微積分 精華版 Essential Calculus 第 9 章 多重積分

9.1 逐次積分和平面上的面積 9.2 二重積分和體積 9.3 積分變數變換：極坐標 9.4 曲面面積

9.1 逐次積分和平面上的面積 逐次積分 我們知道如何將其他的變數都看成常數，而對一個特定的變數微分。同樣的，我們也可以將其他的變數都看成常數而對一個特定的變數積分。 p.431

例 1 對 y 積分 計算 。 解　x 看成常數，對 y 積分得到 p.432

例 2 積分的積分 計算 。 解　利用例 1 的結果，得到 p.432

例 2 中的積分稱為逐次積分（iterated integral）。此後在類似例 2 的題目裡，中括號通常不寫，而簡單寫成 內層的積分上、下限（inside limits of integration）可以是外 層的積分變數的函數，但是，外層積分的上、下限（outside limits of integration）卻必須是（相對於兩層積分的變數而 言）常數。 一個逐次積分的上、下限事實上給出了相關變數的兩組閉 區間，這兩個聯立不等式決定了這個逐次積分的積分區域 R（region of integration R）。 p.432

圖 9.1 的積分區域。 p.432

平面上區域的面積 在區域 R 上架一個樣本長方形有助於決定逐次積分的順序和積分的上、下限。一個鉛直的樣本長方形表示積分的順序是 dydx（先對 y 積，再對 x 積），其內層積分的上、下限就是樣本長方形的上、下限，如圖 9.2 所示。而其外層積分的上、下限 x = a 和 x = b 代表的是區域 R 左、右兩邊的界限。這種以鉛直線 x = a 和 x = b 為左、右兩邊界限的區域稱為鉛直單純形（vertically simple）。 p.433

圖 9.2 鉛直單純區域。 p.433

一個水平的樣本長方形表示積分的順序是 dxdy（先對 x積，再對 y 積），其內層積分的上、下限是樣本長方形的左端和右端，如圖 9 一個水平的樣本長方形表示積分的順序是 dxdy（先對 x積，再對 y 積），其內層積分的上、下限是樣本長方形的左端和右端，如圖 9.3 所示。而其外層積分的上、下限 y = d 和 y = c 代表的是區域 R 上、下兩邊的界限。這種以水平線 y = d 和 y = c 為上、下兩邊界限的區域稱為水平單純形（horizontally simple）。 p.433

圖 9.3 水平單純區域。 p.433

平面區域的面積 1. 如果 R 由聯立不等式 a ≤ x ≤ b 和 g1(x) ≤ y ≤ g2(x) 定義，式中 g1 和 g2 是 [a, b] 上的連續函數，則 R 的面積等於下列定積分 2. 如果 R 由聯立不等式 c ≤ y ≤ d 和 h1(y) ≤ x ≤ h2(y) 定義，式中 h1 和 h2 是 [c, d] 上的連續函數，則 R 的面積等於下列定積分 p.433

例 3 長方形區域的面積 以逐次積分表圖 9.4 中長方形的面積。 解 圖 9.4 中的區域既是鉛直單純形又是水平單純形，所以 例 3 長方形區域的面積 以逐次積分表圖 9.4 中長方形的面積。 解　圖 9.4 中的區域既是鉛直單純形又是水平單純形，所以 積分的順序可以任意，我們選擇 dy dx 而得到下式 p.434

圖 9.4 p.434

例 4 以逐次積分求面積 以逐次積分求以下列圖形為界的區域面積。 x =π/4 和 x = 5π/4 。 例 4 以逐次積分求面積 以逐次積分求以下列圖形為界的區域面積。 x =π/4 和 x = 5π/4 。 解　由於 f 和 g 都是 x 的函數，考慮鉛直的樣本長方形比較 方便，因此選擇積分的順序為 dy dx，如圖 9.5 所示。外層積 分的上下限是π/4 ≤ x ≤ 5/4，並且，由於小長方形的上界是 f (x) = sin x，下界是 g(x) = cos x，因此得到 p.434

p.434

圖 9.5 p.434

例 5 比較不同順序的積分 描繪面積是下列積分的積分區域，並以不同順序各積一次來 比較結果。 例 5 比較不同順序的積分 描繪面積是下列積分的積分區域，並以不同順序各積一次來 比較結果。 解　由內、外層積分的上、下限可看出區域 R 由聯立不等式 所定義，如圖 9.6(a) 所示。積分值是 p.435

