第6章 機率分配

第一節　隨機變數 隨機變數(random variable)的定義為： 換言之，隨機變數是以樣本空間為定義域的實數值函數。

第一節 隨機變數 1.樣本點 例如投2顆骰子的36種組合，包含：(1, 1), (1, 2), (2, 1), …, (6, 6) 等。 第一節　隨機變數 1.樣本點 例如投2顆骰子的36種組合，包含：(1, 1), (1, 2), (2, 1), …, (6, 6) 等。 2.函數（或轉換法則） 令X=Y+Z，即X是樣本點組成元素（Y和Z）的函數，或稱Y和 Z經由轉換法則而形成X變數。 3.函數值 每一樣本點通過函數關係式而變成具體數值，如樣本點(1, 2) 變成X=3，樣本點(3, 4)變成X=7等。

第一節 隨機變數 間斷型隨機變數與連續型隨機變數 1.間斷型隨機變數 第一節　隨機變數 間斷型隨機變數與連續型隨機變數 1.間斷型隨機變數 表示其變數的數值是可計數的(countable)間斷型數值，如硬 幣出現正面數、車禍次數、投票人數。 2.連續型隨機變數 表示其變數的數值是可測量的(measurable)連續型數值，如 身高、體重、時間長度等。

第二節　機率分配 間斷型機率分配 對於間斷型隨機變數X，透過機率函數或公式法則，一一計算 其機率值f(xi)，則形成間斷型機率分配。間斷型機率分配可以 利用表列、圖示或函數公式等方式來表示。一般以大寫英文 字母X、Y、Z表示隨機變數，小寫字母x、y、z表示隨機變量， 以f(x)、f(y)、f(z)等表示機率值。

第二節　機率分配 請計算投擲兩枚硬幣出現正面的隨機變數及其對應機率值，並繪 製成圖、表。 令出現正面的次數為X，而f(xi)為對應機率值：

第二節　機率分配 用圖示來表示機率分配，一般常用者為線圖與直方圖兩種。 線圖的縱軸代表機率大小，所以每條線長度即為其機率值。 機率分配直方圖相當於相對次數（百分比）直方圖（參看單 元2-44），以長方形面積表示機率大小，所以長方形面積總 和等於1。 圖6-1　線　圖 圖6-2　機率直方圖

第二節　機率分配 機率函數在數學上的定義為：

第二節 機率分配 二項函數 二項函數為間斷機率函數之一種，其成立條件如下： (1)一實驗含有多次相互獨立的試行。 第二節　機率分配 二項函數 二項函數為間斷機率函數之一種，其成立條件如下： (1)一實驗含有多次相互獨立的試行。 (2)每次試行只有成功和失敗兩種（預期發生為成功，反之為 失敗）。 (3)成功的機率為p，失敗的機率為1-p，各次試行時，機率值p 固定不變。

第二節 機率分配 累積機率分配 累積機率分配以F(xc)符號表示，是指自隨機變數X最小可能值 的機率，一直累加到值的機率為止，即： 第二節　機率分配 累積機率分配 累積機率分配以F(xc)符號表示，是指自隨機變數X最小可能值 的機率，一直累加到值的機率為止，即： 注意：F(x)和f(x)是不相同的。

第二節　機率分配 連續機率分配的性質 由於連續隨機變數的可能值為無限個，且為不可數，因此不 同於間斷型隨機變數，可以一一列出其可能值及計算對應的 機率。事實上，因它包含無限多個可能值，且每個值在數線 上的落點是緊密相靠（因連續數值之故），而其機率分配是 以可能值在數線上區間的機率大小來描述的。切記：一條連 續變數值的數線上任一點的機率值為0，公式表達如下：

第二節　機率分配 連續機率分配曲線 在數學上，若X為一連續隨機變數，則其機率曲線的高度以f(x) 函數式表示，所以要求X在某一區間(a～b)的面積，須以積分 來運算，即：

