效率與生產力分析研習營 參數計量方法

　經濟效率(economic efficiency)又稱X效率，以符號EE表示，由技術效率 (technical efficiency) 和配置效率 (allocative efficiency) 組成，前者以TE表示，後者以AE表示，即 EE = TE AE. 　技術效率可從投入面或產出面衡量，一決策單位為達到某固定產出水準，若使用最少數量的投入要素組合，稱此決策單位具有投入面技術效率；此時，最少要素投入量與實際投入量之比率，就是投入面技術效率值，介於零與一之間。決策單位若使用一定數量的投入要素，能夠得到最大產出水準，稱此決策單位具有產出面技術效率；實際產出水準與最大產出水準之比率，就是產出面技術效率值，亦介於零與一之間。 至於配置效率，廠商如果依循任意兩種要素價格比等於該二要素的邊際技術替代率之準則，雇用所有生產要素，稱此廠商達到配置效率。 壹、經濟效率

經濟的效率衡量 Technical efficiency : Input orientation, Farrel (1957) I1:unit isoquant 單位等產量線 I1上各點，為最有效率的要素投入組合。 A B I1=1 X1/Y C D

若廠商使用A點投入組合，生產一單位產出，則技術效率(TEI)的衡量表為 Y* Y=f (X) : production frontier Y Output orientation Input orientation CRTSTEI=TEO X

A B D C

Y X Productivity Change  ft(x) shiffs to ft+1(x) Y X Productivity Change  ft(x) shiffs to ft+1(x) Efficiency change  TEt→TEt+1  50%

貳、 距離函數（Distance Functions） Definition 1: An input distance function is a function L(y) input requirement set for output y.={x: x can produce y} x L(y) f (X) Y y X X1 一投入，一產出 x is feasible for y, but y can be produced with smaller input x/λ1 and so DI(y,x)=λ1 >1 二種投入 x is feasible for y, but y can be produced with the radially contracted input vector x/λ2 and so DI(y,x)=λ2 >1

DI(y,x)具備下述性質 DI(0,x)=+∞ and DI(y,0)=0 DI(y,x) is an upper-semicontinuous function DI(y,λx)=λDI(y,x) for λ>0 homo. of deg. 1 DI(y,λx)≧DI(y,x) for λ≧1 DI(λy, x)≦DI(y,x) for λ≧1

An output distance function is a function Definition 2: An output distance function is a function describes the sets of output vectors that are feasible for each input vector , x y GR y x f (X) Y P(x) X (＊) 一投入，一產出 y1 兩種產出

DO(y,x)具備下述性質 由圖(＊) DO(y,x)=y/f(x)≦1 (＊＊) DO(0,x)=0 and DO (y,0 )=+∞ DO (y,x) is an lower-semicontinuous function DO (λy, x)=λDO (y,x) for λ>0 DO (y,λx) ≦ DO (y,x) for λ≧1 DO (λy, x) ≦DO(y,x) for 0≦λ≦1 由圖(＊) DO(y,x)=y/f(x)≦1 (＊＊)

The relationships between distance functions and radial efficiency measures (K & L, P. 50) TEI(y,x) =[DI(y,x)]-1 and TEO(y,x) = DO(y,x).

參、衡量效率的實證方法 一. 參數法 (parametric approach) 或稱母數法 　早期隨機邊界模型多用於估計生產邊界，如此祇能探討技術效率問題，無法估計配置效率。要研究配置效率，除需要投入和產出的資料外，尚需生產要素或產出價格的訊息，才能進行配置效率的衡量。若價格資料能夠搜集到，成本極小化或利潤最大化行為將是恰當的廠商行為假設。換言之，應以成本函數或利潤函數作為分析研究對象較佳。

　　利潤函數相對使用較不普遍，可能是估計此函數需要產品價格資料，且在多元產出下不易探討規模經濟等相關議題。唯據Berger, Hancock, and Humphrey (1993)，利潤函數有優於成本函數之處。(一) 利潤函數包含總收入與總成本，可同時衡量收入面與成本面的無效率；成本函數無法衡量收入面無效率；(二)當研究對象為金融業，由於銀行或保險公司的投入與產出如何界定，眾說紛紜，若劃分不當，將造成模型設定錯誤與變數衡量錯誤。由於投入和產出同時出現在利潤函數中，或許可以降低這兩種錯誤產生的負面影響；(三) 生產高品質商品 (通常在資料上無法衡量) 常需投入較多生產要素，估計成本函數可能會錯誤認定生產高品質商品的廠商，較缺乏效率。因為高品質商品通常帶給廠商收益也較多，故使用利潤函數亦能降低未考慮商品品質造成的問題。

