6 平面电磁波的传播 6.1电磁波动方程和平面电磁波 6 平面电磁波的传播 电磁场基本方程包含了产生电磁场的全部场与源的信息。前几章介绍了静态电磁场和准静态电磁场，它们都是时变电磁场的特殊形式。本章也介绍一种比较特殊的电磁场，即离开一次场源的时变电磁现象---电磁波。 本章首先从电磁场的基本方程出发引出电磁波动方程，然后介绍电磁波中最简单的形态---均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的情况。再接着介绍平面电磁波的极化情况。 6.1电磁波动方程和平面电磁波 以波动形式存在的电磁场 即 电磁波。电磁波指电磁场的交互变化和伴随有电磁能量的传播。在空间电磁波不需借助任何媒质就能传播。 6.1.1 一般电磁波动方程 设空间为各向同性、线性、均匀媒质：ε、μ、γ，ρ= 0， ………………(1) ………………(3) ………………(4) ………………(2)

7.1.2 平面电磁波 电磁波动方程 在电磁波传播过程中某一时刻 t， 或 相位相同的点构成的空间面称为等相面 或等 波阵面。 (1)式两端求旋度，将(2)式代入 代入(3)式得 电磁波动方程 同理(2)两边取旋度，再代入(4)、(1)式，得 对于 或 的分量，用统一的标量符号 表示，即将原问题转化成 标量方程问题 7.1.2 平面电磁波 在电磁波传播过程中某一时刻 t， 或 相位相同的点构成的空间面称为等相面 或等 波阵面。

等相面上每一点 相同， 也相同的平面电磁波 ： 均匀平面电磁波。 等相面为平面的电磁波 即 平面电磁波。 等相面上每一点 相同， 也相同的平面电磁波 ： 均匀平面电磁波。 设定直角坐标系，均匀平面电磁波的波阵面平行于yoz面 ， 波阵面上 或 值处处相等，与坐标 y 和 z 无关。即 或 仅仅是 t 和 x 的函数。 z o 1 c 2 x y 等相位面 x＝c E＝Ey(x,t)ey H＝Hz(x,t)ez S 向x方向传播的均匀平面波 电磁波沿 x 方向转播。代入波动方程 为一维波动方程。 下面通过旋度方程分析均匀平面电磁波：

表明：沿 x 轴传播的均匀平面电磁波， 和 没有沿 x 方向的分量，都与波传播方向相垂直。即 横电磁波（ TEM 波）。 ………① ………② ………③ ………④ ………⑤ ………⑥ 均匀平面电磁波的特点： (1) 横电磁波 ④式 : Hx是与时间无关的常量 ， 可取Hx=0； ①式的解为 ， γ >>ε，表明 Ex 很快衰减， Ex= 0； 表明：沿 x 轴传播的均匀平面电磁波， 和 没有沿 x 方向的分量，都与波传播方向相垂直。即 横电磁波（ TEM 波）。

、 和 分别表示 、 的方向和电磁波的传播方向，有 (2) 、 和波的传播方向三者相互垂直，且满足右手螺旋法则。 、 和 分别表示 、 的方向和电磁波的传播方向，有 x y z (3) Ey和Hz构成一均匀平面电磁波 分析Ey和Hz构成的一组平面波，就可揭示均匀平面电磁波的传播特性。 取 有 标量一维波动方程

6.2 理想介质中的均匀平面电磁波 6.2.1 理想介质中均匀平面电磁波的性质 (1) 、 、 理想介质中，波动方程 其中： 均匀平面波的波速 形式解： 均匀平面波的传播特点： (1) 、 沿 x 轴的正向行波 ： 入射波； 、 沿 x 轴的反向行波 ： 反射波 。

（2）波的传播速率 仅与媒质参数有关 C = 3×108 m/s n 为介质的折射率，n > 1，电磁波在理想介质中的传播速率小于在自由空间中的传播速率。 (3)将 代入⑥式

显然 称为波的欧姆定律 理想介质的波阻抗（Ω） 自由空间的波阻抗 对于反射波，按同样的推导 也遵从波的欧姆定律。

6.2.2 理想介质中的正弦均匀平面电磁波 (4) 电磁波是电磁能量的携带者 坡印亭矢量 在理想介质中，波传播的方向就是电磁波能量流动的方向，电磁能流密度的量值等于电磁能量密度和波速的乘积。 6.2.2 理想介质中的正弦均匀平面电磁波 用相量表示，取复数的虚部 相量波动方程