第二節 機率分配 期望值的形成原理 當投擲骰子的次數n增大至無限多次時，依相對次數機率測度法得 知： 第二節　機率分配 期望值的形成原理 當投擲骰子的次數n增大至無限多次時，依相對次數機率測度法得 知： 所以當n增大至無限大，可以用機率代替相對次數來計算其平均數， 我們稱之為期望值，寫作E(X)，其公式為：

第二節　機率分配 比較平均數和期望值： (1)平均數和期望值兩者的公式結構有些相類似，前者基於 次數分配，後者基於機率分配，均可表示其集中趨勢的分 配位置。 (2)當抽樣的樣本個數n不大，可應用 求得樣 本平均數；當n很大時，則應用 求得的平均數， 就等於母數 ，也表示等於期望值E(X)。所以結論為，在大 樣本時， 和E(X)兩者可以交替使用。

第二節　機率分配 期望值的定義

第二節　機率分配 若隨機變數X的函數為g(X)，那麼g(X)的期望值為何？

第二節　機率分配 依期望值定義得知： 獲得間斷型隨機變數X函數的期望值定義：

第四節 機率分配的變異數及標準差 機率分配變異數的定義為： 第四節　機率分配的變異數及標準差 機率分配變異數的定義為： 隨機變數X的標準差，是變異數Var(X)或 的平方根（取正 號），記作Sd(X)或 。

第四節 機率分配的變異數及標準差 期望值與變異數的運算法則 1.關於期望值的運算法則 第四節　機率分配的變異數及標準差 期望值與變異數的運算法則 1.關於期望值的運算法則 (1)已知隨機變數X之2個或2個以上函數之和，則這個和的期 望值是這些函數值的個別期望值之和。 (2)若b為常數，則： 常數的期望值仍為原來的常數。

第四節 機率分配的變異數及標準差 (3)若a為常數，則： 隨機變數乘上a倍之後，新的隨機變數之期望值為 原來變數期望值的a倍。 第四節　機率分配的變異數及標準差 (3)若a為常數，則： 隨機變數乘上a倍之後，新的隨機變數之期望值為 原來變數期望值的a倍。 (4)若a和b均為常數，則：

第四節 機率分配的變異數及標準差 2.關於變異數的運算法則 (1)若b為常數，則： 常數的變異數為0。 (2)若a為常數，則： 第四節　機率分配的變異數及標準差 2.關於變異數的運算法則 (1)若b為常數，則： 常數的變異數為0。 (2)若a為常數，則： 隨機變數X乘上a倍之後，新的變異數為原來變異 數的a2倍。

第四節 機率分配的變異數及標準差 (3)若a、b為常數，則： 3.若X和Y為兩隨機變數 (1)E(X+Y)=E(X)+E(Y) 第四節　機率分配的變異數及標準差 (3)若a、b為常數，則： 3.若X和Y為兩隨機變數 (1)E(X+Y)=E(X)+E(Y) (2)E(X-Y)=E(X)-E(Y) (3)E(aX-bY)=aE(X)-bE(Y) (4)若X1,X2 ,…,X3 為n個隨機變數，則：

第四節 機率分配的變異數及標準差 4.若X和Y兩隨機變數互相獨立，則： (1)E(XY)=E(X)E(Y) 第四節　機率分配的變異數及標準差 4.若X和Y兩隨機變數互相獨立，則： (1)E(XY)=E(X)E(Y) (2)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)　 (3)Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y) (4)若X1,X2 ,…,X3為任意互相獨立的隨機變數，則：

第五節 標準化 隨機變數X的標準化(standardization) 在單元4-40中曾提到標準分數，請回想標準化的公式： 第五節　標準化 隨機變數X的標準化(standardization) 在單元4-40中曾提到標準分數，請回想標準化的公式： 隨機變數X的標準化過程及性質，與變數的標準化是一樣的，其公 式為：