教學演示教材： 〈信賴區間與信心水準的解讀〉 教學演示教材： 〈信賴區間與信心水準的解讀〉

一、常態分布 為何成績單只要有個人成績加上平均數、 標準差，就足夠估計學生大約的名次？ 例：A生成績(全班40人)

全班成績直方圖

常態曲線函數圖

平均數、標準差決定常態分布曲線函數

A生名次的約估

標準常態分配 zp p 標準常態分配累積機率表 上面的標準常態累積機率表，是由標準常態分配機率密度函數（上圖中的 f (x)），計算從-∞到 zp 曲線下的面積而得，通常記作F(zp)，因此上表可以寫成 F(zp) = p。

F(1.96)  0.975，所以在 平均值前後 1.96 個標準 差的機率為 0.975−0.025 = 0.95。 以右圖為例 F(1.96)  0.975，所以在 平均值前後 1.96 個標準 差的機率為 0.975−0.025 = 0.95。 1.96 0.975 標準常態分配累積機率表

大學聯考的統計資料 　已知　X≒54.63 s ≒13.73

某生國文成績為 24.7 分 這個分數距離平均值 1.96 個標準差： 利用常態分配表推知他的百分等級是 2.5%， 但由大考中心資料得知他實際的百分等級是 4%

二、信賴區間 92年7月19日，某報就『成年人對公立大學學費是否太貴』的議題進行調查，於20日報導：『成功訪問了871位成年人。在百分之九十五的信心水準下，有46% 民眾認為學費太貴，抽樣誤差在正負3.3%之內』，而該調查是以台灣地區住宅電話為母體作尾數兩位隨機抽樣。 這代表信賴區間為(0.46-0.033,0.46+0.033) 我們每次做抽樣調查時都可以做出一個區間估計，例如上例的區間為(0.427,0.499) ，而所謂百分之九十五的信心水準，即指每次做出的區間會涵蓋實際比例的機率為95%。 但是，這些區間與 95% 如何求出？

信賴區間的實驗 老師為全班每個同學各準備一籤筒，事先不讓學生知道籤筒裡放了幾支籤，內含若干有獎籤，然後做實驗：讓每個同學在籤筒內抽取一支籤，記錄是否為有獎籤後放回，連續抽取20次。(類似於民調中成功訪問了20人) 如果抽出7支有獎籤，則推估有獎籤的比例為 ，你有多少信心支持自己的推估正確？

樣本比例的抽樣分布 每個同學的 雖然在變動，但中央極限定理告訴我們， 只要n夠大，這些 可以被常態分布描繪的相當接近

前面提到常態分配中： 約有95%的資料會在期望值±1.96個標準差的範圍中，所以大約有95%的機會，我們每個人所求出的區間 會包含真正的有獎籤比例 p

信賴區間的計算 將每位同學的中獎比例代入下列公式：

區間公式對照表（ n =20 ）

信賴區間圖 右圖中，全班 40 個 學生每個人都得到 一個區間，如果老 師事先知道 p = 0.6 ，那麼從圖中可知 有36 個區間包含 真實的 p 值。 全班 40 個學生包含 p 值區間個數的期望值 為 40  0.95 = 38 個 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

區間比較圖 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 n =20 n = 40 18

n = 20 與 n = 40 的區間估計的差異 因區間半徑等於 ， 所以較大的 n 值具有較小的區間半徑，也意味著有較佳區間估計的效果。

信賴區間的解讀 全班依照這樣的區間公式求出的 40 個區間， 由模擬的實驗結果，可以發現並非一定有 95% 的區間會涵蓋實際值 p。 全班執行這個實驗，正如 40 個學生每人都在擲一枚出現正面機率為 0.95 的硬幣，我們只知道此實驗出現正面個數的期望值為 40  0.95 = 38 個，並不能保證一定出現 38 個正面。其實出現38個的機率只有 每個學生一旦做出區間，就只可能有兩種情形：包含真實 p 值，或不包含真實 p 值。因此一旦做出區間後，並不能說「真實 p 值在此區間的機率為 95%」

回顧抽樣調查的例子 92年7月19日，某報就『成年人對公立大學學費是否太貴』的議題進行調查，於20日報導：『成功訪問了871位成年人。在百分之九十五的信心水準下，有46% 民眾認為學費太貴，抽樣誤差在正負3.3%之內』，而該調查是以台灣地區住宅電話為母體作尾數兩位隨機抽樣。 這是否代表「認為公立大學學費太貴的民眾比例在(0.427,0.493)這個區間範圍內」？ 所謂百分之九十五的信心水準下，你可以說明出其涵義嗎？

