線 性 代 數 第 4 章 向量空間

本章內容 4.1 向量基本介紹 4.2 點積、範數、角度及距離 4.3 廣義向量空間 4.4 子空間 4.5 向量之線性組合 4.6 線性相依與線性獨立 4.7 基底與維度 4.8 矩陣秩數 4.9 Rn空間之單範正交向量及投影

4.1 向量基本介紹 例題1:描繪位置向量

4.1 向量基本介紹 令 為一含n個實數的序列，則所有此種型式之序列組成的集合稱為n維空間，註記為Rn 例題2: R4為所有含四個實數之序列的集合，例如 (1, 2, 3, 4)為R4之元素。

4.1 向量基本介紹 令u = (u1¸···,un)、v = (v1¸···,vn)為Rn中二任意向量，而c為一純量，則向量加法及純量乘積運算定義如下： 向量加法：u + v = (u1 + v1, ···, un + vn) 純量乘積：cu = (cu1, ···, cun) 例題3:令u = (−1, 4, 3, 7)、v = (−2, −3, 1, 0)為R4中二向量，試計算u + v及3u。 解:

4.1 向量基本介紹 例題5: u(3, 2),求2u 零向量: 負向量 向量減法 解: 2(3, 2) = (6, 4) 零向量: 所有n個元素全部為零的向量(0¸0,···, 0)稱為Rn空間之零向量(zero vector)，註記為0。 負向量 向量(−1)u，寫成−u，稱為向量u的負向量(negative vector)，代表一個與u大小相等、方向相反的向量。 向量減法 (5, 3, −6) − (2, 1, 3) = (3, 2, −9)

4.1 向量基本介紹 令u, v與w分別為Rn中之向量，而c, d為純量。 u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w u + 0 = 0 + u = u u + (–u) = 0 c(u + v) = cu + cv (c + d)u = cu + du c(du) = (cd)u 1u = u

4.1 向量基本介紹 例題6: u = (2, 5, −3), v = (−4, 1, 9), w = (4, 0, 2)，求 2u − 3v + w。 解 :

4.2 點積、範數、角度及距離 點積(dot product) 令u = (u1, ···, un), v = (v1, ···, vn) u ∙ v = u1v1+ …+ unvn 例題1: 試求向量 u = (1, –2, 4) 及 v = (3, 0, 2)之點積。 解：

4.2 點積、範數、角度及距離 點積性質 令 u, v及w為Rn之向量，c為純量，則 u‧v = v‧u (u + v)‧w = u‧w + v‧w cu‧v = c(u‧v) = u‧cv u‧u  0, 且 u‧u = 0若且唯若 u = 0

4.2 點積、範數、角度及距離 Rn中向量之範數 Rn中一任意向量u = (u1, ···, un)之範數（Norm，或稱長度或大小，註記為||u||） 例題2:求解R3中向量u = (1, 3, 5)及R4中向量v = (3, 0, 1, 4)之範數。 解：

4.2 點積、範數、角度及距離 單位向量(u) 例題3: 試求向量(2,−1, 3)之範數，並請正規化此向量 單位向量(unit vector)指範數為1的向量，若v為一非零向量，則 例題3: 試求向量(2,−1, 3)之範數，並請正規化此向量 解：

4.2 點積、範數、角度及距離 柯西−舒瓦茲不等式 向量間夾角

4.2 點積、範數、角度及距離 例題4: 試計算R3中向量u = (1, 0, 0)及向量v = (1, 0, 1)間之夾角。 解：

4.2 點積、範數、角度及距離 正交(夾角90度) 例題5: 判斷下列向量組是否為正交? (1, 0) and (0, 1). 二非零向量u, v為正交，若且唯若u ∙ v = 0 例題5: 判斷下列向量組是否為正交? (1, 0) and (0, 1). (2, –3, 1) and (1, 2, 4). 解： (1, 0)‧(0, 1) = (1  0) + (0  1) = 0，正交。 (2, –3, 1)‧(1, 2, 4) = (2  1) + (–3  2) + (1  4) = 2 – 6 + 4 = 0，正交。

