communication principles 辽宁省精品资源共享课电子教案 communication principles 通信原理电子教案 电子教案制作: 沈阳理工大学 信息科学与工程学院 李 环 lihuan9999@yeah.net QQ:1716448649 主要参考教材： 1.通信原理（第六版），作者：樊昌信 曹丽娜 国防工业出版社 2.通信系统仿真设计与应用，作者：李环 任波 华宇宁 电子工业出版社　　　　　　　　　　　　　　

第 三 章 随 机 过 程 3.1 随机过程的基本概念 3.2 典型随机过程

3.2 典型随机过程 1. 平稳随机过程 2. 高斯随机过程 3. 窄带随机过程 4. 随机过程通过线性系统

狭义平稳(严平稳)随机过程定义 指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。 若对于任意正整数n和任意实数t1＜t2＜…＜tn,τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足： fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ) 则称ξ(t)是平稳随机过程。 该定义说明：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。

平稳过程特性 一维分布与时间t无关，即有 ： f1(x1, t1)=f1(x1) 二维分布只与时间间隔τ有关： 式中：τ= t2 -t1, f2(x1,x2;t1,t2)= f2(x1,x2;t1,t1+τ)= f2(x1,x2;τ) 平稳随机过程ξ(t)的均值： 为常数 平稳随机过程的方差σ2(t)=σ2=常数。 平稳随机过程ξ(t)的自相关函数： R(t1,t2)= R(t1,t1+τ)= E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ = R(τ) 仅是时间间隔τ=t2-t1的函数 平稳随机过程ξ(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值为常数；自相关函数只与时间间隔τ有关，R(t1,t1+τ)=R(τ)

广义平稳随机过程定义 定义：称均值是常数，自相关函数是τ的函数的随机过程为宽平稳或广义平稳随机过程。 狭义平稳过程与广义平稳的关系： 狭义平稳过程一定是广义平稳过程 但广义平稳过程不一定是狭义平稳过程。 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。

各态历经性 随机过程的任一实现，好像经历了随机过程的所有可能状态。可以化“统计平均”为“时间平均”。 随机过程的数学期望（统计平均值）可以用任一实现的时间平均值来代替。 

只有平稳随机过程才具有各态历经性，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程。 但平稳随机过程不一定是各态历经的。 平稳过程，当 时，认为该过程是各态历经的。 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件

R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)] 平稳随机过程自相关函数 R(τ)具有下列主要性质： R(0)=E［ξ2(t)］=P ［ξ(t)的功率（平均功率或总功率）］ R(∞) = E[ξ(t)ξ(t+ ∞)]=E[ξ(t)]·E[ξ(t + ∞)] =E2［ξ(t)］ ［ξ(t)的直流功率］ 当τ→∞时ξ(t)与ξ(t+τ)统计独立，且认为ξ(t)中不含周期分量。 R(τ)=R(-τ) ［τ的偶函数］ |R(τ)|≤R(0) ［R(τ)的上界］ R(0)-R(∞)=E[ξ2(t)]－E2[ξ(t)]=σ2 [ξ(t)的交流功率=方差］ 当均值为0时，直流功率为0，有：R(0)=σ2 ，功率等于方差。

平稳随机过程的功率谱密度 自相关函数R(τ)与功率谱密度Pξ(ω)互为傅立叶变换对 因为R(0)表示随机过程的平均功率，等于功率谱密度的积分，即功率谱密度曲线下的面积。 或 称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。

[例3.2-1] 某随机相位正弦波ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中ω0为常数，θ是在区间(0,2π)内均匀分布的随机变量。 （1）求ξ(t)的期望、方差、自相关函数 （2）讨论ξ(t)是否平稳？ （3）求ξ(t)的功率谱密度及平均功率、直流功率、交流功率。 （4）讨论ξ(t)是否具有各态历经性？

(1) (2) 可见:ξ(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以ξ(t)为广义平稳随机过程。

(3) 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度互为傅里叶变换: 功率谱密度为： 平均功率为： P =R(0) 或： 平均功率为： R(0)=E［ξ2(t)］=P =1/2 （即总功率） 均值的平方： E2 [X(t)]=0 （即直流功率） 方差为：D[X(t)]=E[X2(t)]- E2[X(t)]= 1/2 （即交流功率）

(4)讨论各态历经性:求ξ(t)的时间平均： 比较统计平均与时间平均，得a = , R(τ)= ， 因此，随机相位正弦波是各态历经的。

3.2 典型随机过程 1. 平稳随机过程 2. 高斯随机过程 3. 窄带随机过程 4. 随机过程通过线性系统

高斯随机过程 正态分布也称高斯分布，是高斯从测量误差分布的实验中导出的。 中心极限定理指出：大量独立随机变量之和的分布趋于正态分布，而与每个随机变量的分布无关。 正态分布在各种分布中占有特殊重要的地位，通信系统中的噪声通常是正态分布。 均值a，方差为σ2的正态分布记为N(a, σ2)，概率密度函数为：

