数字摄影测量学 PHOTOGRAMMETRY 王志勇

复习 测图 3、航摄像片是地面的中心投影 航摄像片是三维地面向二维像面的奇异线性变换。 中心投影 地面 航摄像片 垂直投影 地面 地形图 地面　　　航摄像片 垂直投影 地面　　　地形图 测图 如何将中心投影的航摄像片转化为垂直投影的地形图，就成为了航空摄影测量学的主要任务之一。

复习 4、中心投影的主要特征 点的中心投影一般是点（特例）。 线段的中心投影一般是线段（特例）。 相交线段的中心投影一般是相交线段。 空间一组不与承影面平行的平行直线，其中 心投影为一平面线束。 平面曲线的中心投影一般是平面曲线。 空间曲线的中心投影是平面曲线。

复习 [二] 透视变换及其特别点、线、面 1、透视变换定义 （Definition of the Perspective Transform） 两个平面之间的中心投影变换，称为透视变换。 在透视变换的情况下，投影中心称为透视中心，像点也称为透视，物点称为投影。 T S P

复习 [三]常用的坐标系统 像平面坐标系 像空间坐标系 摄影测量坐标系 地面辅助坐标系 大地坐标系

坐标系间的关系 像面 像方坐标系 像平面坐标系 量测坐标系 像空间坐标系 起算坐标系 物方坐标系 摄测坐标系 运算坐标系 大地坐标系 物面 量测坐标系 起算坐标系 运算坐标系 成果坐标系 像方坐标系 物方坐标系

复习 [四]像片的方位元素 像点 框标坐标系 内方位元素 关系? 摄影测量 像空间坐标系 外方位元素 关系? 地面辅助坐标系 关系已知 线元素： 关系已知 地面点 大地坐标系 角元素： 内方位元素3个，外方位元素6个。

问题的提出 S f a o A

§3-4像点坐标变换 难点 一、像点的平面坐标变换 二、像点的空间坐标变换 三、旋转矩阵的性质 四、旋转矩阵的构成 内 容 安 排

一点二系 §3-4像点坐标变换 目的： 建立同一个点在像方坐标系与物方坐标系中坐标之间的对应关系。 Z Y X -f y Z x Y X z S Z -f a y 一点二系 x o A Y X

§3-4像点坐标变换 一、像点的平面坐标变换 x y o x’ y’ a 由平面解析几何   适应于同一原点的平面坐标系之间的变换

§3-4像点坐标变换 一、像点的平面坐标变换 方向 余弦 正交矩阵

§3-4像点坐标变换 一、像点的平面坐标变换 反算公式为

§3-4像点坐标变换 一、像点的平面坐标变换 x’ y’ o x y o a 当原点不同时，应加入坐标原点的平移量 y0 x0

§3-4像点坐标变换 二、像点空间坐标变换 像点的空间坐标变换通常是指像空间坐标系（x,y,-f）与像空间辅助坐标系（X,Y,Z）之间的变换 o z s

§3-4像点坐标变换 二、像点空间坐标变换 X Y Z x y o z s R称为旋转矩阵，R为正交矩阵，由三个独立参数确定

将空间坐标变换问题转化为三次平面坐标变换 §3-4像点坐标变换 1）以Y轴为主轴的、、系统的坐标变换 先绕主轴Y轴旋转角，再绕已转了角的副轴X 旋转角，最后绕已经转了和角的轴Z   （主光轴的实际位置）旋转 角，到达像空间坐标系的实际位置 将空间坐标变换问题转化为三次平面坐标变换

§3-4像点坐标变换 1）以Y轴为主轴的、、系统的坐标变换 第一步 Z Z Y a S-XYZ绕Y轴旋转角到S-XYZ X

§3-4像点坐标变换 Y X Z S Y  Z 第二步 a  S-XYZ绕X轴旋转角到S-XYZ

§3-4像点坐标变换 第三步 Y Y Z a X S-XYZ绕Z轴旋转角到S-XYZ(s-xyz)

§3-4像点坐标变换

§3-4像点坐标变换 矩阵元素 a1 = cosφcosκ - sinφsinωsinκ a2 = -cosφsinκ – sinφsinωcosκ a3 = -sinφcosω b1= cosωsinκ b2 = cosωcosκ b3 = -sinω c1 = sinφcosκ+ cosφsinωsinκ c2 = -sinφsinκ + cosφsinωcosκ c3 = cosφcosω

§3-4像点坐标变换 2）以X轴为主轴的，、，、，系统的坐标变换

§3-4像点坐标变换

§3-4像点坐标变换 a1 = cosφ’cosκ’ a2 = -cosφ’sinκ’ a3 = -sinφ’ b1= cosω’sinκ’ –sinω’ sinφ’cosκ’ b2 = cosω’cosκ’+ sinω’ sinφ’sinκ’ b3 = -sinω’ cosφ’ c1 = sinω’sinκ’+ cosω’sinφ’cosκ’ c2 = sinω’cosκ’- cosω’sinφ’sinκ’ c3 = cosφ’cosω’

