放大圖與縮小圖 相似形的意義 平行線截比例線段 自我評量

國小時曾學過三角形及四邊形的放大圖與縮小圖。圖1-1中，圖(二)的長、寬皆為圖(一)的 倍，稱圖(二)為圖(一)的 倍縮小圖 圖(一) 圖(二)

而圖(三)的長、寬皆為圖(一)的2倍，稱圖(三)為圖(一)的2倍放大圖。

圖(一) 圖(三) 圖(二) 圖1-1

在日常生活中，一般所謂的全開紙張通常是指長42吋、寬30吋（1吋≒2.54公分）的長方形紙張；而4開紙張的長、寬皆是全開紙張的 ； 全開大小 30吋×42吋 4開大小 15吋×21吋

16開紙張的長、寬皆是全開紙張的 。 全開大小 30吋×42吋 16開大小 7.5吋×10.5吋

如圖1-2 ，若甲圖為全開大小，則乙圖為4開大小，丙圖為16開大小，即甲圖可裁成4個乙圖，或裁成16個丙圖。 30吋×42吋 4開大小 15吋×21吋 16開大小 7.5吋×10.5吋 圖 1-2

(1)甲圖是乙圖的幾倍放大圖？甲圖的面積是乙圖的幾倍？ 1 放大圖與縮小圖 在圖1-2 中： (1)甲圖是乙圖的幾倍放大圖？甲圖的面積是乙圖的幾倍？ (1) ∵ 甲圖的長、寬均是乙圖的2 倍， ∴ 甲圖是乙圖的2 倍放大圖。 又甲圖可裁成4 個乙圖， ∴ 甲圖的面積是乙圖面積的4 倍。 解 數學上常以符號「∵」表示「因為」， 以符號「∴」表示「所以」。

1 放大圖與縮小圖 在圖1-2 中： (2)甲圖是丙圖的幾倍放大圖？甲圖的面積是丙圖的幾倍？ 解 (2) ∵甲圖的長、寬均是丙圖的4 倍， ∴甲圖是丙圖的4 倍放大圖。 又甲圖可裁成16 個丙圖， ∴甲圖的面積是丙圖面積的16 倍。

1.在圖1-2 中： (1)丙圖是乙圖的_____倍縮小圖，也是甲圖 的____倍縮小圖。 (2)丙圖的面積是乙圖面積的_____倍，也是甲圖面積的_______倍。

2.如圖，長方形ABCD 與長方形AEFG 中： 圖？ _____________ (2)長方形ABCD 的面積是 長方形AEFG 的幾倍？ _____________ 3 倍 9 倍

在繪製多邊形的放大圖時，我們也可以使用格 子圖來畫。如圖1-3 是一張格子圖，每個格子都是 正方形，放大成2倍後變成 圖1-4。 放大成2倍 圖1-3 圖1-4

在圖1-3上畫一個四邊形，為了方便觀察，將頂點點在格線交點上，如圖1-5，再放大2倍成 圖1-6。 放大成2倍 圖1-5 圖1-6

1.在圖(二)上畫圖(一)的2倍放大圖。 放大成2倍 圖(一) 圖(二)

2.在圖(四)上畫圖(三)的 倍縮小圖。 縮小成 倍 圖(四) 圖(三)

如圖1-7，四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2倍放大圖，其中： ∠A1＝∠A，∠B1＝∠B， ∠C1＝∠C，∠D1＝∠D， 放大成2倍 圖1-7

如圖1-7，四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2倍放大圖，其中： ＝2 ， ＝2 ， 放大成2倍 圖1-7

如圖1-7，四邊形A1B1C1D1為四邊形ABCD的2倍放大圖，其中： ： ＝ ： ＝ ： ＝ ： ＝2：1。 放大成2倍 圖1-7

放大成2倍 圖1-7

A1與A、B1與B、C1 與C、D1與D 稱為對應頂點， ∠A1與∠A、∠B1與∠B、∠C1與∠C、∠D1與∠D 在圖1-7中， A1與A、B1與B、C1 與C、D1與D 稱為對應頂點， ∠A1與∠A、∠B1與∠B、∠C1與∠C、∠D1與∠D 稱為對應角， 與 、 與 、 與 、 與 稱為對應邊。 當這些對應邊的比例相等時，稱為對應邊成比例。如圖1-7，四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD中： ： ＝ ： ＝ ： ＝ ： ＝2：1 ，即 搭配習作 P5 基礎題 1

1.如右圖，五邊形MNOPQ是 五邊形ABCDE 的 倍縮小 圖。比較這兩個五邊形，回答下列問題： (1)頂點D 的對應頂點是_______， ∠B 的對應角是_________。 (2) 的對應邊是____， 的對應邊是___。 頂點P ∠N

