第 11 章 母體變異數的推論

統計實例 美國國會會計總署 (The US General Accounting Office, GAO) 乃聯邦政府 立法部門轄下一個獨立運作的非政治 性稽核機構。 GAO 稽核員的主要任務為判定現有與 擬定的聯邦計畫的成效，所以必須嫻 熟記錄整理、立法研究，以及統計分析技術。 GAO稽核的目的之一為確保各廠所排放的污水符合特定的標準。至於檢查的項目種類繁多，包括污水樣本的含氧量、pH值(酸鹼值)及懸浮粒數量等資料。 他們會審慎地檢視污水的平均 pH 值，此外也會檢視 pH值的變異數，並進行以下關於污水母體 pH 值的變異數假設檢定。 在本章中，你將可學到如何進行單一母體及兩母體變異數的統計推論。 第11章 母體變異數的推論 第424頁

第11章 母體變異數的推論 11.1 單一母體變異數的推論 11.2 兩母體變異數的推論 第11章 母體變異數的推論 第423頁

單一母體變異數的推論 猜猜看、想想看要推論「母體變異數」要用怎麼做？要什麼資料？什麼統計量數？ 您目前所學到的抽樣分配中，公式定義中同時有σ與s嗎？ 第11章 母體變異數的推論 第423頁

卡方分配 卡方分配係基於一常態母體之抽樣。 只要從一常態母體中抽取一樣本數 n 的簡單隨機樣本，則 (n - 1)s2/σ2 的抽樣分配必為卡方分配。 卡方分配可用來進行單一母體變異數的區間估計與假設檢定。 卡方分配？卡方分配的期望值與變異數？ 第11章 母體變異數的推論 第425頁

(n - 1)s2/ 2抽樣分配(卡方分配)的例子 自由度為2 自由度為5 自由度為10 第11章 母體變異數的推論 第425頁 圖11.1

2的區間估計 有(1 – a)的機會可抽取到一個c2值，且 用(n－1)s2/σ2取代上式中的 c2，可得 做代數運算後，可得 第11章 母體變異數的推論 第428頁

2的區間估計 單一母體變異數的區間估計 其中  值是基於自由度為 n－1 的卡方分配， 且信賴係數為1－α。 第11章 母體變異數的推論 第428頁

 2 的區間估計 單一母體變異數的區間估計 母體標準差之信賴區間可藉由計算母體變異數 信賴區間之上下極限平方根值求出。 第11章 母體變異數的推論 第428頁

2 的區間估計(實例) 某清潔劑裝填於容器內的生產過程中，裝填設備被設定為每個容器的平均裝填量為16盎司，能達到平均16盎司固然很好，但也需注意裝填的變異數。 選取 20 個容器為一樣本，並計算出裝填量的樣本變異數為 s2＝0.0025。然而，我們無法預期這 20 個容器的樣本變異數與已裝填容器的母體恰好相等，請問「樣本變異數」與「母體變異數」相同與否要如何做？ 第11章 母體變異數的推論 第426頁

2 的區間估計(實例) 以 代表卡方分配的某個值，在此值的右邊面積或機率為 α 。 以 代表卡方分配的某個值，在此值的右邊面積或機率為 α 。 圖 11.2 中，自由度為 19 的卡方分配其 ＝32.852，表示有 2.5% 的卡方值會落在 32.852 的右邊；同理， ＝8.907 表示有 97.5% 的卡方值在此值的右邊。 對照表 11.1 中自由度為 19 的卡方值 (第 19 列)，可查得這些數字。附錄 B 中的表 3提供了更詳盡的卡方值。 第11章 母體變異數的推論 第426頁

2 的區間估計(實例) 第11章 母體變異數的推論 第426頁 圖11.2

2 的區間估計(實例) 第11章 母體變異數的推論 第427頁 表11.1

2 的區間估計(實例) 第11章 母體變異數的推論 第427頁 表11.1

2 的區間估計(實例) 由圖 11.2 可得知有 0.95 或 95% 的卡方值，會落在 與 之間；也就是說，我們有 0.95 的機會抽取到一個χ2值，且 由於式 (11.2) 中已指出 (n－1)s2/σ2 服從卡方分配，所以可用 (n－1)s2/σ2 取代上式中的χ2，而得到公式如下。 第11章 母體變異數的推論 第426頁