例題1 A工廠生產的A飲料經隨機抽樣，得平均容量為330.04cc，在95% 的信心水準下，抽樣誤差為1.54cc；而B工廠生產的B飲料經隨機抽樣，得平均容量為329.56cc，在95% 的信心水準下，抽樣誤差為1.24cc，今隨機抽出一罐A飲料測量後告訴大家，再隨機抽出一罐B飲料，試問下列何者正確？ (1)B飲料的容量必在[328.32,330.80] (2)A飲料的容量有95%的機率在[328.50,331.58]中 (3)A飲料的容量大於B飲料的容量 (4)假若兩種飲料罐子皆標示容量330cc，則這兩 種飲料都不能說其標示不實 Ans:(4) 說明:A的信賴區間[328.50,331.58]，B的信賴區間[328.32,330.80]

相關知識探討 中央極限定理 區間半徑的由來 信心水準的改變 民意調查樣本數1068的由來

中央極限定理

n=20與n=40之抽樣分布圖形 n=20 n=40 人數 抽 中 有 獎 籤 比 例 抽 中 有 獎 籤 比 例 人數 抽 中 有 獎 籤

例題2 假設上頁兩個圖為某校300 人一起做實驗，每個人均從已知籤筒（內有 5 支籤，其中 3 支是有獎籤）抽籤 n 次，每次取出一支籤，取出後須放回。第一圖是 n = 20 時，每人抽中有獎籤比率與人數的分佈圖，第二圖則是 n =40 的分佈圖。試以此兩圖選出下列正確的敘述：

(1)在 n = 20 的實驗裡，一學生抽中有獎籤比率正好是 0.6 的機率 為 (3)在95%的信心水準下，因為信賴區間半徑公式為 ，所以n=20比n=40的區間半徑長，所以n=20時，其信賴區間 有較大的機會涵蓋真正的有獎比例0.6 (4)如果我們再做一次實驗，將n改為100，人數同樣為300人， 則抽中有獎籤比例在[0.55,0.65]範圍內的人數必超過200人 Ans:(1)(2)(4) [說明](2)利用二次式求最大值或算幾不等式不難求出答案 (3)在n變大時，其求得的 會更易靠近真正值，所以半徑 雖變短，但95% 還是95% (4) n變的越大，其圖形越集中於0.6

用機率為 0.6 的二項分佈說明中央極限定理 執行抽到有獎籤機率為 0.6 的實驗 20 次，設抽到有獎籤 k 次，則此機率為 而此實驗中籤機率的期望值為 0.6 ，變異數為 引進函數 ，而將此兩機率函數畫圖於下：

介於期望值 0.6 前後 1.96 個標準差是指中籤比例在 之間，因二項分配 是一離散型的隨機變數，所以更正確的說法是中籤比例在0.4～0.8 之間，且發生此事件機率為 經計算此值約為 0.963，與常態分配的 0.950 僅差距0.013

介於期望值 0.6 前後 1.96 個標準差是指中籤比例在 之間，因二項分配 是一離散型的隨機變數，所以更正確的說法是中籤比例在0.4～0.8 之間，且發生此事件機率為 經計算此值約為 0.963，與常態分配的 0.950 僅差距0.013

上述討論若用常態分配去近似二項分配，96.3% 將近似成 95%，而每次實驗所得 可作出區間 而真實 p 值落在此區間的機率約為 0.963（用常態分配近似時，會宣稱此機率約為 0.95），此區間我們稱為信賴區間，此機率我們稱為信心水準。

區間半徑的由來 區間半徑其實就是1.96個標準差 求二項分配的標準差

二項分配的期望值與標準差 首先介紹隨機變數 X ： 定義 X 的期望值 變異數 舉例：若 X 是一中獎機率為 p 的二項分配： …… xn p p1 pn 首先介紹隨機變數 X ： 定義 X 的期望值 變異數 舉例：若 X 是一中獎機率為 p 的二項分配： 可得 E(X) = p1+(1-p)0 = p， Var(X) = p(1-p)2+(1-p)(0-p)2 = p(1-p)。 X 1（成功） 0 （失敗） p 1-p

介紹兩個小引理： 引理一：若 X、Y 是獨立的隨機變數且 a、b 為常數，則 E(X+Y) = E(X) + E(Y)且 E(aX+b) = a E(X) + b 引理二：若 X、Y 是獨立的隨機變數且 a、b 為常數，則 Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y)且 Var (aX+b) = a 2 Var (X)

計算 n 次二項分配平均的期望值與標準差

真實的信心水準 實驗 n 值為 20 ，如果區間取 則實際的信心水準是 96.3% 。 但是本次實驗中，區間為 則實際的信心水準是 92.8% 。

信賴區間由95%改成90% 標準常態分配累積機率表

例題3 A工廠生產的飲料經隨機抽樣，得平均容量為330.04cc，在95% 的信心水準下，抽樣誤差為1.54cc，試求在90%的信心水準下，其抽樣誤差為何？

民意調查的樣本數n = 1068是如何得到？

民意調查的意義

謝謝大家的聆聽！