§3-4像点坐标变换 3）以Z轴为主轴的A--v系统的坐标变换

§3-4像点坐标变换 旋转矩阵中，各元素的表达式为 a1 = cosAcosκv+sinAcossinv a2 = -cosAsinκv+sinAcoscosv a3 = -sinAsin b1=-sinAcos κv +cosAcossinv b2= sinAsinv+ cosAcoscosv b3 = -cosAsin c1 = sin sinv c2 = sincosv c3 = cos

§3-4像点坐标变换 RT=R-1 旋转矩阵 A A A x y z X Y Z Z Y X S 由空间解析几何知识可知 写成矩阵形式 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c3 由线性代数知： RT=R-1

§3-4像点坐标变换 三、旋转矩阵的性质 旋转矩阵 旋转矩阵是一个正交矩阵。 同一行（列）各元素的自乘之和为1 RT=R-1 旋转矩阵是一个正交矩阵。 同一行（列）各元素的自乘之和为1 任意二行（列）对应元素的互乘之和为0 行列式的值等于1 每一元素等于其对应代数余子式 三个独立的方向余弦。 旋转矩阵 性质

§3-4像点坐标变换 三、旋转矩阵的性质 (1)同一行（列）各元素的自乘之和为1 (2)任意二行（列）对应元素的互乘之和为0

§3-4像点坐标变换 三、旋转矩阵的性质 (3)行列式的值等于1

§3-4像点坐标变换 三、旋转矩阵的性质 (4)每一元素等于其对应代数余子式

§3-4像点坐标变换 四、旋转矩阵的构成 1、利用三个角方位元素构成旋转矩阵 特点：几何意义明确，便于公式线性化； 像辅系 绕 轴 X Z Y 像辅系 绕 轴 旋转 角到 位置 x y z S 坐标系 绕 轴 旋转 角到 位置 X Y 坐标系 绕 轴 旋转 角到 位置 N 特点：几何意义明确，便于公式线性化；

§3-4像点坐标变换 四、旋转矩阵的构成 像辅系 绕 轴 旋转 角到 位置

§3-4像点坐标变换 四、旋转矩阵的构成 坐标系 绕 轴 旋转 角到 位置

§3-4像点坐标变换 四、旋转矩阵的构成 坐标系 绕 轴 旋转 角到 位置

§3-4像点坐标变换 四、旋转矩阵的构成

§3-4像点坐标变换

§3-4像点坐标变换

§3-4像点坐标变换 2、利用三个独立的方向余弦构成旋转矩阵 原则： 1）三个元素互相独立，故该三个元素不能位于同一行、同一列。 2）尽量不在对角线上（不便于求解其它的方向余弦）。 一般选a2、a3、b3

§3-4像点坐标变换 已知a2、a3、b3

§3-4像点坐标变换 2、利用三个独立的方向余弦构成旋转矩阵 1 3 4 5 6 2

§3-4像点坐标变换 由以上元素组成的旋转矩阵为

§3-4像点坐标变换 说明： 主对角线a1、b2、c3由开方求得，其值可正可负，应依据实际情况判断。但在近似垂直摄影情况下，均为正。 b1、c1、c2其值可正可负，为了避免麻烦，不采用开方公式。 为何选a2、a3、b3? 在一次项情况下，

(3) 由反对称矩阵的三个参数组成 特点：避免三角函数运算、开方运算以及正负号判断。 反对称矩阵：主对角线元素为零，非对角线元素的数值对称，但符号相反，即ST＝－S。 设三个独立参数为a、b、c，则

可以证明一个反对称矩阵总是对应一个正交矩阵： 证明思路：只要证明

§3-4像点坐标变换 该矩阵称为Rodrigues矩阵。

§3-4像点坐标变换 (4) 旋转矩阵的一次项近似关系式 近似垂直摄影情况下，可以认为外方位角元素是微小值，此时有： 注：在一次项情况下，M不是严格的正交矩阵。 均是单位阵与一反对称矩阵之和构成。

§3-4像点坐标变换 (4) 旋转矩阵的一次项近似关系式 当用三个独立方向余弦组成旋转矩阵时，可得到类似近似表达式： 当用罗德里格矩阵组成旋转矩阵时，同样可得：

思考题 §3-4像点坐标变换 1、什么是旋转矩阵？它有哪些主要性质？常见的构成方法有哪些？ 2、在摄影测量中有哪几种转角系统，它们各是如何定义的？旋转矩阵R中有几个独立元素？ 共线条件方程及其应用 预习