第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 多维随机变量及其联合分布 §3.2 边际分布与随机变量的独立性 §3.3 多维随机变量函数的分布 §3.4 多维随机变量的特征数 §3.5 条件分布与条件期望

§3.1 多维随机变量及其联合分布 3.1.1 多维随机变量 定义3.1.1 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量). §3.1 多维随机变量及其联合分布 3.1.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).

(以下仅讨论两维随机变量) 3.1.2 联合分布函数 注意： 定义3.1.2 任对实数 x 和 y, 称 3.1.2 联合分布函数 定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量) 任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X  x, Y  y) 为(X, Y) 的联合分布函数. 注意： F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.

Y y (x, y) X x

联合分布函数的基本性质 (1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增. (单调性) (2) 0  F(x, y)  1，且 (有界性) F(, y) = F(x, ) =0， F(+, +) = 1. (3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性) (4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d)  F(b, c)  F(a, d) + F(a, c)  0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).

3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量 若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.

二维离散分布的联合分布列 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., 称 为(X,Y) 的联合分布列， 其表格形式如下: Y y1 y2 … yj … X x1 x2 … xi p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … pi j … … … … … …

联合分布列的基本性质 (1) pij  0, i, j = 1, 2,… (非负性) (2)  pij = 1. (正则性)

确定联合分布列的方法 (1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.

例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列. 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 其对应的概率分别为： P(X=0, Y=4)= 0.54=1/16 P(X=1, Y=3)= =1/4 P(X=2, Y=2)= =6/16 P(X=3, Y=1)= =1/4 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16

列表为： Y 0 1 2 3 4 X 1 2 3 4 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0

解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下： 例3.1.2 设随机变量 Y ~ N(0, 1), 求 的联合分布列. 解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下： P(X1=0, X2=0) = P(|Y|≥1, |Y|≥2) = P(|Y|≥2) = 2 2Φ(2) = 0.0455 P(X1=0, X2=1) = P(|Y|≥1, |Y|<2) = P(1≤|Y|<2) = 2[Φ(2)  Φ(1)] = 0.2719 P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0 P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2) = P(|Y|<1) = 0.6826

列表为： X2 0 1 X1 1 0.0455 0.2719 0 0.6826

课堂练习 设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.

3.1.4 联合密度函数 设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得 3.1.4 联合密度函数 设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得 则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。 注：在F(x, y)偏导数存在的点上，有

联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y)  0. (非负性) (2) (正则性) 注意： 若G为平面上的任一个区域，则有

例 3.1.3 设 (X, Y) 的联合密度函数为： 试求： (1) A的值；

3.1.5 常用多维分布 若每次试验有r 种结果：A1, A2, ……, Ar 一、多项分布 3.1.5 常用多维分布 一、多项分布 若每次试验有r 种结果：A1, A2, ……, Ar 记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r 记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：

二、多维超几何分布 口袋中有 N 只球，分成 r 类 。 第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+……+Nr = N. 从中任取 n 只， 记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：

例 3. 1. 4 一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件 例 3.1.4 一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件. 从这批产品中取3件，记 X 和 Y 为取出的一、二等品的件数，在下面两种情形下求 (X, Y) 的联合分布律: (1) 有放回； (2) 不放回.

三、二维均匀分布 若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为： 其中SD为D的面积. 则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布， 记为 (X, Y)  U (D) .

四、二维正态分布 若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为： 则称 (X, Y) 服从二维正态分布， 记为 (X, Y)  N ( ) .

例3.1.5 若 (X, Y) ～ 试求 P{(X, Y)D}, 其中D为 {(x, y):2x+3y≤6}.

解: x y 2x+3y=6 2 3

§3.2 边际分布与随机变量的独立性 二维随机变量 (X, Y) 的联合分布函数(或者联合分布列或联合密度函数) 包含(X, Y) 所有的概率特征(信息)，包括 每个分量的分布； 两个分量间的关系。 问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？

3.2.1 边际分布函数 则 X  FX (x) = F(x, +), Y  FY (y) = F(+ , y). 3.2.1 边际分布函数 巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则 X  FX (x) = F(x, +), Y  FY (y) = F(+ , y).