考虑在无限大的均匀介质中，不存在反射波，则 令 k ： 理想介质中波的传播常数 称为相位常数 通解 考虑在无限大的均匀介质中，不存在反射波，则

(1)正弦均匀平面波在理想介质中传播不衰减，其等相面又是等幅面； 由波的欧姆定律 为常数,则 和 同相。 设初相角为，有瞬时值 电场和磁场既是时间，又是空间坐标的周期函数。 正弦均匀平面波的传播特点: (1)正弦均匀平面波在理想介质中传播不衰减，其等相面又是等幅面； (2) 和 同相，它们和电磁波的传播方向满足右旋关系；

② 在 t 时刻， 、 的零值点移到 (3)相速vp、相位常数β、频率f、波长λ之间的关系 分析相位因子: ① 令 t = 0，x = 0 处相位为零，这时电场和磁场都处在零值； ② 在 t 时刻， 、 的零值点移到 t - x = 0 处，即： 反映沿 x 正方向传播的平面波，相位相同的点移动的速率 又称为波的相速。 ③ 相位常数 （red/m） Ey 表示波行进单位长度引起的相位变化。 x ④ 正弦电磁波的波长 Hz 表示相位改变2 ，波传播两点的间距

(4)坡印廷矢量及其平均值 坡印廷矢量 坡印廷矢量的平均值 即：与电磁波传播方向相垂直的单位面积上传输的平均功率。

6.2.3.计算举例 已知自由空间中电磁波的电场强度表达式 试问： V/m 试问： （1）此波是否是均匀平面电磁波？求出该波的频率f、波长λ、波速v、相位常数β和波传播方向，并写出磁场强度的表达式。 （2）若在x = x0 处与x 轴相垂直的平面内放置一半径 r = 2.5m 的圆环，求垂直穿过该圆环的平均电磁功率。 解: (1) 电场强度的瞬时表达式，波沿正 x 方向传播，电场方向是 y 方向，且在与 x 轴垂直的平面上各点的电场强度相等，故此波是均匀平面电磁波。 Hz  = 6×108 Hz s/m m rad/m

A/m （2）坡印亭矢量的平均值为 w/m2 所以垂直穿过圆环的平均电磁功率为 w

6.3 导电媒质中的均匀平面电磁波 6.3.1 导电媒质中正弦均匀平面波的传播 在无限大各向同性、线性、均匀导电媒质ε、μ、γ，有正弦均匀平面电磁波 沿 x 的正向入射： 波动方程 相量表示形式 非微分项的系数

令 称为等效介电系数。令 称为导电媒质中的波传播系数。 k 中出现了实部。 波动方程为 可见：只要将等效介电系数替代介电系数，便得到与理想介质中形式相同的导电媒质中均匀平面电磁波相应的表达式。

在无限大导电媒质中入射波 设电场、磁场初相角分别为E、H，相应的瞬态表示式 正弦均匀平面电磁波在导电媒质中传播的特点： （1）电场和磁场的振幅沿 +x 方向按指数规律衰减。 Ex Hy z α： 衰减系数，单位 Np/m 决定着导电媒质中电磁波衰减的快慢；  ： 相位系数，单位 rad/m 决定着传播过程中波相位的改变； ： 波的传播系数 决定着某时刻沿传播方向电磁波的分布

（2）导电媒质中电磁波的相速小于理想介质中的相速，相速vp不仅 与媒质的特性有关，还与波的频率有关-----色散和色散媒质。 传播系数 可得： 相速： 波的传播速度与频率有关，称为色散现象，这时的媒质称为色散媒质。

（4）在电磁波的传播过程中伴随着能量的损耗 （3）导电媒质中波的欧姆定律 波阻抗为复数，相位角： 空间同一点电场和磁场存在相位差，在时间上电场比磁场的相位超前。 （4）在电磁波的传播过程中伴随着能量的损耗 波在导电媒质中传播伴随着电磁能量的消耗，消耗于导电媒质中的焦耳热。 电磁波的能流密度在传播过程中逐步衰减。