高斯随机过程的定义 若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 式中, ak=E[ξ(tk)]，σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2}，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即：

|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且 b12 … b1n b21 1 … b2n bn1 bn2 … 1 … … … … |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且

高斯过程重要性质 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的一维和二维数字特征就可以了。 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值为常数，协方差函数只与时间间隔有关，由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j≠k有bjk=0，|B|=1, 则：也是统计独立的。

fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)= =f(x1,t1)·f(x2,t2)…f(xn,tn) 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。 高斯过程经线性变换后仍为高斯过程。 若 、 为高斯分布，则 也为高斯分布。

高斯过程与一般随机过程性能比较 上述特性是高斯过程特有的，一般随机过程无此特性。 一般随机过程 高斯过程 若统计独立，则必不相关；反之，则不然，即：若不相关，则不一定统计独立。 若不相关，则统计独立。 若狭义平稳，则必广义平稳；反之，则不然，即：若广义平稳，则不一定狭义平稳。 若广义平稳，则狭义平稳。

高斯分布函数的计算--查表法（附录B） 误差函数： 互补误差函数： 或： Q(x)函数： 或： 红线下面积为Q函数 蓝线下面积为为F(x)

[例3.2-2] Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是一随机过程。若X1、X2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，求： ⑴ E[Z(t)] 、 D[Z(t)] ⑵ Z(t)的一维概率密度函数f(z) ⑶ Z(t)的自相关函数Rz(t1、t2) ⑷ 此随机过程是否广义平稳？ ⑸ Z(t)的平均功率,直流功率,交流功率.

⑴ E[Z(t)]=E[X1cosw0t－X2sinw0t ]=cosw0t·E[X1]－sinw0t·E[X2] 已知 E[X1] = E[X2 ] =0 ∴ E[Z(t)] =0 E[Z2(t)]= E[(X1cosw0t － X2sinw0t)2 ] =cos2w0t E[X12]－2cosw0tsinw0t E[X1X2 ]＋ sin2w0t E[X22] ∵ D[X1]= E[X12] － E2[X1] = σ2， E2[X1] =0 ∴ E[X12] = σ2 同理： E[X22] = σ2 ∵ X1、 X2是彼此独立 ∴E[X1X2 ]= E[X1] E[X2] =0 ∴ E[Z2(t)]= cos2w0t ·σ2 + sin2w0t·σ2 = σ2 D[Z(t)]= E[Z2(t)]－E2[Z(t)] = σ2

⑵ Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是正态随机变量X1、 X2的线性变换，所以Z(t)是正态随机过程，只要求出Z(t)的均值和方差，带入正态分布的一维概率密度函数公式即得: (5) E[Z(t)] =0, Z(t)的直流功率= E2[Z(t)]=0, 交流功率= D[Z(t)] = σ2 平均功率=直流功率+交流功率=σ2 或: E[Z2(t)]= σ2

=σ2[cosw0t1cosw0t2 + sinw0t1sinw0t2] = σ2cosw0( t1-t2) = σ2cosw0τ Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t (3) R z(t1、t2) = E[Z(t1) Z(t2) ] = E[(X1cosw0t1 - X2sinw0t1)(X1cosw0t2 - X2sinw0t2)] = cosw0t1cosw0t2 E[X12] - cosw0t1sinw0t2 E[X1X2 ] -sinw0t1cosw0t2 E[X1X2 ] +sinw0t1sinw0t2 E[X22] =σ2[cosw0t1cosw0t2 + sinw0t1sinw0t2] = σ2cosw0( t1-t2) = σ2cosw0τ ⑷ a = E[Z(t)] = 0为常数， Rz(t1、t2) = Rz(τ)是τ的函数 此随机过程是广义平稳随机过程。 X1与X2不相关 E[X1X2 ]= E[X1] E[X2 ]

3.2 典型随机过程 1. 平稳随机过程 2. 高斯随机过程 3. 窄带随机过程 4. 随机过程通过线性系统

窄带随机过程的定义 所谓“窄带”系统，是指其频谱被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率又远离零频率。 通带宽度△f<<fc，且fc远离零频率 例如随机过程通过以fc为中心频率的带通滤波器后，即是窄带过程。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，信号和噪声都满足“窄带”的假设。