例3.2.1 已知 (X, Y) 的联合分布函数为 称为二维指数分布，其中参数λ>0. 求两个边缘分布函数.

3.2.2 边际分布列 则 巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij， X 的分布列为： Y 的分布列为：

Y X

例3.2.2 已知 (X, Y) 的联合分布列为 Y 1 2 3 X 1 0.09 0.21 0.24 0.07 0.12 0.27 求X与 Y 的边际分布列.

3.2.3 边际密度函数 巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)， 则 X 的密度函数为 ： Y 的密度函数为 ：

例3.2.3 已知 (X, Y) 的联合密度函数为 试求：

注 意 点 (1) 由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.

注 意 点 (2) 则 X  N ( )， Y  N ( ). 多项分布的一维边际分布是二项分布. 二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y)  N ( )， 则 X  N ( )， Y  N ( ). 二维均匀分布的边际分布未必是一维均匀分布.

例3.2.4 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布，求X 的边际密度p(x). 解: 由题意得 x y 当|x|>1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0 -1 1 当|x|≤1时, 不是均匀分布

例3.2.5 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为 y=x 求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1} 1/2 x+y=1

3.2.4 随机变量间的独立性 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj 3.2.4 随机变量间的独立性 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的，

注 意 点 (1) X 与Y是独立的本质是： 任对实数a, b, c, d，有 (2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.

例3.2.6 X 1 Y 0 1 0.2 0.1 问 X与Y 是否独立？ 解: 边际分布列分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 1 Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 (X, Y) 的联合分布列为: 问 X与Y 是否独立？ 解: 边际分布列分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 Y 0 1 P 0.5 0.5 因为 所以不独立

例3.2.7 已知 (X, Y) 的联合密度为 问 X 与Y 是否独立？ 解: 边际分布密度分别为: 注意：p(x, y) 可分离变量. 所以X 与Y 独立。

例3.2.8 已知 (X, Y) 的联合密度为 问 X 与Y 是否独立？

注 意 点 (1) 见前面例子 取值有关系，则 X与Y 不独立. (1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立. 注 意 点 (1) (1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立. (2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立. 见前面例子 (3) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立.

注 意 点 (2) p(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。(习题3.2 16题) 注 意 点 (2) (4) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。(习题3.2 16题) (5) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( ) 则 X与Y 独立的充要条件是  = 0.

§3.3 多维随机变量函数的分布 问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 Z=g (X, Y)的分布？

i) 根据(X1, X2, ……, Xn)的取值情况，列出 3.3.1 多维离散随机变量函数的分布 (1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量. (2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 根据(X1, X2, ……, Xn)的取值情况，列出 Z 所有可能的取值. ii) 对Z的每一个取值，计算对应的概率.

3.3.2 最大值与最小值分布 例3.3.1 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列. 解: X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1 P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 3/4

一般情况 设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x). 若记 Y = max (X1, X2, …… Xn), Z = min (X1, X2, …… Xn) FY (y) = [FX(y)]n 则 Y 的分布函数为: pY(y) = n[FX(y)]n1 pX(y) Y 的密度函数为: FZ(z) = 1[1 FX(z)]n Z 的分布函数为: pZ(z) = n[1 FX(z)]n1 pX(z) Z 的密度函数为:

3.3.3 连续场合的卷积公式 定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为

离散场合的卷积公式 设离散随机变量 X 与 Y 独立， 则 Z=X+ Y 的分布列为

卷积公式的应用 例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变量， 求 Z = X+ Y 的分布. 解： 所以 Z = X+ Y  N(0, 2). 进一步的结论见后

分布的可加性 若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.

