堡的矩陣力學得到一樣結果 可以證明矩陣是算子的一個特例！
兩個物理量能否同時精確測量，由它們是否可交換決定！ 電子的動量與位置不能同時測準！ 這兩物理量不能同時測量。 這兩物理量能同時測量。
量子世界的兩類物理實體 狀態 波函數 測量 算子 測量期望值 古典世界中以上兩類物理實體是合而為一 粒子的狀態可由可測量物理量惟一地標定 狀態 由狀態決定粒子未來的測量結果。 數值（函數） 測量
狀態 波函數 起始的波函數 未來的波函數 測量 算子 測量期望值
因此我們可以以分解後各個弦波的分量來描述任何一個波 因此一個電子波的狀態可以以一個列來表示：
那麼原子中一個電子波的狀態也可以以一個列來表示： ai 就是該電子處於第 i 個能階的成分 基態 第二激態 基態與第二激態的疊加
狀態 物理量 改變狀態的動作 這成為量子物理思索問題，描述世界的數學模式！ 電子的狀態是不是一個波，都不影響這個數學架構！
物理量的期望值等於代表狀態的列向量乘上代表物理量的矩陣再乘上列向量的轉置。
測量結果確定的狀態 測量並非永遠都是不確定。 對於自由粒子，動量是確定的（因為守恆）（但位置測量不確定）： 動量算子作用於自由粒子波函數，效果和乘上一個數 hk 相同： 作用於測量結果確定的狀態，算子的效果與數一樣，此數就是確定的測量結果。
那些物理量是確定的？ 確定的物理量 O 算子化為數 作用於測量結果確定的狀態，算子的效果與數一樣，數 o 就是確定的測量結果。 測量一個物理量時的不確定性是由測量結果的標準差或稱統計漲落來描述 ：
本徵函數Eigenfunction 本徵值Eigenvalue 動量的本徵函數 波狀的態，動量完全確定 位置的本徵函數 x 粒子狀的態，位置完全確定
能量的本徵態 能量算子： 能量的本徵態對應到固定能量解， 也就是穩定解，能量測量無不確定性！
能量的本徵態 能量算子： 與時間無關的薛丁格方程式
角動量的測量 Lx 、Ly 、Lz無法同時測量 這一個向量的分量竟然無法同時測量！ 只有L2 、Lz可同時測量
只有L2 、Lz可同時測量 角動量的量子化 而測量的結果（本徵值）是量子化的！ l 是自然數 這個性質對任何角動量守恆的系統都對！ 無需條件，任何角動量都是量子化的！
氫原子中電子波函數的角動量量子化 為角動量大小及z方向角動量的本徵態 本徴值 氫原子核對電子不作力矩，故電子的角動量守恒 能量的本徵態也會是角動量的本徵態
Quantum Wonderland
一個波包在撞擊位階後會分裂為一個透射的波包與一個反射的波包。
這是電子在散射後的狀態！ 這個狀態是由兩個波包疊加而成。 組成的波包是彼此不重疊的！
電子狀態是可以疊加的！ 一個波函數可以由兩個古典情況下彼此互不相容的波函數疊加而成 到達屏幕的一顆電子的狀態，就是通過狹縫1及狹縫2的電子狀態的疊加！ 電子的波性，就只在於電子的狀態滿足”波”也滿足的疊加定律。
或許在微觀下疊加態不是很怪，但如果是巨觀的物件：
若不去觀察，放射性物質的狀態會演化為已衰變的狀態與未衰變狀態的疊加 若衰變，會導致貓的死亡！因此…….
這是貓的狀態！
垂直豎立的卡，因測不準原理，一定無法保持垂直。 若未觀察，他一段時間後的狀態，會是向右倒的狀態與向左倒的狀態的疊加，兩者是不相容的。
觀察時，疊加狀態會崩潰（躍遷）為確切倒向的一個狀態
疊加態有時又被稱為 Entangled States 糾葛態 討論電子的球狀散射時，都忽略了散射源的狀態！ 如果散射源也是波所描述的量子態，散射後它也會是一個球殼波， 但因動量守恆，兩個球殼波其實非常糾葛！
觀察電子 May 5 May 6 觀察電子的散射方向，根據動量守恆，我可以知道散射源的反彈方向！ 可是要記得在散射後觀察前，電子是沒有特定散射方向（球狀波！） 所以在散射後觀察前，散射源也沒有特定的反彈方向！ 觀察電子時，電子已經離開很遠了！
如此糾葛，分手十年後，還有心電感應！
糾葛的態 一個角動量為零的狀態是兩個態的疊加 將兩個粒子分開，測量其中一個的自旋！ 若測得自旋向上，遙遠的另一個自旋必向下， 若測得自旋向下，遙遠的另一個自旋必向上， 此測量似乎會影響到遙遠物體的狀態！ Quantum Non-Locality