若要將積分的順序改成 dy dx，先在區域上架一個鉛直的長方 形樣本，如圖 9.6(b) 所示。從圖可以看出外層積分的上、下 限是由 x 的常數不等式 0 ≤ x ≤ 4 決定。再以 x 解方程式 x = y2，可以看出內層的上、下限是由 y 的（x 變數）不等式 0 ≤ x ≤ 決定。 p.435

所以，此區域的面積也可以下列積分計算 計算過程如下： 我們得到相同的答案 16/3。 p.435

圖 9.6 p.435

例 6 以兩個逐次積分計算面積 區域 R 在拋物線 y = 4x – x2 拋物線構成 R 的上緣 之下，x 軸和直線 例 6 以兩個逐次積分計算面積 區域 R 在拋物線 y = 4x – x2 拋物線構成 R 的上緣 之下，x 軸和直線 y = –3x + 6 此線和 x 軸構成 R 的下緣 之上，求區域 R 的面積，見圖 9.7。 解　先將 R 分成 R1 和 R2 兩個子區域，如圖 9.7 所示。在子 區域上，各架一個鉛直的樣本長方形來決定內層積分的上、 下限，結果如下 p.436

p.436

圖 9.7 p.436

9.2 二重積分和體積 二重積分和立體的體積 求出介於 xy 平面和下列曲面之間立體區域的體積 9.2 二重積分和體積 二重積分和立體的體積 求出介於 xy 平面和下列曲面之間立體區域的體積 z = f (x, y) 曲面在 xy 平面上方 如圖 9.8 所示。我們先在區域 R 上畫好長方形的小格子，如 圖 9.9，其中完全落在 R 內的長方形構成 R 的一個內部分割 （inner partition）Δ，||Δ|| 的範數（norm） 就定義為所有Δ 中各個長方形對角線長的最大值。 p.437

圖 9.8 p.437

圖 9.9 在 R 內的長方形形成 R 的一個內部分割。 p.438

長方柱體的底面積是ΔAi，高是 f (xi, yi) 。 圖 9.10 長方柱體的底面積是ΔAi，高是 f (xi, yi) 。 p.438

圖 9.11 以長方柱體的體積和近似立體區域的體積。 p.438

例 1 近似立體的體積 請用邊長為 ¼ 的正方形分割求在拋物面 例 1 近似立體的體積 請用邊長為 ¼ 的正方形分割求在拋物面 之下，正方形區域 R (0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1) 之上立體體積的近 似值。 解　先將 R 分割為邊長為 ¼ 的小正方形。為方便起見，我們 選擇小正方形的中心來計算相關的 f (x, y)。 p.438

由於每一個正方形的面積都是ΔAi = 1/16，作為近似值的黎 曼和是 圖 9.12 顯示此一近似立體區域的長方柱。體積的準確值是 2/3（見例 1）。如果選取更細的分割，近似的程度會更佳。 例如，若取邊長為 1/10 的正方形分割，近似值是 0.668。 p.438

圖 9.12 p.439

圖 9.13 p.439

二重積分的定義 f 是定義在 xy 平面中一個有界閉區域 R 上的函數，如果極限 存在，我們就稱 f 在 R 上可積（分）（integrable），而以 ∫R∫f (x, y) dA 表此極限值，稱為 f 在 R 上的二重積分 （double integral of f over R）。 p.439

如果兩個區域的交集面積為 0，我們就稱它們不重疊。在此圖中，R1 和 R2 的交集是一條線段，線段的面積為 0。 圖 9.14 如果兩個區域的交集面積為 0，我們就稱它們不重疊。在此圖中，R1 和 R2 的交集是一條線段，線段的面積為 0。 p.439

立體區域的體積 如果 f (x, y) ≥ 0，並且在平面區域 R 上可積，則定義在 R 之 上，在 f 的圖形之下的立體區域體積為 p.440

定理 9.1 二重積分的性質 f 和 g 都是平面中一個有界閉區域 R 上的連續函數，c 是一個常數，則 f 和 g 均在 R 上可積並且有下列性質。 p.440

p.440

計算二重積分 計算二重積分時，第一步是將它改寫成一個逐次積分。如圖 9.15 所示，有一個以平面 z = f (x, y) = 2 – x – 2y 和三個坐標平面為界的立體區域。此立體的每一個與 yz 平面平行的鉛直截痕都是一個三角形，它的底是 y = (2 – x)/2，高是 z = 2 – x。這表示對一個固定的 x，上述三角形截痕的面積是 p.440