2.根據下圖回答 下列問題： (1)四邊形ABCD 變成四邊形IJKL 時，∠C 的對應角是_______。 (2)四邊形ABCD 變成四邊形RSTU 時， 的對應邊是_______。 ∠L

若兩個多邊形的對應角相等且對應邊成比例，這兩個多邊形稱為相似多邊形，以符號「∼」表示相似關係，讀作「相似於」。 在圖1-7中，四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的對應角相等且對應邊都成比例，所以四邊形ABCD是四邊形A1B1C1D1的相似形，記作四邊形ABCD∼四邊形A1B1C1D1。反過來說，四邊形A1B1C1D1是四邊形ABCD的相似形，記作四邊形A1B1C1D∼四邊形ABCD。

在本書中，若四邊形ABCD∼四邊形PQRS，如圖1-8，則表示： A的對應頂點為P，B 的對應頂點為Q， C的對應頂點為R，D 的對應頂點為S。 圖1-8

已知四邊形ABCD∼四邊形PQRS，∠Q＝76°，∠R＝64°，∠S＝100°，試求∠A。 搭配習作P5基礎題2／P6基礎題3 2 相似形的對應關係 已知四邊形ABCD∼四邊形PQRS，∠Q＝76°，∠R＝64°，∠S＝100°，試求∠A。 ∵相似形的對應角相等， ∴∠A＝∠P ＝360°－∠Q－∠R－∠S ＝360°－76°－64°－100° ＝120° 解

已知四邊形ABCD∼四邊形PQRS，若 ＝8， ＝6， ＝5，試求 。 ∴ ： ＝ ： 5：8＝ ：6 ＝

3 相似多邊形的判別 回答下列問題： (1)兩個正方形是否一定相似？ 解 (1)設兩個正方形的邊長分別為a、b， 搭配習作P6基礎題4 3 相似多邊形的判別 回答下列問題： (1)兩個正方形是否一定相似？ (1)設兩個正方形的邊長分別為a、b， ∵四組對應邊長的比均為a：b， ∴它們的對應邊成比例。 又四組對應角也相等（均為90°）， ∴兩個正方形一定相似。 解

(2)長方形的四組對應角都相等（均為 90°）， 但其對應邊長不一定成比例。 例如右圖中，長方形甲的長為 2，寬為 1； 搭配習作P6基礎題4 3 相似多邊形的判別 回答下列問題： (2)兩個長方形是否一定相似？ (2)長方形的四組對應角都相等（均為 90°）， 但其對應邊長不一定成比例。 例如右圖中，長方形甲的長為 2，寬為 1； 長方形乙的長為 5，寬為 3， 2：5≠1：3，2：3≠1：5， 故兩個長方形不一定相似。 解

1.兩個菱形是否一定相似？ 否，因為它們的內角不一定相等。 2.如右圖，ABQP為矩形，五邊形ABCDE與五邊形PQCDE中，A與P、B與Q為對應頂點，回答下列問題：

(1)五邊形ABCDE 與五邊形PQCDE 的對應角是否相等？____________

由例題3與隨堂練習可知： 兩個四邊（含）以上的多邊形， 如果對應角相等且對應邊成比例，則此兩個多邊形相似； 如果只有對應角相等或只有對應邊成比例，就不相似。

接下來，我們來看兩個等高三角形其對應底邊與面積的比例關係。為了討論的方便，「△ABC的面積」在本冊中我們以「△ABC」來表示。

4 等高三角形面積的比等於底邊的比 如右圖，△ABC 中，D 為 上的一點，且 ＝3， ＝ 5， ， ＝4，試求 △ABD 與△ADC 的面積比。

△ABD：△ADC ＝( )： ( ) ＝( ．3．4）：（ ．5．4） ＝3：5 解 可以看成：

在例題4 中，△ABD：△ADC＝ ： （底邊的比）。這是否表示任意兩個等高的三角形，其面積的比會等於底邊的比呢？我們利用圖1-9的任意兩個等高的三角形來探討這個問題：

△ABC 的底為a，高為h，面積是＝ ah， △DEF 的底為b，高為h，面積是＝ bh。 所以△ABC：△DEF＝ ah： bh＝a：b（底邊比），由此可見： 等高三角形面積的比等於底邊的比。

1.如右圖，△ABC 中， ： ＝4：3，試求 (1)△ABD與△DBC的面積比。 (2)△ABD與△ABC的面積比。 (1)△ABD：△DBC ＝ ： ＝4：3