6.3.2 低损耗介质中的正弦均匀平面波的传播 实际介质都具有一定的电导率，土壤、海水等是常见损耗介质。当损耗介质的参数之间满足 6.3.2 低损耗介质中的正弦均匀平面波的传播 实际介质都具有一定的电导率，土壤、海水等是常见损耗介质。当损耗介质的参数之间满足 称为 低损耗介质（实际介质 ） 低损耗介质的α和 由 得 由 得

波阻抗 低损耗介质的相位常数、波阻抗近似等于理想介质情况下的相应值，但电磁波有衰减。 低损耗介质电导率很小，位移电流远大于传导电流，低损耗介质中电磁波以电场为主 这时位移电流反映其电流的主要特性。 6.3.3 良导体中正弦均匀平面电磁波的传播 导电媒质的参数满足 称其为良导体，因此

f = 3MHz时，铜的衰减常数  ≈ 2.62×104 Np/m 正弦均匀平面电磁波在良导体中传播的特点： (1) 当频率很高时，电场和磁场急剧衰减，电磁波无法进入良导体深处，仅存在 于其表面，呈现显著的集肤效应。 f = 3MHz时，铜的衰减常数  ≈ 2.62×104 Np/m 透入深度 ： (2) 波阻抗的相角近似为450，即磁场滞后于电场450。 (3) JC>>JD → 磁场远大于电场 → 良导体中电磁波以磁场为主，传导电流是电流 的主要成分。 (4) 良导体中电磁波的相速和波长都较小。 →∞ (理想导体)，它的透入深度为零。当频率较高，金属如铜、铝、金、银等都可看成理想导体，便于解决实际问题。

6.3.4.计算举例 ，向海水中沿 x 正方向 (1) (2)当 电场强度的振幅衰减至表面值的 1% 时，波传播的距离； (3)当 x = 0.8 m时， 和 (1) α、β、Z0、vp、λ和 d ； 、 在海水表面(x=0)处一均匀平面电磁波 传播，已知海水 ，向海水中沿 x 正方向 S/m，试求： Hz 解： 依题意有  =107 rad/s 可见在 5×106 Hz 频率下海水可视为良导体。 (1) Np/m  = α = 8.89 rad/s Ω m/s

m m （2）当电场的振幅衰减至表面值的1%时，有 电磁波从海水表面传播的距离 m （3）设电场强度的初相为零，电场的瞬时表示式 在x = 0.8 m处 V/m A/m

或 A /m A/m 可见 5MHz 平面电磁波在海水中衰减得很快，在离开海水表面 0.518 m 距离处，波的强度就衰减至表面值的1%。 海水中的无线电通讯即使在低频情况下远距离无线电通讯仍很困难。 如 f = 50Hz 时，其透入深度约为 35.6 米。 海水中的潜水艇之间的通讯，必须将收发天线升到海面附近，利用沿海水表面传播的表面波，来进行通讯。

6.4平面波的极化 前面讨论平面波的传播特性时，认为平面波的场强方向与时间无关，实际中有些平面波的场强方向随时间按一定的规律变化。电场强度的方向随时间变化的规律称为电磁波的极化特性。 在讨论沿x方向传播的均匀平面电磁波时，电场只考虑了y方向分量Ey的情况。实际上，不但可以有y方向的分量Ey，也可以有z方向的分量Ez，而且合成的电场方向也不一定是固定不变的。 电场方向用波的极化来描述。波的极化体现了在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间的变化。波的极化是用波的电场强度矢量的端点在空间随时间变化时描绘出的轨迹来表示。 直线极化波:轨迹是直线； 圆极化波:轨迹是圆； 椭圆极化波:轨迹是椭圆。 前面讨论的均匀平面电磁波就是y方向的直线极化波，因为电场的方向始终为y方向。 假设一般情况下，沿x方向传播的正弦均匀平面电磁波的电场由下式给出, 其中E1m、E2m为幅值，φ1、φ2为初相。

6.4.1 直线极化波 电场沿y轴和z轴的两个场矢量分别为 取x=0的平面来讨论。若φ1=φ2=φ，即Ey和Ez 同相，则合成电场的量值为 图6.4 直线极化的平面电磁波 E2m E1m y z x α E 6.4.1 直线极化波 取x=0的平面来讨论。若φ1=φ2=φ，即Ey和Ez 同相，则合成电场的量值为 它与y的夹角为 鉴于E1m、E2m为常数，α不随时间变化，合成电场矢量的端点轨迹为一条与y轴成α角的直线，称其为直线极化波， 若φ1与φ2不相等，相差，即Ey和Ez 反相，此时合成的电场矢量的端点轨迹仍为一条直线，即直线极化波，但合成电场矢量E与y轴的夹角为