圖 9.15 p.440

由 5.2 節，已知截痕面積的立體區域體積公式是： 不管 A(x) 如何求得，均可依照上述過程進行。當然，也可以 用積分求 A(x)，如圖 9.16 所示。也就是說，把 x 看成常數， 將 z = 2 – x – 2y 從 y = 0 積到 y = (2 – x)/2 得到 p.440

圖 9.16 三角形截痕 p.441

如果將上述過程寫成一個式子，就得到下面這個逐次積分 若要深入瞭解將二重積分改寫為逐次積分的步驟，最好把上 述的積分想像成「展線以為面，積面以為體」的兩階段動 作。對內層的積分來說，是由鉛垂線掃出一個截痕的面積； 對外層的積分來說，三角形截痕又掃出整個的體積，如圖 9.17 所示。 p.441

圖 9.17 p.441

定理 9.2 Fubini 定理 已知 f 在平面區域 R 上連續。 1. 如果 R 由聯立不等式 a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) 定義，式中 g1 和 g2 都在 [a, b] 上連續，則 2. 如果 R 由聯立不等式 c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y) 定義，式中h1 和 h2 都在 [c, d] 上連續，則 p.441

例 2 以逐次積分計算二重積分 計算 式中 R 是由不等式 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 定出的區域。 例 2 以逐次積分計算二重積分 計算 式中 R 是由不等式 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 定出的區域。 解　由於 R 是一個單純的正方形，既是鉛直也是水平單純 形，因此可以任取一個順序求逐次積分。如果選擇 dy dx，並 且在 R 上架一個鉛直的樣本長方形，如圖 9.18 所示。進行逐 次積分得到 p.442

p.442

圖 9.18 立體區域的體積是 2/3。 p.442

例 3 以二重積分求體積 求以拋物面 z = 4 – x2 – 2y2 和 xy 平面為界的立體區域體積。 例 3 以二重積分求體積 求以拋物面 z = 4 – x2 – 2y2 和 xy 平面為界的立體區域體積。 解　令 z = 0，可以看出立體區域立基於 xy 平面上的橢圓 x2 + 2y2 = 4，如圖 9.19(a) 所示。此一平面區域既是鉛直又是 水平單純形，我們選 dy dx 來進行。 計算體積如下： p.442

p.443

圖 9.19 p.443

例 4 比較積分的順序 如圖 9.20，求以曲面 f (x, y) = e–x2 曲面 例 4 比較積分的順序 如圖 9.20，求以曲面 f (x, y) = e–x2 曲面 平面 z = 0，平面 y = 0，平面 y = x 和平面 x = 1 為界的立體 區域體積。 解　立體區域 R 在 xy 平面上的基礎是以直線 y = 0, x = 1 和 y = x 為界的三角形，圖 9.21 顯示兩個可能的積分順序。 開始進行逐次積分的時候，順序 dx dy 需要知道∫e–x2 dx，亦 即 e–x2 的反導數，但是因為 e–x2 的反導數不是基本函數，所 以無法求出。 p.443

圖 9.20 以 z = 0, y = 0, y = x 和 x = 1 為界的基礎。 p.443

圖 9.21 p.444

但是順序 dy dx 由於在內層積分進行之後，變成要求 xe–x2 的 反導數，這個反導數是基本函數，請看下面的計算。 p.444

例 5 以兩曲面為界的立體區域體積 如圖 9.22 立體區域 R 的上緣是拋物面 z = 1 – x2 – y2，下緣是 例 5 以兩曲面為界的立體區域體積 如圖 9.22 立體區域 R 的上緣是拋物面 z = 1 – x2 – y2，下緣是 平面 z = 1 – y，請求 R 的體積。 解　先求 z 的公解，以決定兩曲面相交的曲線落在正圓柱面 上，其方程式為 1 – y = 1 – x2 – y2  x2 = y – y2 由於 R 的體積是拋物面之下覆蓋的體積和平面之下覆蓋的體 積之差，其相關的積分式如下： p.444

p.444

圖 9.22 立體區域的體積是 π/32。 p.444

9.3 積分變數變換：極坐標 在極坐標系中計算二重積分 9.3 積分變數變換：極坐標 在極坐標系中計算二重積分 有時在極坐標系中計算二重積分要比在直角坐標中來得容易。特別是積分區域是圓域，心臟線內部或瓣線內部，而被積函數中有 x2 + y2 這類很容易以極坐標表示的式子。 心臟線的極坐標方程式是 r = a + a cos, a > 0。 瓣線指玫瑰線的一個（花）瓣，玫瑰線的極坐標方程式是 r = a cos nθ或 r = a sin nθ，n 是大於 1 的整數，a > 0。 p.446