2 的區間估計(實例) 所有可能的 (n－1)s2/σ2值中有 0.95 或 95% 會落在    與   之間。現在，為了建立母體變異數 σ2的區間估計值，我們必須對做一些移項的工作。首先，先看左半邊的不等式 因此 或者 第11章 母體變異數的推論 第426.428頁

2 的區間估計(實例) 右半邊的不等式做類似的移項，可得到 結果合併得到 即為母體變異數 σ2 的 95% 信賴區間的估計值。 結果合併得到 即為母體變異數 σ2 的 95% 信賴區間的估計值。 第11章 母體變異數的推論 第428頁

2 的區間估計(實例) 將這些值代入式中即可求得母體變異數的區間估計值如下 或 取這些值的平方根，可得到母體標準差的 95% 信賴區間如下 第11章 母體變異數的推論 第428頁

母體變異數的假設檢定 左尾檢定 假設檢定 其中 母體變異數的假設值 統計檢定量 第11章 母體變異數的推論 第431頁

母體變異數的假設檢定 左尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法： 若 ，拒絕 H0 p 值法： 若 p 值 ≤ a ，拒絕 H0 其中 值是基於自由度為 n - 1 的卡方分配 第11章 母體變異數的推論 第431頁

母體變異數的假設檢定 右尾檢定 假設檢定 其中 母體變異數的假設值 統計檢定量 第11章 母體變異數的推論 第431頁

母體變異數的假設檢定 右尾檢定 (續) 拒絕法則 若 ，拒絕 H0 絕對值法： p 值法： 若 p 值 ≤ a ，拒絕 H0 其中 值是基於自由度為 n - 1 的卡方分配 第11章 母體變異數的推論 第431頁

母體變異數的假設檢定 雙尾檢定 假設檢定 其中 母體變異數的假設值 統計檢定量 第11章 母體變異數的推論 第431頁

母體變異數的假設檢定 雙尾檢定 (續) 拒絕法則 絕對值法： 若 ，拒絕 H0 p 值法： 若 p 值 ≤ a ，拒絕 H0 其中 與 值是基於自由度為 n - 1 的卡方分配 第11章 母體變異數的推論 第431頁

母體變異數的假設檢定(實例1) 聖路易 Metro Bus 公司希望藉著鼓勵旗下的駕駛員行車準時，提升該公司可信賴的形象。該公司提出的標準政策為希望各站到達時間有極低的變異性，其標準為到達時間的變異數必須在 4 分鐘以內。建立假設檢定？ 第11章 母體變異數的推論 第429頁

下面即為協助該公司判斷到達時間的母體變異數是否過大的假設檢定：. H0：σ2 ≤ 4 下面即為協助該公司判斷到達時間的母體變異數是否過大的假設檢定： H0：σ2 ≤ 4 Ha：σ2 > 4 若假設 H0為真，則假定到達時間的母體變異數均符合公司規定 以 α＝0.05的顯著水準進行假設檢定。 假定在市區某個十字路口觀察隨機樣本 24 輛公車的到站時間之樣本變異數為 s2＝4.9

母體變異數的假設檢定(實例) 如果到站時間的母體分配為近似常態，則檢定統計量計算如下： 自由度為 n－1＝24－1＝23 的卡方分配如圖 11.3 所示。 第11章 母體變異數的推論 第429頁

母體變異數的假設檢定(實例) 第11章 母體變異數的推論 第429-430頁 圖11.3

母體變異數的假設檢定(實例) p 值法： 因此為右尾檢定，故位於檢定統計量χ2 ＝28.18 右邊區域的值即為本檢定的 p 值。 第11章 母體變異數的推論 第429-430頁

母體變異數的假設檢定(實例) 絕對值法： 當α＝0.05 時， 值即為右尾假設檢定的臨界值。使用表 11.1，查得自由度為 23 之 ＝ 35.172，則到站時間範例的拒絕法則為 若 χ2>35.172，則拒絕 H0 因為檢定統計量 χ2＝28.18，故我們不能拒絕虛無假設。 第11章 母體變異數的推論 第430頁