△f<<fc，且fc远离零频率 窄带过程的频谱和波形示意

窄带随机过程:ξ(t)=aξ(t)cos[ωct+φξ(t)] 窄带随机过程的正交表示 窄带随机过程:ξ(t)=aξ(t)cos[ωct+φξ(t)] ξ(t)=aξ(t)cosφξ(t)cosωct- aξ(t) sinφξ(t) sinωct 令：ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) -- 称为ξ(t)的同相分量 ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t) -- 称为ξ(t)的正交分量 等价式为： ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct ξc(t)及ξs(t) 也是随机过程，具有低通性质，均属于低通型过程 ξ(t)的统计特性由aξ(t),φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的统计特性确定.反之,如果已知ξ(t)的统计特性则可确定aξ(t),φξ(t)和ξc(t),ξs(t)的统计特性。

同相和正交分量的统计特性 前提条件：针对一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)； 结论： 它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。 在同一时刻上得到的ξc(t)和ξs(t)是互不相关的或统计独立的。

包络和相位的统计特性 前提条件：针对一个均值为零，方差为σ2ξ的窄带平稳高斯过程ξ(t) 结论： 包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布： 相位φξ(t)的一维分布是在（0，2π）内均匀分布； 就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即： f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)

白噪声功率谱密度在整个频率范围内均匀分布，是一个理想的宽带随机过程。即双边功率谱密度为n0/2： n0为常数，单位：w/Hz(瓦/赫兹) Pξ(ω)= R(τ)= 只在τ=0时才相关 τ≠0， R(τ)=0 f τ 说明白噪声在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。 理想化的白噪声在实际中是不存在的，但是，如果噪声的功率谱的频率范围远远大于通信系统的工作频带，可以视为白噪声。在通信系统中，一般把信道噪声近似为白噪声。

一般情况下，接收机的前端是一个带通滤波器。宽带的白噪声经此滤波器后，就成为了窄带白噪声。 BPF 带通滤波器 Pξ0(ω) Pξi(ω) BPF的作用： 让有用信号通过，滤除带外噪声 经带通滤波器后的窄带白噪声功率为： P=单边功率谱密度的积分= n0 B

答：∵白噪声只有在τ=0时才相关，即自相关，而在任意两个时刻t1,,t2 (t1, ≠t2)上的随机变量都是互不相关的。 思考题： (1)窄带高斯白噪声，“窄带” 、“高斯” 、“白”的含义？ 答： “窄带”是指其频谱被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率又远离零频率。 “高斯”是指其概率密度函数服从高斯分布。 “白”是指它的功率谱密度在整个频率范围内均匀分布： (2)高斯白噪声n(t)的数学期望为1，方差也为1，求二维概率密度函数 Pξ(ω)= 答：∵白噪声只有在τ=0时才相关，即自相关，而在任意两个时刻t1,,t2 (t1, ≠t2)上的随机变量都是互不相关的。 又∵是高斯分布∴统计独立，f(x1,x2;t1,,t2)= f(x1, t1) f(x2,,t2)

接收机前端带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。通信系统中最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波： r(t)=A cos(ωct+θ)+n(t) 噪声部分n(t)=nc(t) cosωct-ns(t) sinωct 信号部分 正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为广义瑞利分布，也称莱斯分布。 小信噪比时，合成波的包络接近于瑞利分布，相位接近于均匀分布；大信噪比时，包络接近于高斯分布，相位集中在有用信号相位附近。

(瑞利分布) (高斯分布) 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布

3.2 典型随机过程 1. 平稳随机过程 2. 高斯随机过程 3. 窄带随机过程 4. 随机过程通过线性系统

线性系统 H(w) ξo(t) 随机过程通过线性系统的一些性质 ξi(t) 仅讨论平稳过程通过线性时不变物理可实现系统的情况，针对确知信号。输入过程ξi(t) ，输出过程ξo(t)的统计特性： 1、E[ξo(t)] E［ξo(t)］= E［ξi(t)］ ·H(0) = a ·H(0) 2、Rξo(t1, t1+τ)= Rξo(τ) 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。 3、功率谱密度： 4. 概率分布： 如果输入是高斯过程，则系统的输出也是高斯过程。

带限白噪声 如果白噪声被限制在(-fH,fH)之内，则称为带限白噪声。 例如：功率谱密度为n0/2的白噪声ni(t)通过截止频率为fH的理想低通滤波器后，即成为带限白噪声。 求带限白噪声的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。

输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的， 在此范围外为零。 其自相关函数为 τ= k /2fH时过零点 对带限白噪声按抽样定理抽样，各抽样值是互不相关的随机变量

[例3.2-3]单边功率谱密度n0=10-9W/Hz的零均值高斯白噪声，通过截止频率为1kHz的理想低通滤波器，求输出噪声的自相关函数、平均功率、均值、方差和概率密度函数。 Pi(w)=n0，H(w)=1 ( |f|<fH=1kHz时；f取其他值时，H(w)值为0) P0(w)= Pi(w)| H(w)| 2 = n0/2 ( |f|<fH时；f取其他值时，P0(w)值为0) R(τ)=F-1[P0(w)]= 平均功率：P = R(0) = 10-6 W my=