例 1 以極坐標描寫平面區域 以極坐標描寫圖 9.23 中的區域。 解 a. 區域 R 是半徑為 2 的四分之一圓域，其極坐標表示法為 例 1 以極坐標描寫平面區域 以極坐標描寫圖 9.23 中的區域。 解 a. 區域 R 是半徑為 2 的四分之一圓域，其極坐標表示法為 R = {(r,θ) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤θ≤π/2 } b. 區域 R 是介於半徑為 1 和 3 的同心圓間的區域，其極坐標 表示法為 R = {(r,θ) : 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤θ≤ 2π} p.447

圖 9.23 p.447

極扇形是指以下列不等式定出的區域，如圖 9.24 所示。 若要在極坐標系中定義一個連續函數 z = f (x, y) 的二重積分，考慮以直線θ=α，θ=β和圖形 r = g1(θ)，r = g2(θ) 為界的區域 R。第一步是對 R 作分割，在 R 上畫出一個由輻射線（從原點出發的半直線）和圓弧（以原點為圓心的圓弧）所構成的極坐標格子，每一格都是一個極扇形，如圖 9.25 所示。 p.447

圖 9.24 極扇形。 p.447

圖 9.25 區域 R 分成（極坐標）格子。 p.447

式中，ri = r1 + r2 / 2, Δri = r2 – r1, Δθi = θ2 – θ1。這表示在 其中完全落在 R 內的極扇形構成一個 R 的內部極坐標分割 （inner polar partition）， 的範數（norm）就定義為所有 中各個極扇形對角線長的最大值。 如圖 9.26，看一個特定的極扇形 Ri，其面積是 ΔAi = riΔriΔθi Ri 的面積 式中，ri = r1 + r2 / 2, Δri = r2 – r1, Δθi = θ2 – θ1。這表示在 Ri 上，曲面 z = f (x, y) 之下的立體體積的近似值是 f (ri cos θi，ri sin θi)riΔriΔθi 因此得到 p.447

聯立不等式 r1 ≤ r ≤ r2 和 θ1 ≤ θ ≤θ2 定出極扇形。 圖 9.26 聯立不等式 r1 ≤ r ≤ r2 和 θ1 ≤ θ ≤θ2 定出極扇形。 p.448

圖 9.27 水平單純形 S。 p.448

定理 9.3 極坐標積分變數變換 區域 R 在極坐標系中以聯立不等式 0 ≤ g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), 定理 9.3 極坐標積分變數變換 區域 R 在極坐標系中以聯立不等式 0 ≤ g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), α≤θ≤β定出，其中 0 ≤ (β–α) ≤ 2π。如果 g1 , g2 在 [α, β] 上連續而 f (x, y) 在 R 上連續，則 積分區域 R 必須是 r-單純（r-simple）區域或是θ-單純（θ-simple）區域如圖 9.28 所示。 p.448

圖 9.28 p.448

例 2 計算極坐標二重積分 如圖 9.29 區域 R 是介於圓 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 5 之間的環 例 2 計算極坐標二重積分 如圖 9.29 區域 R 是介於圓 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 5 之間的環 形區域，求積分 ∫R∫(x2 + y) dA。 解　相關的極坐標範圍是 和 0 ≤θ≤ 2π。將 x 和 y 分別以 r cos θ, r sin θ代入被積函數，得到 p.449

p.449

圖 9.29 r-單純形。 p.449

例 3 極坐標積分變數變換 如圖 9.30，以極坐標積分求以半球面 為上界而以圓域 R x2 + r2 ≤ 4 圓域構成下緣 例 3 極坐標積分變數變換 如圖 9.30，以極坐標積分求以半球面 為上界而以圓域 R x2 + r2 ≤ 4 圓域構成下緣 為下界的立體區域體積。 解　在圖 9.30 中，可以看出 R 以聯立不等式 和 定出。而在極坐標，相關不等式是 0 ≤ r ≤ 2 和 0 ≤θ≤ 2π 高是 。因此，所求體積為 p.449

圖 9.30 p.449

p.450

例 4 求極坐標系中區域的面積 以二重積分求圖形 r = 3 cos 3θ 所圍出的面積。 例 4 求極坐標系中區域的面積 以二重積分求圖形 r = 3 cos 3θ 所圍出的面積。 解　如圖 9.31，R 代表玫瑰線的一瓣。區域 R 是一個 r-單純 區域，相關的極坐標範圍是 此瓣曲線內部的面積是 p.450