實例2 以車輛監理站所面臨的情形為例，說明如何以卡方分配進行單一母體變異數的雙尾檢定。 根據紀錄，考駕照者的測驗成績之變異數為 σ2＝100。監理所目前剛設計出一份新的測驗卷，主管希望考駕照者成績的變異數仍維持既有水準，請建立研究假設？ 第11章 母體變異數的推論 第430頁

為評估新測驗卷成績的變異數，而擬出雙尾檢定如下。 H0：σ2 ＝ 100 Ha：σ2 ＝ 100 如果 H0 被拒絕，表示變異數確已改變，因而有必要修改新測驗卷的部分試題，以使新測驗卷成績的變異數與舊測驗卷相同。

母體變異數的假設檢定(實例) 使用 α＝0.05 的顯著水準進行檢定，並抽取30位申請駕照者為樣本，給予新測驗卷作答。 此30份測驗成績的樣本顯示，其樣本變異數為 s2=162，卡方檢定統計量之值為： 計算 p 值 第11章 母體變異數的推論 第430-431頁

母體變異數的假設檢定(實例) 所以，χ2＝46.98 之檢定統計量代表在卡方分配右尾介於 0.025 與 0.01 的區域，加倍此值後顯示出雙尾檢定的 p 值介於 0.05 與 0.02 之間。 若使用 Minitab 或 Excel，可求出正確的 p 值＝0.0374。因為 p 值 ≤ α ＝0.05，所以我們拒絕 H0，並獲致新測驗分數的母體變異數，與既有的變異數 σ2＝100 間有差異的結論。 第11章 母體變異數的推論 第431頁

母體變異數的假設檢定(實例) 第11章 母體變異數的推論 第431頁 表11.2

11.2兩母體變異數的推論 現在您已經學會了單一母體變異數(標準差)的統論推論。那將此推廣至兩母體變異數的推論，請問您要怎麼做？ 兩母體變異數推論的例子： 學生與就業人士的上網時間變異數的比較？ 抽煙與不抽煙的人在壽命變異數的比較？ 抽樣分配為何？

11.2 兩母體變異數的推論 自兩個獨立常態母體，分別為母體1與母體2，抽取兩獨立隨機樣本，一個樣本取自母體1，另一個取自母體2 11.2　兩母體變異數的推論 自兩個獨立常態母體，分別為母體1與母體2，抽取兩獨立隨機樣本，一個樣本取自母體1，另一個取自母體2 得到兩獨立卡方統計量 F分配

兩母體變異數的推論 雙尾檢定 假設檢定 注意：母體 1 具有較大之樣本變異數 統計檢定量 第11章 母體變異數的推論 第438頁

兩母體變異數的推論 雙尾檢定 (續) 拒絕法則 臨界值法： 若 F ≥ F/2 ，則拒絕 H0 p 值法： 若 p 值 ≤ a ，則拒絕 H0 第11章 母體變異數的推論 第438頁

兩母體變異數的推論 右尾檢定 假設檢定 統計檢定量 第11章 母體變異數的推論 第438頁

兩母體變異數的推論 右尾檢定 (續) 拒絕法則 臨界值法： 若 F ≥ F，則拒絕 H0 p 值法： 若 p 值 ≤ a ，則拒絕 H0 右尾檢定 (續) 拒絕法則 臨界值法： 若 F ≥ F，則拒絕 H0 故檢定統計量具有分子為 n1－1 個自由度 且分母為 n2－1 個自由度之 F 分配。 p 值法： 若 p 值 ≤ a ，則拒絕 H0 第11章 母體變異數的推論 第435.438頁

兩母體變異數的推論 第11章 母體變異數的推論 第434頁 圖11.4

兩母體變異數的推論 第11章 母體變異數的推論 第435頁 表11.3

兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) Dullus County 學校正要訂立明年的校車服務契約，且要從 Milbank 公司及 Gulf Park 公司兩家公車業者之間擇其一。 該校主要是以校車到達或接送時間的變異數，作為校車服務品質的主要指標，變異數愈低表示愈準時且服務品質愈高。 如果這兩種服務的到達時間之變異數相等，該校將選擇收費較低的公司；反之，如果兩者到達時間的樣本資料顯示，變異數之間確有顯著差異，則該校在選擇時，將對服務較好或變異數較低的公司予以特別考量。 第11章 母體變異數的推論 第436頁

兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) 其假設如下 若 H0 被拒絕，我們將認定這兩種服務的品質不相等。此時，樣本變異數較低的公司將獲得青睞。我們將以 α＝0.10 的顯著水準來進行假設檢定。 第11章 母體變異數的推論 第436頁

兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) 抽樣 26 個 Milbank 公司到達時間的樣本之樣本變異數為 48，抽樣 16 個 Gulf Park 公司到達時間的樣本變異數為 20。Milbank 的樣本有較大的樣本變異數，故我們視其為母體 1。 檢定統計量為 相對之 F 分配的分子自由度為 n1－1＝26－1＝25，分母自由度則為 n2－1＝16－1＝15。 第11章 母體變異數的推論 第436頁

兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) p 值法 因為 F＝2.40介 於 2.28 與 2.69 之間，故此分配之右尾面積亦介於 0.05 與 0.025。因為此為雙尾檢定，故我們加倍右尾面積，得 p 值介於 0.10 與 0.05 之間。在此檢定中，因 α＝ 0.10，p 值＜α＝ 0.10，所以拒絕虛無假設。 這項結論說明此兩家公司在接送時間的變異數確有差異。因此， Dullus County 學校的管理者應對 Gulf Park 公司之較佳或較小變異數的服務，予以較高的評價。 第11章 母體變異數的推論 第436頁

兩母體變異數的推論(雙尾檢定實例) 臨界值法 在 α＝0.10 的顯著水準下，運用臨界值法進行雙尾檢定時，我們需令在分配的各個尾部面積為 α/2＝ 0.10/2 ＝ 0.05。 F0.05 = 2.28，2.28，故雖然我們進行雙尾檢定，其拒絕法則仍為： 若 F ≥ 2.28，則拒絕 H0 因為檢定統計量 F＝ 2.4 大於 2.28，故拒絕 H0，而獲致兩家汽車公司在接送服務的變異數上確有不同的結論。 第11章 母體變異數的推論 第437頁

兩母體變異數的推論(單尾檢定實例) 以某項民意調查抽取了 31 位男士及 41位女士為兩樣本，以研究民眾對當前政治議題的看法。研究人員想檢定的是，此樣本資料是否顯示女性對政治議題態度的變異數高於男性。利用前述的單尾假設檢定形式，我們將女性視為母體 1，而男性則視為母體 2。調查結果顯示女性的樣本變異數為 S2=120，男性的樣本變異數為S2=80 (α＝0.05 ) 第11章 母體變異數的推論 第437頁

如果 H0被拒絕，該研究人員將有充分的統計證據支持女性對政治議題態度的變異數較高的推論。

兩母體變異數的推論(單尾檢定實例) 以女性的樣本變異數為分子，男性的樣本變異數為分母，所以 F 分配的分子自由度為 n1－1＝41－1＝40，而分母的自由度為 n2－1＝31－1＝30。我們將用 α＝0.05 的顯著水準來進行此假設檢定。調查結果顯示女性的樣本變異數為 120，男性的樣本變異數為 80，且檢定統計量為 第11章 母體變異數的推論 第437頁

兩母體變異數的推論(單尾檢定實例) 檢定統計量 F＝1.50 小於 1.57，右尾面積必定大於 0.10，所以，我們確信 p 值大於 0.10。 因為 p 值 >α＝ 0.05，故不能拒絕 H0。 所以，該樣本結果並不支持女性對政治性議題的態度之變異數高過男性的結論。 第11章 母體變異數的推論 第437頁

兩母體變異數的推論 第11章 母體變異數的推論 第438頁 表11.4

作業 4，8，14，18，27，30，34

End of Chapter 11

選取 16 個容器為一樣本，並計算出裝填量的樣本變異數為 s2＝0 查表F0.1,10,15 查表F0.9,15,10