第5章　弯曲变形 主讲教师：鞠彦忠 2018年11月21日星期三

第五章 弯曲变形 ω－挠度 θ－转角 §1 工程中的弯曲变形 挠度向下为正， 向上为负. 转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。 第五章 弯曲变形 §1 工程中的弯曲变形 位移的度量 挠曲线－－ 梁变形后各截面形心的连线 ω－挠度 θ－转角 挠度向下为正， 向上为负. 转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。

§2-3 梁挠曲线近似微分方程及积分

梁挠曲线近似微分方程

通过积分求弯曲位移的特征： 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。 2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。 3、积分常数由位移边界条件确定。

积分常数C1、C2由边界条件确定 X y X y

例题 5.1  求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。 边界条件

例题 5.2  求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 边界条件

求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的 最大挠度。 例题 5.3  求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的 最大挠度。 AC段 CB段

求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的 最大挠度。 例题 5.3  求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的 最大挠度。 最大转角 力靠近哪个支座，哪边的转角最大。 最大挠度 令x=a 转角为零的点在AC段 一般认为梁的最大挠度就发生在跨中

例题 5.4  画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。 两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。

 例题 5.5 挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 边界条件 连续条件 例题 5.5  用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 边界条件 x y 连续条件

例题 5.5  用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 边界条件 x y 连续条件

例题 5.5  用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 边界条件 x y 连续条件

例题 5.5  用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件 全梁仅一个挠曲线方程 共有两个积分常数 L1 边界条件 x y

例题 5.5  用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 x y 边界条件 连续条件

§4 按叠加原理计算梁的挠度和转角 叠加法计算位移的条件： 1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； 2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载 呈线性关系； 3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。

例题 5.6  用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度ωc和梁端截面的转角θAθB.

 例题 5.7 AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度. 计算C点挠度 查表 例题 5.7  AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度. 计算C点挠度 将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半 查表

例题 5.8  试用叠加法求图示梁C截面挠度. EI为已知。

例题 5.9  变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.

例题 5.10  多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.

 例题 5.11 图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常数k. C处挠度等于弹簧变形。 根据对称关系 例题 5.11  图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常数k. C处挠度等于弹簧变形。 根据对称关系 平衡关系 叠加法求挠度

 例题 5.12 悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,有四种答案,请分析判断,哪一个是正确的? 例题 5.12  悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,有四种答案,请分析判断,哪一个是正确的? (a) (b) (C) AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。 (d)

§5 梁内的弯曲应变能 横力弯曲

§6　简单的超静定粱 超静定问题及其解法 未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构. 未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构. 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数. 求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.

简单超静定梁

图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座. 梁作用有均布荷载 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa.试校核该梁的强度. 例题 列静力平衡方程 变形协调方程

例题 试求图示梁的支反力 在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定.

结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力. 例题 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力. 将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超静定。

当系统的温度升高时,下列结构中的____不会产生温度应力. 例题 当系统的温度升高时,下列结构中的____不会产生温度应力.

例题  图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用,梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,___是错误的. A. 若取支反力FB为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度ωB=0; B. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1=0; C. 若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1等于弹簧的变形; D. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠度ωc等于弹簧的变形。

图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接.在截面C上_____. 例题 图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接.在截面C上_____. A. 有弯矩，无剪力； B. 有剪力，无弯矩； C. 既有弯矩又有剪力； D. 既无弯矩又无剪力；

等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结构,则_____. 例题 等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结构,则_____. A. 多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0; B. 多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0; C. 多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0; D. 多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;

练习：已知外伸梁抗弯刚度EI。试求：A点挠度 P A B C L a 解： P A B a y1 P Pa A B C L a y2

练习：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况如图。AB梁抗弯刚度为EI，DC梁抗弯刚度为2EI。试求：经过滚柱所传递的压力。 解：一次超静定 A B D C L/2 P 选取静定基 得相当系统 得变形协调方程： P PL/2 P RC

练习：悬臂梁受力如图。已知：M、EI、L为 常数。求：使C=0时，P=？，并求此时的yC A C M P L/2 解：

P EI1 P P M a A A A y1 x y2 b EI2 x y 练习：试用叠加法计算刚架由于弯曲在A截面引起的垂 直位移及水平位移 P M P A a b EI1 EI2 P A A y1 y2 x x y

§7 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 1,梁的刚度校核

例题 5.13 悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa，梁的许可挠度[ω/L]=1/500。试选择工字钢的型号。 1.按强度选择 查表：选16号工字钢 2.按刚度选择 查表：选22a号工字钢

2,提高刚度的途径 提高刚度主要是指减小梁的弹性位移 弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度(EIZ)有关 对于梁,其长度对弹性位移影响较大. 因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则可增加中间支座.

扭 转 内力分量 内力分量 内力分量 轴力FN 弯矩M,剪力FS 扭矩T 应力分布规律 应力分布规律 应力分布规律 正应力均匀分布 轴向拉压 扭 转 对称弯曲 内力分量 内力分量 内力分量 轴力FN 弯矩M,剪力FS 扭矩T 应力分布规律 应力分布规律 应力分布规律 正应力均匀分布 正应力与中性轴距离成正比 切应力与距圆心距离成正比分布 切应力沿截面高度呈抛物线 应力状态 应力状态 应力状态 单轴应力状态 单轴应力状态 纯剪切应力状态 纯剪切应力状态

扭 转 强度条件 强度条件 强度条件 变形公式 变形公式 变形公式 轴向线应变 单位长度扭转角 挠曲线曲率 截面位移 截面位移 截面位移 轴向拉压 扭 转 对称弯曲 强度条件 强度条件 强度条件 变形公式 变形公式 变形公式 轴向线应变 单位长度扭转角 挠曲线曲率 截面位移 截面位移 截面位移 扭转角 挠度与转角 轴向线位移

轴向拉压 扭 转 对称弯曲 刚度条件 刚度条件 刚度条件 变形刚度条件 位移刚度条件 变形刚度条件 应变能 应变能 应变能

本章作业 5-1（d），5-2，5-3，5-5（图5-24），5-7，5-8

练习：已知外伸梁抗弯刚度EI。试求：A点挠度 P A B C L a 解： P A B a y1 P Pa A B C L a y2