因此，總面積是 A = 9π/4。 p.450

圖 9.31 R 的面積是 3π/4，總面積是 9π/4。 p.450

例 5 調換積分的順序 求以螺線 ，和 x 軸正向為界在 r = 1 和 r = 2 之間區域 的面積。 例 5 調換積分的順序 求以螺線 ，和 x 軸正向為界在 r = 1 和 r = 2 之間區域 的面積。 解　如圖 9.32 相關的極坐標範圍是 因此可以計算區域的面積如下（先積θ） p.451

圖 9.32 θ-單純區域。 p.451

9.4 曲面面積 曲面面積的定義 假設 f 和 f 的偏導數都在 xy 平面中的閉區域 R 上連續。以 9.4 曲面面積 曲面面積的定義 假設 f 和 f 的偏導數都在 xy 平面中的閉區域 R 上連續。以 z = f (x, y) 的圖形在 R 之上所定出的曲面 S 的面積（area of the surface S）公式為 p.452

圖 9.33 p.452

圖 9.34 p.452

曲面面積相關的公式 p.453

例 1 平面區域的面積 如圖 9.35，求平面 z = 2 – x – y 在四分之一的圓域 x2 + y2 ≤ 1, 例 1 平面區域的面積 如圖 9.35，求平面 z = 2 – x – y 在四分之一的圓域 x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 上方的面積。 解　由於 fx(x, y) = –1，fy(x, y) = –1，所求部分的面積是 注意上述結果就是 乘上區域 R 的面積，R 是半徑為 1 的 四分之一圓，面積等於π/4。所以 S 等於 π/4。 p.454

圖 9.35 平面在四分之一圓上部分的面積是 π/4。 p.454

例 2 求曲面面積 如圖 9.36(a)，求曲面 f (x, y) = 1 – x2 + y 在以 (1, 0, 0), (0, –1, 0) 和 (0, 1, 0) 為頂點的三角形上方的面積。 解　由於 fx(x, y) = –2x, fy(x, y) = 1，所求面積 S 為 從圖 9.36(b)，不難看出 R 的範圍是 0 ≤ x ≤ 1，和 x – 1 ≤ y ≤ 1 – x，所以 S 的積分變成 p.454

p.454

圖 9.36 p.454

例 3 極坐標變數變換 如圖 9.37 求拋物面 z = 1 + x2 + y2 在單位圓上方的面積。 例 3 極坐標變數變換 如圖 9.37 求拋物面 z = 1 + x2 + y2 在單位圓上方的面積。 解　由於 fx(x, y) = 2x, fy(x, y) = 2y，所求面積 S 為 以 x = r cosθ, y = r sinθ代入，換成極坐標求積分。因為 R 的範圍是 0 ≤ r ≤ 1 和 0 ≤θ≤ 2π，所以 S 的積分變成 p.454

圖 9.37 在單位圓上方的拋物面面積約為 5.33。 p.455

例 4 求曲面面積 如圖 9.38，求半球面 在圓域 x2 + y2 ≤ 9 上方的面積。 解 f 的一階偏導數為 從曲面面積的公式可得 例 4 求曲面面積 如圖 9.38，求半球面 在圓域 x2 + y2 ≤ 9 上方的面積。 解　f 的一階偏導數為 從曲面面積的公式可得 p.455

其中 R 代表圓域，x2 + y2 ≤ 9。以 x = r cosθ, y = r sinθ代 入，換成極坐標求積分，由於 R 的範圍是 0 ≤ r ≤ 3 和 0 ≤θ≤ 2π，所以 S 的積分變成 p.455

圖 9.38 在圓域上方半球面的面積是 10π。 p.455

圖 9.39 p.456

例 5 以辛浦森法求曲面面積的近似值 如圖 9.40，求拋物面 f (x, y) = 2 – x2 – y2 在四方形區域 –1 ≤ x 例 5 以辛浦森法求曲面面積的近似值 如圖 9.40，求拋物面 f (x, y) = 2 – x2 – y2 在四方形區域 –1 ≤ x ≤ 1, –1 ≤ y ≤ 1 上方的面積。 解　f 的偏導數為 代入曲面的面積公式得到 p.456

其中 R 代表四方形區域。在極坐標中，直線 x = 1 就是 r cosθ = 1 或是 r = secθ。因此，求出圖 9.41 中，R 的四分 之一部分的範圍是 令 x = r cosθ, y = r sinθ代入，換成極坐標積分得到 p.456

最後，取 n = 10，以辛浦森法求單變數積分的近似值，得到 p.456

圖 9.40 p.456

圖 9.41 R 的四分之一部分的範圍是： p.400