(2)△ABD與△ABC的面積比。 (2) ： ＝4：3 令 ＝4x， ＝3x ＝ ＋ ＝7x △ABD：△ABC＝ ： ＝4x：7x＝4：7

2.如右圖，△ABC中，若△ADC 的面積為12，△CDB 的面積為6，且 於H，試求 (1) ： (2) ： (1) △ADC：△CDB＝ ： 12：6＝ ： ： ＝2：1

(2) ： (2)△ABC＝△ADC＋△CDB＝18 △ADC：△ABC＝ ： （同高） 12：18＝ ： ： ＝2：3

接著我們利用「等高三角形面積的比等於底邊的比」的關係，來發展比例線段的性質。 如右圖， ，連接 、 ，回答下列問題： (1)為什麼△QPB＝△PQC？ 平行線間的距離相等，故△PQB＝△PQC（同底等高）

(2)為什麼 △PQA：△PQB ＝ ： ？ (3)為什麼 △PQA：△PQC ＝ ： ？ (4)為什麼 ： ＝ ： ？ 同高 同高 ∵△PQA：△PQB ＝△PQA：△PQC（△PQB＝△PQC） ∴ ： ＝ ：

由問題探索可知： △ABC 中，若 ，且分別交 、 於P、 Q 兩點，則 ： ＝ ： 。 若四個線段中，兩個線 段的比等於另兩個線段的比 ，則我們稱這四個線段為比 例線段。 圖 1-10

以上述為例，因為 ： ＝ ： ，所 以稱 、 、 、 為比例線段。即： 三角形內平行一邊的直線，將另兩邊截成比例線段。

5平行線截比例線段性質的應用 如右圖，△ABC 中， ，且 ＝12， ＝7， ＝18，試求 。 解 △ABC中，∵ ， ∴ ： ＝ ： 12：7＝18： 12． ＝7．18

如右圖，△ABC 中， ，且 ： ＝7：9，若 ＝32，試求 。 ∵ ∴ ： ＝ ： 7：9＝ ：（32－ ） ＝14

如右圖，△ABC 中， ，且分別交 、 於 P、Q 兩點，連接 、 ，回答下列問題： (1)為什麼△AQB＝△APC？ ∵ ， ∴△PQB＝△PQC（同底等高） △PQA＋△PQB＝△PQA＋△PQC （等量公理） 即△AQB＝△APC

(2)為什麼△AQP：△AQB＝ ： ？ (3)為什麼△AQP：△APC＝ ： ？ (4)為什麼 ： ＝ ： ？ 同高 同高 ∵△AQP：△AQB＝△AQP：△APC （△AQB＝△APC） ∴ ： ＝ ：

由上面的問題探索可以得到： △ABC 中，P、Q 兩點分別在 、 上，且 ， 則 ： ＝ ： 。 圖 1-11

如右圖，△ABC 中， ， ＝5， ＝8， ＝6，試求 。 ∵ ， ∴ ： ＝ ： 5：8＝ ：6， ＝

△ABC 中，P、Q 兩點分別在 、 上 ，若 ： ＝ ： ，則 是否與 平 行？ 如圖1-12，過B點作 ，交 於 C ' 點，由前可知 ： ＝ ： ， 圖 1-12

∴ ： ＝ ： ，故 C '點與 C 點重 合，即 與 重合，也就是 。 由上可知： 若一直線截三角形的兩邊成比例線段，則此直線平行於三角形的第三邊。

如右圖，△ABC 中， ＝12， ＝9， ＝8， ＝3，則 與 是否平行？為什麼？ ＝ － ＝9－3＝6 解 ∵ ： ＝8：12＝2：3 6由比例線段判別截線是否平行 如右圖，△ABC 中， ＝12， ＝9， ＝8， ＝3，則 與 是否平行？為什麼？ 搭配習作 P7 基礎題 5 ＝ － ＝9－3＝6 ∵ ： ＝8：12＝2：3 且 ： ＝6：9＝2：3 ∴ ： ＝ ： ＝2：3 故 解

如右圖，△ABC中， ： ＝9：11，若 ＝40， ＝22，試說明 ＝18：22＝9：11＝ ： 故

由前面的討論可知： 如圖1-13，△ABC 中， (1)若 ，則 ： ＝ ： ，且 ： ＝ ： 。 (2)若 ： ＝ ： 或 ： ＝ ： ，則 。

圖1-13 這些性質對任意三角形都成立，稱為平行線截比例線段性質。

如下圖，用尺規依下面作法，在 上找出一點C，使得 ： ＝2：3。 搭配習作 P7 基礎題 6 7利用平行線截比例線段性質分割線段 如下圖，用尺規依下面作法，在 上找出一點C，使得 ： ＝2：3。 A B 作法 (1) 過A 點作一條異於 的直線L。 (2) 在L上依序取P1∼P5五點，使得 ＝ ＝ ＝ ＝ 。 (3)連接 。 (4)過P2作 // ，使 與 交於 C點，則C點即為所求。

