自我評量

有一長方形，長為 ( 3x－5 ) 公分，寬為 ( x＋2 ) 公分，面積為 42 平方公分，試求其長與寬。 本節應用問題的解題步驟，與一年級所學相同，但因一元二次方程式常有兩個相異的解，所以最後寫答案時，要特別注意檢查是否都符合題意，或是有不合理的情形。 配合習作 P49 基礎題 1 1 面積問題 有一長方形，長為 ( 3x－5 ) 公分，寬為 ( x＋2 ) 公分，面積為 42 平方公分，試求其長與寬。

由題意可知 （3x－5）（x＋2）＝42 3x2＋6x－5x－10＝42 3x2＋x－52＝0 （3x＋13）（x－4）＝0 3x＋13＝0 或 x－4＝0 x＝－ 或 x＝4 解 3x ＋13 x － 4 －12x ＋ 13x ＝ x

因為長方形的長與寬分別為 3x－5、 x＋2， 當 x＝－ 會使其邊長為負，所以不合。 所以 x＝4 長＝3x－5＝3 × 4－5＝7 寬＝x＋2＝4＋2＝6 長方形的長為 7 公分，寬為 6 公分。 解

1.如右圖，梯形的上底為 7 公分、下底為 x 公分、高為（x＋2）公分，且其面積為 88 平方公分，求此梯形的下底。 ＝88 x2＋9x＋14＝176 x2＋9x－162＝0 （x－9）（x＋18）＝0 x＝9 或 x＝－18（不合） 梯形下底為 9 公分。

2.如右圖，三角形的底為（x＋2）公分，高為（5x－8）公分，且其面積為 4 平方公分，求此三角形的底。 ＝4 （x＋2）（5x－8）＝8 5x2＋2x－16＝8 5x2＋2x－24＝0 （x－2）（5x＋12）＝0 x＝2 或 x＝－ （不合） 三角形的底為 2＋2＝4（公分）。

配合習作 P49 基礎題 2 2 分裝問題 某水果商買進蘋果一箱，如果每 x 個裝一盒時，恰可裝滿 x 盒；如 果每（x＋1）個裝一盒時，可裝滿（x＋2）盒還多出 6 個，試問水果商買進幾個蘋果？

由題意可知 x‧ x＝（x＋1）（x＋2）＋6 x2＝x2＋3x＋8 3x2＝2x2＋6x＋16 x2－6x－16＝0 （x－8）（x＋2）＝0 x－8＝0 或 x＋2＝0 x＝8 或 x＝－2（不合） 蘋果一箱共有 x‧ x＝8 × 32 × 8＝96 所以水果商買進蘋果 96 個。 解

某雜貨店老闆買進雞蛋一箱，每 x 個裝一盒，恰可裝滿 x 盒，若賣掉 2 盒後，還剩雞蛋 120 個，試問雜貨店老闆買進幾個雞蛋？ 雜貨店老闆買進雞蛋 12 × 12＝144（ 個）。

配合習作 P49、50 基礎題 3、4 3 道路面積問題 老趙有一塊長方形土地，已知長比寬多 2 公尺，他在土地的中間挖了一個長方形的水池，水池四周剩餘的土地均為 1 公尺寬（如右圖）。若水池的面積與剩餘土地的面積相等，試問原長方形土地的長與寬各是多少公尺？

設原長方形土地的寬為 x 公尺。 由題意可知 x（x－2）＝x（x＋2）－x（x－2） x2－2x＝x2＋2x－x2＋2x x2－6x＝0 x（x－6）＝0 x＝0 或 x－6＝0 x＝0（不合）或 x＝6 所以原長方形土地的長為 8 公尺，寬為 6 公尺。 解

如右圖，在長 24 公尺、 寬 12 公尺的長方形草地 內部開闢一條等寬的十字 形道路，已知道路與草地 的長寬平行，若剩下的草地面積為 189 平方公尺，則十字形道路的寬應是多少公尺？

x － 3 x －33 －33x－3x＝－36x 設道路的寬為 x 公尺，則 24×12－24x－12x＋x2＝189 x2－36x＋99＝0 （x－3）（x－33）＝0 x＝3 或 x＝33（不合） 道路的寬為 3 公尺。

配合習作 P50 基礎題 5 4 收費問題 翰翰旅行社招攬墾丁三天兩夜旅遊，預定人數為30人，每人收費5000元，但人數若超過30人，每增加1人，則每人可減收100元。已知旅行社共收到160000元，試問共有多少人參加？

假設增加 x 人。 解 依題意可列出一元二次方程式 （30＋x）（5000－100x）＝160000 因此每人的收費為 （5000－100x） 元。

將等式左右兩邊同除以－100 可得 x2－20x＋100＝0 （x－10） 2 ＝0 x－10＝0 x＝10 （ 重根） 所以參加人數為 30＋10＝40（ 人）。 解

某社團辦活動預定人數為20人，每人收費100元，但人數若少於20人，每減少1人，則每人要加收10元。已知該社團共收到2240元，試問共有多少人參加？

假設減少 x 人，則 ( 100＋10x ) ( 20－x )＝2240 2000－100x＋200x－10x2＝2240 x2－10x＋24＝0 ( x－4 ) ( x－6 )＝0 x－4＝0 或 x－6＝0 x＝4 或 x＝6 參加人數共有 20－4＝16(人)或 20－6＝14(人)。

5 黃金分割比 如右圖，C 點在 上，且 、 、 三線段的長度滿足 ： ＝ ： 的比例關係。 若知 ＝1， ＝x，則： (1)用 x 列出此比例關係。 (2)解出 x。 (3)求 、 兩線段長度的比值。