1. 生產邊界法 令隨機變數 ， 為非負隨機變數，生產邊界函數表為 ， 　　令隨機變數 　　，　 為非負隨機變數，生產邊界函數表為 　　　　　　　， 其中　　　　即為隨機邊界，　及　 常假設已取自然對數轉換，分別代表第 i 廠商於 t 期時實際與最適對數生產量，其中　　目前普遍使用Translog函數型式。 1. 生產邊界法

其中 及 常假設已取自然對數轉換，分別代表第 i 廠商於 t 期時實際對數成本與最適對數成本。其中 目前普遍使用Translog函數型式，即 2. 成本邊界法 成本邊界函數表為 其中 　及 　常假設已取自然對數轉換，分別代表第 i 廠商於 t 期時實際對數成本與最適對數成本。其中　 目前普遍使用Translog函數型式，即 ，

式中，　 為第 i 種投入實際要素份額，三種要素份額之和等於一。 代表第 j 項產出，　 為第 i 種要素投入的價格，α、β、δ、γ及ρ為模型中待推估的參數，　與　　則為隨機干擾項。

由於任何成本函數必須滿足正規條件 (regularity conditions)，模型中的係數必須符合： (1) 對稱條件，即 (2) 一階齊次條件，即

利潤邊界函數表為 式中　　及　　常假設已取自然對數轉換，分別代表第 i 廠商於 t 期時實際與最適對數利潤，其中 亦普遍使用Translog函數型式。 3. 利潤邊界法

2. Semi-parametric Regression (1) Partially Linear Model 　(2) Fourier Flexible Functional Form (Mitchell and Onvural, 1996, JMCB, Ivaldi et al., 1996, JAE, Huang and Wang, 2004, JPA) 3. Semi-parametric Smooth Coefficient Model (Li et al., 2002, JBES) 二. 無參數法　(nonparametric approach)　或稱無母數法 　　資料包絡分析法 (data envelopment analysis)，簡稱 DEA。 三. 半參數法　(semi-parametric approach)　或稱半母數法 　1. Nonparametric Regression (Fan, Li, and Weersink, 1996, JBES)

肆、機率密度函數—橫斷面模型 一. Useful Formulae (黃台心, 計量經濟學, 第14章) 1. 為標準常態分配的累積分配函數。 肆、機率密度函數—橫斷面模型

2. 其中　　 為標準常態分配的機率密度函數，且 3. 與 祇需將上面　　 的公式改為

截斷點 分配的平均值 機率密度函數 圖 1　不同位置的截斷常態分配 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 –3 – 2 – 1 – 0.5 1 0.5 2 3 Y

二. Half-Normal Distribution and are independent.

標準常態分配的CDF (*) 令　

(**)

　　除　　　 項以外，其他各項為　　　　　 的隨機變數， ， ， 。(**) is the density function of a variable truncated at zero from below. or

Battese and Coelli (1988, J. of Econometrics) 建議 由(*)，對數概似函數可表為 n: sample size The parameter estimates are consistent as .

三. Exponential distribution 是truncated normal distribution，平均數為 ，變異數為 。

四. Truncated normal distribution 其中 ， 。

其中 ， 。 是truncated normal distribution，平均數為 ，變異數為 。 ，　若 ，　 其他。

五. Gamma distribution 　根據過去相關研究，u 的分配為何，對於技術效率估計值，沒有太大影響。故 Ritter and Simar (1997, JPA) 建議使用簡單的分配假設即可，例如 Half Normal 或 Exponential 分配，不需使用 truncated 或 Gamma 分配等複雜分配。 當 m = 0 時，gamma density function 成為指數分配，m 常被稱為形狀參數 (shape parameter)。 六. Remarks

伍、機率密度函數—縱橫資料(panel data)模型 1. Kumbhakar, Ghosh, and McGuckin (1991, BES) 2. Huang and Liu (1994, JPA) 伍、機率密度函數—縱橫資料(panel data)模型 　　若研究者使用縱橫資料，上述的模型祇需做適當修正。Huang and Wang (2002, Manchester School) 的附錄裏，列出在成本函數架構下，以上四種模型的機率密度函數。Kumbhakar and Lovell (2000)是一本值得參考的書。 陸、考慮外生因素對效率的影響

柒、無分配法(distribution-free approach) 　一. Time Invariant Technical Efficiency 　　　　　　　　　 代表 time-invariant production inefficiency，可視為固定效果(fixed-effects)或隨機效果(random- effects)。 二. Time Variant Technical Efficiency (1) Lee and Schmidt (1993): 是一組時間虛擬變數。 (2) Kumbhakar (1990): (3) Battese and Coelli (1992):