解

在例題7 所作出的圖形中，為什麼 ： ＝2：3 ？ △AP5B 中， // ∴ ： ＝ ： ＝2：3

如下圖，已知 ，參考例題7 的作法，用尺規在 上找出一點C，使得 ： ＝1：2。 A B

8 平行線截比例線段性質的應用 如右圖，M1、M2、M3 皆為直線，若M1// M2 // M3，且分別與截線L1 交於A、B、C 三點，與截線L2交於D、E、F 三點，試證 ： ＝ ： 。

如右圖，將L1向右平行移動，使L1與L2交於D點，就可利用平行線截比例線段性質說明之。 思路分析 如右圖，將L1向右平行移動，使L1與L2交於D點，就可利用平行線截比例線段性質說明之。

證明 (1)過D 作 //L1，且分別交M2、M3 於G、H 兩點。 (2)∵ // // ， ∴四邊形ABGD 與四邊形BCHG皆為平行 四邊形，故 ＝ ， ＝ 。 (3)在△DHF 中， // ， ∴ ： ＝ ： ， 故 ： ＝ ： 。

承例題8，若 ＝3， ＝5 ， ＝( x＋1 )， ＝2x，試求x 之值。 ： ＝ ： 3：5＝（x＋1）：2x 5x＋5＝6x x＝5

1.相似多邊形： 如果兩個多邊形的對應角相等且對應邊成比例，這兩個多邊形稱為相似多邊形，以符號「∼」表示相似。 2.等高三角形的面積比等於底邊比： 兩個等高的三角形，其面積比等於底邊的邊長比。

圖1-14 3.平行線截比例線段性質： (1)如圖1-14，在△ABC 中， 若 ，則 ： ＝ ： ，且 ： ＝ ： 。 若 ： ＝ ： ，或 ： ＝ ： ，則 。

(2)如圖1-15，M1、M2、M3皆為直線，若M1 //M2 //M3，且分別與截線L1交於A、B、C 三點，與截線L2 交於D、E、F 三點，則 ： ＝ ： 。 圖1-15

（ ）1.如右圖，矩形甲的長為8，寬為6。請問，下列哪一個矩形與矩形甲相似？ D 1-1 自我評量 8 （ ）1.如右圖，矩形甲的長為8，寬為6。請問，下列哪一個矩形與矩形甲相似？ D 6 甲 10 7 (A) (B) 8 5 4 (D) (C) 3 6 4

（ ）2.如右圖，四邊形ABCD為等腰梯形，且 為中線，則下列敘述何者正確？ (A)四邊形AEFD與ABCD的 內角對應相等。 (B)四邊形AEFD∼四邊形ABCD。 (C)四邊形AEFD與EBCF的對應邊成比例 (D)四邊形AEFD∼四邊形EBCF。 A

3.若四邊形ABCD∼四邊形A'B'C'D'， ： ： ： ＝1：3：4：2，且四邊形A'B'C'D'的周長 為 50，試求 、 。 ∵四邊形ABCD∼四邊形A'B'C'D' ∴ ： ： ： ＝ ： ： ： ＝1：3：4：2 故 ＝50 × ＝5 ＝50 × ＝20

4.設五邊形ABCDE∼五邊形GHKMN，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：4：3：2，且∠E＝100°，試求∠H 、∠M 。

5.如下圖，已知△ABC，回答下列問題： (1)用尺規依下面作法完成作圖的步驟： 過A點作一條異於 的直線L。 在L上依序取P1、P2、P3三點， 使得 ＝ ＝ 。 連接 。 過P2作 // ，交 於D 點。 作法

5. 作法

(2)在下面的完成圖中，  ： ＝_____：_____。 為什麼 ： ＝ ： ？ 連接 ，試求△ABC：△ADC的比值。 2 1 ∵ // ， ∴ ： ＝ ： △ABC：△ADC＝ ： (同高) ＝3：2 ∴比值＝

6.如右圖，△ABC 中， // ， ＝3x＋1， ＝x＋1， ＝7， ＝3，試求x 之值。 ∵ // ∴ ： ＝ ： （3x＋1）：（x＋1）＝7：3 x＝2

7.如右圖，L1、L2、L3、L4皆為直線，若L1 // L2 // L3 // L4，直線M1 與M2 為截線， ： ： ＝2： 3：5， ＝30，試求 。 ∵ L1 // L2 // L3 // L4 ∴ ： ： ＝ ： ： ＝2：3：5 又 ＝30 故 ＝30． ＝24