二项分布的可加性 若 X  b(n1, p)，Y  b(n2, p)， 且独立， 则 Z = X+ Y  b(n1+n2, p). 注意：若 Xi  b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + …… + Xn  b(n, p).

泊松分布的可加性 若 X  P(1) ，Y  P(2)， 且独立， 则 Z = X+ Y  P(1+2).

正态分布的可加性 X Y  N( ). 若 X  N( )，Y  N( ) ， 且独立， 则 Z = X  Y  N( ). 独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下)

独立正态变量的线性组合仍为正态变量 Xi ~ N(i, i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则

伽玛分布的可加性 若 X  Ga(1, )，Y  Ga(2, ) ， 且独立， 则 Z = X + Y  Ga(1+2,  ). 注意： X Y 不服从 Ga(12,  ).

2 分布的可加性 (2) 若 Xi  N(0, 1)，且独立，则  2( n ). 若 X  2( n1 )，Y  2( n2 ) ， 且独立， 则 Z = X + Y  2( n1+n2). 注意： (1) X Y 不服从 2 分布. (2) 若 Xi  N(0, 1)，且独立，则 Z =  2( n ).

注 意 点 (1) 独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布. (2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.

例3.3.3 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数. 解: 用卷积公式： 被积函数的非零区域为： 0<x<1 且 zx>0 (见下图)

z x 因此有 pZ(z) = 0 ; (1) z < 0 时 pZ(z) = (2) 0 <z < 1 时

3.3.4 变量变换法 已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数 求 (U, V) 的分布.

变量变换法的具体步骤 若 有连续偏导、存在反函数 则 (U, V) 的联合密度为 其中J为变换的雅可比行列式：

增补变量法 若要求 U = g1(X, Y) 的密度 pU(u) ， 可增补一个变量V = g2(X, Y) ， 先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度pUV(u, v)， 然后再由联合密度pUV(u, v)，去求出边际密度pU(u) 用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式

§3.4 多维随机变量的特征数 本节主要给出 X 与 Y 的相关系数

3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则 E(Z) = E[g(X, Y)] =

课堂练习 在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度. 求 E(|XY|)

3.4.2 数学期望与方差的运算性质 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) (性质3.4.1) 3.4.2 数学期望与方差的运算性质 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) (性质3.4.1) 2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y), (性质3.4.2)

讨论 X+Y 的方差 1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2E[XE(X)][YE(Y)] 2. E[XE(X)][YE(Y)] = E(XY)  E(X)E(Y) 3. 当X与Y独立时，E[XE(X)][YE(Y)] = 0. 4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) . 注意：以上命题反之不成立.

例3.4.1 设 X～b(n, p).试求 X的期望和方差. 例3.4.2 设一个袋子中有 m 个颜色各不相同的球，每次从中任取一个，有放回地摸取 n 次. 用 X 表示 n 次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求 EX.

Cov(X, Y) = E[XE(X)][YE(Y)] 3.4.3 协方差 定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = E[XE(X)][YE(Y)] 为 X 与 Y 的协方差.

协方差的性质 (1) Cov(X, Y) = E(XY)  E(X)E(Y). (性质3.4.4) (2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5) (3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y)  2 Cov(X, Y) (性质3.4.6) (4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7) (5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8) (6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9) (7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10)

课堂练习1 X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3， 则 Var(2XY) = ( ). 27

课堂练习2 4 22 X ~ P(2)，Y ~ N(2, 4)， X与Y独立， 则 E( XY) = ( );

配对模型的数学期望和方差 n 个人、n 件礼物，任意取. X 为拿对自已礼物的人数，求 E(X), Var(X) 解：记 “Xi = 1” = “第 i 个人拿对自己的礼物” “Xi = 0” = “第 i 个人未拿对自己的礼物” 则 因为 E(Xi) = 1/n, 所以 E(X) = 1. 又因为

所以先计算 E(XiXj), XiXj的分布列为 XiXj 0 1 P 11/[n(n1)] 1/[n(n1)] 所以 E(XiXj) = 1/[n(n1)], 由此得 又因为

所以

3.4.4 相关系数 定义3.4.2 称 Corr(X, Y) = 为 X 与 Y 的相关系数.