4.2 點積、範數、角度及距離 二點距離 例題8: 試求R4中點x = (1, −2, 3, 0)與y = (4, 0, −3, 5)間之距離。 解：

4.2 點積、範數、角度及距離 u, v之點積： u之範數： u, v之夾角： 點x,y之距離

4.3 向量空間 向量空間V為對「向量加法」與「純量乘積」二種運算均有定義，且滿足所有下列公理之一組元素所構成的集合。 加法封閉: u + v存在，且仍為V的一個元素 純量乘積封閉 cu為V的一個元素

4.3 向量空間 向量加法公理 純量乘積公理 u + v = v + u（交換率） u + (v + w)= (v + u) + w（結合率） V中存在有一零向量(zero vector)，註記為0，使得u + 0 = u V中每一元素u，均存在有另一元素u，使得u + (u) = 0 純量乘積公理 c(u + v) = cu + cv (c + d)u = cu + du c(du) = cdu 1u = u

4.3 向量空間 函數向量空間 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (cf )(x) = c[f(x)] 複數向量空間Cn

4.4 子空間 令V為一向量空間，U為其非零子集合，若U對加法運算及純量乘積運算均具封閉性，則其為V之子空間(subspace)。 例題1: U為R3中所有具形式之向量所成的子集合，試證明U為R3之子空間 解： (a, 0, 0) + (b, 0, 0) = (a + b, 0, 0)  U k(a, 0, 0) = (k a, 0, 0)  U

4.4 子空間 例題2: W為R3中所有具 (a, a2, b)形式之向量所成的子集合，試證明W為R3之子空間 解: (a, a2, b) + (c, c2, d) = (a+ c, a2 + c2, b + d)  (a + c, (a + c)2, b + d) 不具加法封閉性，所以W不是一個子空間

4.4 子空間 例題3: U是否為R3之子空間？ 解:　

4.4 子空間 例題5: 為所有小於等於n次之實數函數所成的集合,請問其否為一向量空間？ 解: 故Pn為一向量空間

4.4 子空間 例題6: W為所有具 形式之向量所成的集合，試證明不是R3之子空間 (a, a, a + 2) = (0, 0, 0), 解: 因為子空間一定包含0向量,所以 (a, a, a + 2) = (0, 0, 0), a = 0 及 a + 2 = 0 所以a無解，故W不是子空間。

4.5 向量之線性組合 線性組合 v = c1v1 + c2v2 + … + cmvm 例題1: (5, 4, 2) = (1, 2, 0) + 2(3, 1, 4)  2(1, 0, 3)

4.5 向量之線性組合 例題2: 向量(1, 5, 9)是否為(1, 2, 3), (0, 1, 4)及(2, 3, 8)等向量之線性組合 解： 有解，所以是線性組合

4.5 向量之線性組合 例題3: 將向量(4, 5, 5)表示成(1, 2, 3), (1, 1, 4)及(3, 3, 2)等向量之線性組合 解: 所以有無限多種線性組合組成

4.5 向量之線性組合 例題4: 將向量(3, 4, 6) 表示成(1, 2, 3), (1, 1, 2)及(1, 4, 5)等向量之線性組合 解: 　方程式無解，無法表示向量之線性組合

4.5 向量之線性組合 例題5: 向量 是否為 , 及 等向量 之線性組合。 解:

4.5 向量之線性組合 例題6: 矩陣 是否為 等矩陣之線性組合？ 解: 有解，所以可為線性組合。

4.5 向量之線性組合 例題7: 函數f(x) = x2+10x–7是否為g(x) = x2 +3x–1及h(x) = 2x2–x+4二函數之線性組合? 解: 有解, 所以可為線性組合。

4.5 向量之線性組合 生成集合 例題8: 試證明(1, 2, 0), (0, 1, 1)及(1, 1, 2)生成R3 一組向量v1, v2, …, vm生成(span)ㄧ個向量空間，若該空間的每一個向量都可以表示成這組向量之線性組合。 例題8: 試證明(1, 2, 0), (0, 1, 1)及(1, 1, 2)生成R3 解:

4.5 向量之線性組合 例題12: 令U為由(1, 2, 0)及(3, 1, 2)所生成之R3子空間，而V為由(1, 5, 2)及(4, 1, 2)所生成之R3子空間，試證明U = V。 解: 題意等同於證明下式有唯一解

4.5 向量之線性組合 例題13: U為由函數f(x) = x + 1及g(x) = 2x2  2x + 3所構建的向量空間，試證明函數h(x) = 6x2  10x + 5在U中。 解: 題意為證明 c1f + c2g = h 有唯一解

4.6 線性相依與線性獨立 線性獨立(相依) 向量空間V之一組向量{v1, v2, …, vm}為線性相依(linearly dependent)，若存在有一組不全為零之純量c1, c2, …, cm，使得 c1v1 + c2v2 +… +cmvm = 0 一組向量{v1, v2, …, vm}為線性獨立(linearly independent)，若下式 僅在c1 = c2 = …= cm = 0時成立。

4.6 線性相依與線性獨立 例題1: 證明{(1, 2, 3), (2, 1, 1), (8, 6, 10)}為R3中之一組線性相依向量 解:

4.6 線性相依與線性獨立 例題2:證明{(3, 2, 2), (3, 1, 4), (1, 0, 5)}為R3中之一組線性獨立向量 解:

4.6 線性相依與線性獨立 例題3: 向量空間P2之函數f(x) = x2 + 1、g(x) = 3x  1及h(x) = 4x + 1，試證明{f, g, h}為線性獨立 解:

4.7 基底與維度 基底(basis) 標準基底(standard basis) 一有限個數之向量組{v1, v2, …, vm}為向量空間V之一組基底(basis)，若且唯若該組向量生成向量空間V，且互為線性獨立。 標準基底(standard basis) {(1, 0, …., 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 1)} 為向量空間Rn之一組基底，此組基底稱為Rn的 標準基底

4.7 基底與維度 例題1:試證明{(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)}為向量空間R3之一組基底 解:

4.7 基底與維度 例題2: 證明{f, g, h}為P2之一組基底，其中f(x) = x2 + 1、g(x) = 3x  1及h(x) = 4x + 1 解:

4.7 基底與維度 維度(dim) 例題3: 求R3中一組向量{(1, 2, 3), (2, 4, 1)}之維度 若向量空間V有一含n個向量之基底，則稱向量空間V之維度為n，註記為dim(V) = n。 例題3: 求R3中一組向量{(1, 2, 3), (2, 4, 1)}之維度 解:

4.7 基底與維度 例題4: 試證向量組{(1, 3, 1), (2, 1, 0), (4, 2, 1)}為R3之一組基底 解:

4.7 基底與維度 例題5: 向量組{(1, 0, 2), (0, 1, –3)}是否為R3中具(a, b, 2a – 3b)形式向量所組成之子空間的基底 解:

4.8 矩陣秩數 例題2:計算下列矩陣的秩(Rank) 解:

4.8 矩陣秩數 範例3: 試求下列矩陣之秩數 解:

4.8 矩陣秩數 例題4: 求取下列矩陣列空間之一組基底，並求解其秩數 解: 利用基本列運算A之列簡梯形 基底：(1, 0, 7),(0, 1, –2); Rank(A) = 2

4.8 矩陣秩數 例題5: 求解下列矩陣A行空間之一組基底 解: 　　　　　 基底：　　　

4.8 矩陣秩數 考量一m個方程式n個未知數的線性方程式系統AX = B 唯一解: 無限多解: 無解: 若增廣矩陣及係數矩陣具相同秩數r，且r = n，則有唯一解。 無限多解: 若增廣矩陣及係數矩陣具相同秩數r，且r < n，則有無限多解。 無解: 若增廣矩陣及係數矩陣之秩數不同，則無解。

4.8 矩陣秩數 令A為一n × n矩陣，則下列敘述均為相等(或等價, equivalent). |A|  0 （即A為非奇異） A與In列等價 Rank(A) = n Rn的行向量形成Rn的一組基底 方程式系統AX = B有唯一解