6.4.2 圆极化波 一般在无线电工程中，常将垂直于地面的直线极化波称为垂直极化波；将平行于地面的直线极化波称为水平极化波。 在x=0的平面上，若Ey和Ez 幅值相等，而初相位相差 /2，即： E1m=E2m=Em Ez Ey E z y  右旋 左旋 则电场的量值为 合成电场的大小不随时间的变化而改变。合成电场与y轴的夹角α为 因此，合成电场的方向随时间的增加以角速度 改变。这时合成的电场端点轨迹为一以角速度 旋转的圆周，故称之为圆极化波。 若Ey超前Ez的相位为900，此时合成电场矢量的旋转方向为反时针方向，与波的传播方向（+x）构成右手螺旋关系，称之为右旋圆极化波。 若Ey落后Ez 900相位，此时合成电场矢量的旋转方向为顺时针方向，与波的传播方向（+x）构成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波。

6.4.3 椭圆极化波 对于一般情况，若分量Ey和Ez幅值不相等，且初相位相差为任意值，那么这时构成的极化波为椭圆极化波。直线极化波和圆极化波分别是椭圆极化波的特例。 设Ey超前Ez的相位为900，则在x=0平面上有 这是椭圆方程。合成电场矢量的端点在这个椭圆上旋转，形成椭圆极化波。 根据电场的两个分量相位差的正负，椭圆极化波也分为左、右旋椭圆极化波。 若合成的电场矢量旋转方向与波传播方向构成右手螺旋关系，就为右旋椭圆极化波； 若合成的电场矢量旋转方向与波传播方向构成左手螺旋关系，就为左旋椭圆极化波图。图示为右旋椭圆极化波。  z y E y ' z ' Ez m Ey m

极化是描述电磁波中电场的情况，是电磁波理论中的一个重要概念，波的极化有着极大的价值。在工程上，波的极化有着广泛的应用。 1）调幅电台发射的电波中的电场是与大地垂直的，所以收听者要想得到最佳的收音效果，就应将收音机的天线调整到与电场平行的位置，即与大地垂直。 2）电视台发射的电波中的电场是与大地平行的，所以收看者应将电视接受机的天线调整到与电场平行的位置，即与大地平行。 3）火箭等飞行器在飞行过程中其状态和位置在不断地变化，因此火箭上的天线方位也在不断地改变，此时如果用直线极化的发射信号来遥控火箭，在某些时候就会出现火箭上的天线收不到地面遥控信号的情况，而造成失控，应改用圆极化的发射和接收系统。 4）由于圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小，全天候雷达用圆极化波方式。 众所周知，光波也是电磁波。但光波不具有固定的极化特性。光学中将光波的极化称为偏振，因此，光波通常是无偏振的。为了获得偏振光必须采取特殊方法。立体电影是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍摄。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才能看到立体效果。

例 6-5 证明两个振幅相同，旋转方向相反的圆极化波可合成一直线极化波。 证明：考虑沿（+x）方向传播的两个旋向不同的圆极化波，设其振幅为Em，则左旋极化波的电场E1的表达式为 右旋极化波的电场E2的表达式为 合成波的电场为 所以，合成波是一沿y方向的直线极化波，问题得证。 由此题反推可知，一直线极化波可分解为两个振幅相同，旋向相反的圆极化波的迭加。

例 6-6有一垂直穿出纸面（x＝0）的平面电磁波，由两个直线极化波 Ez＝3sin(t)和Ey＝2sin( t+/2)组成，试问合成波是否为椭圆极化波？如果是椭圆极化波，那么是右旋波还是左旋波？ 解 将上两式相加得 这是一个椭圆方程，长轴为3，短轴为2，所以该合成电磁波是椭圆电磁波。 由于Ey超前Ez的相位为900，随着时间的变化，合成电场矢量末端旋转方向与波的传播方向构成右手螺旋关系，所以该波是右旋椭圆极化波。