A Dynamic Frontier Approach (Ahn, Good, and Sickles, 2000, 考慮無效率隨機變數 具有一階自我迴歸 式中 代表笫 i 廠商技術無效率調整速度， ， 代表立即調整， 代表完全不調整。 為截至 t − 1 期廠商收集到的所有訊息集合； 為非負隨機干擾項。 其中 ， 。 A Dynamic Frontier Approach　(Ahn, Good, and Sickles, 2000, Econometric Review)

捌、套裝軟體簡介  Limdep (Frontier指令)  TSP(http://www.tspintl.com)  Stata  　GAUSS  　Frontier 4.1 捌、套裝軟體簡介

玖、配置效率 Kumbhakar, S.C. (1997), Modeling allocative inefficiency in a translog cost function and cost share equations: An exact relationship, Journal of Econometrics, 76, 351-356. Kumbhakar, S.C. and H.J. Wang (2006), Estimation of technical and allocative inefficiency: A primal system approach, Journal of Econometrics, 134, 419-440. Atkinson, S.E. and C. Cornwell (1994), Parametric estimation of technical and allocative inefficiencies with panel data, International Economic Review, 35, 231-243. 黃台心 (1999), 由利潤函數衡量我國銀行廠商之經濟效率 ---- 參數計量法的應用，中央研究院經濟研究所，經濟論文，第二十七卷，第二期，283-309。

令 代表第 i 廠商 n 種要素投入影子價格列向量，與實際要素價格列向量　 的關係，設定為 　影子價格與實際價格的比率　，代表配置無效率程度，　　 表示第 j 要素已達配置效率； 　　表示第 j 要素投入量未達配置效率。 (1)

　拿掉廠商別下標 i ，令 為 非負要素投入向量，　　　　　　　 為　　 非負產出向量，考慮投入面技術無效率（TI）時，生產函數表為 　　　　代表實際要素投入量與最適要素投入的差距，愈接近一愈有技術效率，愈接近 0 愈缺乏技術效率。

調整技術效率後的影子成本函數 式中　　　　　　　代表達到技術效率時的影子成本函數，　為成本函數中未知參數向量。 (2)

　利用Shephard’s Lemma以及要素需求函數為要素價格的零階齊次函數的性質， (3) (2)式對　 偏微分 (4)

利用(4)式可得出 (5)

令 i 要素達到技術效率的影子份額為 令 i 要素調整技術效率後的影子份額為 (7) (6) 比較 (6) 與 (7) 兩式知，是否考慮 TI 參數 b，不影響 i 要素的影子份額，表示考慮技術無效率後，只等比例提高每一要素投入支出，使份額維持不變。

定義實際支出 (9) (8)

定義實際份額 令 (10) 代表 TI 使對數成本上升幅度，(8) 式取自然對數並加上純粹隨機變數 v，成為

其中， 代表 AI 導致對數成本上升幅度，定義為 其中，　　　　　 為達到AE（與TE）時的最適成本份額 (11) 含意為　 等於有 AI 時的對數成本減去達到 AE 時的成本。同理，將實際份額加上純粹隨機變數 u，成為 (12)

定義為 (13) 含意為 AI 的存在，導致實際份額不等於達到 AE 時最適份額的差額。

拾、分量迴歸 (quantile regression) 管中閔院士講義--分量迴歸簡介 黃鏡如教授講義--分量迴歸應用於估計生產效率

拾壹、總要素生產力(Total Factor Productivity, TFP) Reference: Kumbhakar and Lovell (2000) Chapter 8

We start with the deterministic production frontier (8.2.1) Where y is the scalar output of a producer, is the deterministic kernel of a stochastic production frontier with technology parameter vector to be estimated, is an input vector, t is a time trend serving as a proxy for technical change, and represents output-oriented technical inefficiency. Technical change is not restricted to be neutral with respect to the inputs; neutrality requires that

In the scalar output case a conventional Divisia index of productivity change is defined as the difference between the rate of change of output and the rate of change of an input quantity index, and so (8.2.4) where a dot over a variable indicates its rate of change is the observed expenditure share of input is total expenditure, and is an input price vector.

A measure of the rate of technical change A measure of the rate of change in technical efficiency

Totally differentiating equation (8. 2 Totally differentiating equation (8.2.1) and inserting the resulting expression for into equation (8.2.4) yields (8.2.5) where are elasticities of output with respect to each of the inputs. The scale elasticity provides a primal measure of returns to scale characterizing the production frontier.

The relationship in equation (8. 2 The relationship in equation (8.2.5) decomposes productivity change into four components a technical change component a scale component a technical efficiency change component an allocative inefficiency component This decomposition of productivity change is very similar to the decomposition obtained by Bauer (1990, JPA).