4.9 Rn之單範正交向量及投影 正交集合(orthogonal set) 單範正交集合(orthonormal set) 向量空間V中之一向量集合稱為正交集合，若該組向量集合中之任意二向量均互為正交。 單範正交集合(orthonormal set) 而當正交集合中的每一向量亦均為單位向量時，則稱該集合為單範正交集合。

4.9 Rn之單範正交向量及投影 例題1：證明向量集合 為單範正交集合 解: 任意一對向量均互為正交,每一向量均為單位向量

4.9 Rn之單範正交向量及投影 正交基底 單範正交基底 標準基底(單範正交基底 ) 若一組基底亦同時為正交集合，則稱該組基底為正交基底。 若一組基底亦同時為單範正交集合，則稱該組基底為單範正交基底。 標準基底(單範正交基底 ) R2: {(1, 0), (0, 1)} R3: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Rn: {(1, …, 0), …, (0, …, 1)}

4.9 Rn之單範正交向量及投影 X {u1, …, un}為向量空間Rn中的一組單範正交基底，而v為Rn之向量，則v可以表示成此組基底之線性組合，即

4.9 Rn之單範正交向量及投影 例題1: u1, u2及u3構成R3之一組單範正交基底, 試將v = (7, –5, 10)表示成這些向量之線性組合 解：

4.9 Rn之單範正交向量及投影 W若一矩陣之行向量形成一組單範正交集合，則稱該矩陣為正交矩陣(orthogonal matrix)。 解:

4.9 Rn之單範正交向量及投影 令A為一正交矩陣，則 矩陣A之列向量形成一組單範正交集合。 矩陣A為可逆，且 A-1 = At。

4.9 Rn之單範正交向量及投影 投影 v在另一非零向量u之投影(projection, 註記為projuv)，定義為

4.9 Rn之單範正交向量及投影 例題4:求取向量v = (6, 7)在向量u = (1, 4)之投影 解：

4.9 Rn之單範正交向量及投影 Gram-Schmidt 正規化程序 令 {v1, …, vn}為向量空間V中一組基底，則依下列程序定義之向量集合 {u1, …, un}為一組正交基底。而將 u1, …, un .逐一正規化，即可得V之一組單範正交基底。

4.9 Rn之單範正交向量及投影 例題5: R4中的向量集合{(1, 2, 0, 3),(4, 0, 5, 8),(8, 1, 5, 6)}為線性獨立，此組向量形成R4三維子空間V之一組基底，試建構V之一組單範正交基底。 解：

4.9 Rn之單範正交向量及投影 故單範正交基底為

4.9 Rn之單範正交向量及投影 向量在子空間上的投影 令W為Rn之子空間，而 {u1, …, un}為W的一組單範正交基底，若v為Rn之一任意向量，則v在W之投影(註記為 projWv)可定義如下

4.9 Rn之單範正交向量及投影 w及w 令W為Rn之子空間，則Rn中任意向量v可以唯一表示成v = w + w= projWvv+(v – projWvv) 其中w為W中之向量，而w,為正交於W之向量

4.9 Rn之單範正交向量及投影 例題6: v = (3, 2, 6)，令W為R3中包含所有具(a, b, b)形式之向量的子空間，試將v分解成一個W中之向量及一個正交於W之向量的加總。 解: 1.先求基底 (a, b, b) = a(1, 0,0) + b( 0, 1, 1) {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} 2.改成單範 3.求ProjwV 4.求V-ProjwV

4.9 Rn之單範正交向量及投影 點與子空間的距離

4.9 Rn之單範正交向量及投影 例題7: 求R3中一點 x = (4, 1, -7)到R3中包含所有具(a, b, b)形式之向量子空間W的距離。 解: 1.先求基底 (a, b, b) = a(1, 0,0) + b( 0, 1, 1) {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} 2.改成單範 3.求ProjwV 4.求V-ProjwV

習題: 綜合習題 1~15,17,19~30,35~39 本 章 結 束 !