解 (1) 因為 ＝ ＋ ＝x＋1，所以此比例關係為 （x＋1） ： x＝x ： 1 (2) x2＝x＋1 x2－x－1＝0 令 a＝1， b＝－1， c＝－1，得 b2－4ac＝(－1) 2 －4 × 1 × (－1)＝5＞0 內項乘積＝外項乘積

解 所以 x＝ ＝ ＝ 因為 1＜ ， ＜0， 當 x＝ 會使 的長度為負，所以不合。 因此 x＝ 。 (3) ＝ ＝x＝ ， 所以 、 兩線段長度的比值為 。

如右圖，Q 點在 上，且 、 、 三線段的長度滿足 ： ＝ ： 的比例關係。若知 的長度為 1，求 、 兩線段長度的比值。

設 ＝ x，由比例關係可知 x ： 1＝1 ：( x＋1) x ( x＋1)＝1， x2＋x－1＝0 令 a＝1， b＝1， c＝－1，得 b2－4ac＝12－4 × 1 × (－1)＝5＞0 所以 x＝ ＝ ( 不合) PQ ： QR 的比值為 ＝x＝ 。

一元二次方程式應用問題之解題步驟： (1) 先從問題的敘述中找出條件。 (2) 選擇一個適當的未知數。 (3) 把問題中提到的數量關係，以含文字符號的 式子表示。 (4) 依據數量關係列成一元二次方程式。 (5) 依據所列的方程式求出未知數。 (6) 依題意寫答。（注意是否符合題意，或有不 合理的情形）

4-3 自我評量 1.有兩個數，它們的差是 4，乘積是 221，求這兩個數。 設兩數為 x、x＋4。 x（x＋4）＝221 x2＋4x－221＝0 （x－13）（x＋17）＝0 x＝13 或 x＝－17 此兩數為 13、17 或 －13、－17。

2.童軍若干人，分成 x 小隊時，每小隊有( x＋3 )人，其中兩小隊負責搭帳蓬，其餘的負責野炊，已知野炊的共有 36 人，求搭帳篷的人數。 共有 2 ×（6＋3）＝18（ 人）搭帳篷。

3.安安旅行社招攬兩天一夜溫泉旅遊，預定人數為 32 人，每人收費 4000 元，但人數若超過 32 人，每增加 1 人，則每人可減收 100 元，已知旅行社共收到 129600 元，試問共有多少人參加？

設增加 x 人。 （32＋x）（4000－100x）＝129600 128000－3200x＋4000x－100x2＝129600 －100x2＋800x－1600＝0 x2－8x＋16＝0 （x－4） 2 ＝0 x＝4（重根） 共有 32＋4＝36（ 人）參加。

4.若將一正方形的一邊減少 3 公分，另一邊變成原來的 2 倍，則所得新長方形的面積比原正方形的面積多 7 平方公分，求原正方形的邊長是多少公分？ 設原正方形的邊長為 x 公分。 （x－3）‧2x＝x2＋7 2x2－6x－x2－7＝0 x2－6x－7＝0 （x－7）（x＋1）＝0 x－7＝0 或 x＋1＝0 x＝7 或 x＝－1（ 不合） 所以原正方形的邊長是 7 (公分)。

5.在圖一中，甲是一個邊長為 2 公分的正方形，乙是一個長方形，且甲、乙兩圖的面積相等。如果將甲疊在乙上面，使它們的兩個鄰邊對齊（如圖二所示）時，結果發現乙露出的部分為正方形丙，試問正方形丙的邊長是多少公分？ 圖一 圖二

設正方形丙的邊長是 x 公分，則長方形乙的長為（ x＋2） 公分、寬為 x 公分。 由甲、乙的面積相等可得 4＝x（x＋2） x2＋2x＝4 （x＋1） 2 ＝4＋12＝5 x＋1＝± x＝－1± （ －1－ 不合） 所以正方形丙的邊長是（－1 ＋ ）公分。

黃金分割比 例題 5 中的比值 （約為 1.618）是一個有趣的數，其倒數為 ＝ （約為 0.618），兩數相差 － ＝1， 古希臘人稱它們為黃金分割比。

相傳公元前六世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯發現把單弦琴的弦線在約五分之二長度的地方用承托托著時，兩邊就能彈出極美妙的和音。他認為，既然琴弦有一個完美的分割點（或比例），那麼所有線條、形狀、物體，萬事萬物，乃至宇宙，都應該有同一個完美的比例。

因此，以畢氏為首的許多古希臘數學家，窮畢生精力去研究比例。他們把美妙的比例分為十級，最高級的，亦即最美麗的比例，就是黃金分割比。

在畢氏學派的正五邊形標幟中（如圖一），共含不等長的四類線段 a、b、c、d（註：d＝a＋2b），其中 a：b與 b：c 與 c：d 都符合黃金分割比，充分表達出他們的信念。

這個代表著最能滿足人類視覺的分配比，自然被引用在建築、造型等藝術中，如圖二，古希臘時期的偉大建築帕德能神廟（Parthenon at Athens），或名雕刻家費底亞斯（Phidias）的雕像作品，都有其蹤跡。 其實，在古希臘之前，古埃及人早已發現這個神秘的數字，他們在金字塔的建築設計上，便大量的用到這個數值。直至今日，在建築設計上仍處處可見。

畫家當然也不例外，文藝復興時期義大利畫家達文西，在其名畫人體比例圖中（如圖三），即以此分析人體各部分的比例，法國還產生了名為黃金分割畫派的立體主義畫家集團。甚至婦女的服裝設計，也可與它有關。

圖四是兩件四層式的女裙，左邊是每層長度一樣的裙子，右邊的每層長度與上一層長度的比滿足黃金分割比，你喜歡哪一件呢？