注 意 点 若记 则

相关系数的性质(1) (1) 施瓦茨不等式 { Cov(X, Y) }2  Var(X)Var(Y).

相关系数的性质(2) (2) 1  Corr(X, Y)  1. (性质3.4.11) (3) Corr(X, Y) = 1  X 与 Y 几乎处处有线性关系。 (性质3.4.12) P(Y=aX+b)=1

注 意 点 Corr(X, Y) 的反映了X与Y之间的线性相关性： Corr(X, Y) 等于 0，称 X 与 Y 不相关. 表示X 与 Y 之间没有线性关系.

例3.4.3 设 (X, Y) 的联合分 布列为 同理 E(Y) = E(X) = 0 E(Y2) = E(X2) = 3/4 另一方面 1 1 Y 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 另一方面 = 1/81/81/8+1/8 = 0 求 X, Y 的相关系数. 所以 Cov(X, Y) = E(XY)E(X)E(Y) = 0 解: = 0 即 Corr(X, Y) = 0 = 3/4

例3.4.4 (X, Y) ~ p(x, y) = 求 X, Y 的相关系数 解: = 7/6 = 5/3 所以, Var(X) = Var(Y) = 11/36 = 4/3

二维正态分布的特征数 (1) X ~ N( 1, 12), Y~ N( 2, 22); (2) 参数  为 X 和 Y 的相关系数; (3) X, Y 独立  = 0. (4) 不相关与独立等价.

3.4.5 随机向量的期望向量与协方差阵 定义3.4.3 记 ，则 称 为 的协方差阵，记为 或

协方差阵的性质 定理3.4.2 协方差阵对称、非负定.

注 意 点 称 为 的相关矩阵.

设 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Var(XY) = 0, 课堂练习1 设 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Var(XY) = 0, 求 (X, Y) 的协差阵  .

课堂练习2 设 X, Y 的协差阵为 求相关阵 R.

§3.5 条件分布与条件期望 对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.

3.5.1 条件分布 (1) 条件分布列： 称为给定Y=yj 的条件下X的条件分布列. (2) 条件密度函数： 3.5.1 条件分布 (1) 条件分布列： 称为给定Y=yj 的条件下X的条件分布列. (2) 条件密度函数： 称为给定Y=y 的条件下X的条件密度函数.

(3) 条件分布函数：

例3.5.1 已知 (X, Y) 的联合分布列为 Y 1 2 3 X 1 2 0.1 0.3 0.2 0.2 0.05 0.15 求给定X=2的条件下 Y 的条件分布列.

例3.5.2 设 X ~ P(λ1), Y ~ P(λ2), 且X与Y相互独立， 求给定 X+Y=n 的条件下X的条件分布列. 例3.5.3 设 某段时间内进入某商店的顾客人数X服从泊松分布P(λ)，每个顾客购买某种商品的概率为p， 并且顾客是否购买相互独立. 求进入商店购买该种商品的顾客数Y的分布.

例3.5.4 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1}上的均匀分布，求给定Y=y 的条件下X的条件密度函数. 解: 由题意得 当-1<y<1时，

3.5.2 条件数学期望 定义 3.5.4

注 意 点 E(X| Y=y) 是 y 的函数. 所以记 g(y) = E(X| Y=y). 进一步记 g(Y) = E(X| Y).

重期望公式 定理 3.5.1

例3.5.5 一矿工被困在一个有三个门的矿井里. 第一个门通向一个坑道，沿此坑道走3小时可到达安全区；第二个门通向的坑道走5小时又回到原处；第三个门通向的坑道走7小时也回到原处. 假定该矿工总是等可能的在三个门中选择一个. 求该矿工到达安全区的平均时间.