第 四 章 静定刚架

§4-1 静定平面刚架的几何组成及特点 一、平面刚架的特点 优点：结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀合理，净空大，应用广。 §4-1 静定平面刚架的几何组成及特点 一、平面刚架的特点 1、刚架：由梁柱相互刚结（或部分铰接）组成，主要由刚结点维持的几何不变的体系。 优点：结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀合理，净空大，应用广。 下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。

（1）在受力分析方面：刚结点能传递力和力矩，而铰结点则只能传递力。 (a) (b) (c) 刚结点与铰结点的区别： （1）在受力分析方面：刚结点能传递力和力矩，而铰结点则只能传递力。 (d) (e)

受力特点：内力相应有M，FQ，FN。杆件可称为“梁式杆”。 (2)在几何变形方面：刚结点处连接的各杆端的轴线不能发生相对转动，因而受力变形后，各杆之间的夹角保持不变，但各杆件可以产生弯曲、剪切、轴向变形。铰结点所连接的各杆可以发生相对转动。 受力特点：内力相应有M，FQ，FN。杆件可称为“梁式杆”。 FP1 FP2

二、常见的静定平面刚架类型 1、悬臂刚架 2、简支刚架 3、三铰刚架 5、多层刚架 4、多跨刚架

§4-2 静定刚架支座反力的计算 简支刚架和悬臂刚架支座反力计算较简单，这里主要讨论三铰刚架和多跨刚架的支座反力计算。 §4-2 静定刚架支座反力的计算 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。 简支刚架和悬臂刚架支座反力计算较简单，这里主要讨论三铰刚架和多跨刚架的支座反力计算。 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。

计算如下图（a）所示三铰刚架的支座反力。 【解】此刚架具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。 l /2 q A B C f (a) q f l /2 A B C (b) XA XB YA YB

对O点取矩即得： 多跨刚架支座反力计算见P44例4.2 C XC O YC f C B l /2 XB q f YB (c) A B XA YA YB XB 对O点取矩即得： 多跨刚架支座反力计算见P44例4.2 于是

§4-3 用截面法求静定刚架杆端截面内力 1、刚架的内力及正负号规定 弯矩M —不规定正负方向，弯矩图纵坐标画在杆件受拉纤维一边。 §4-3 用截面法求静定刚架杆端截面内力 1、刚架的内力及正负号规定 弯矩M —不规定正负方向，弯矩图纵坐标画在杆件受拉纤维一边。 剪力Q —规定同材力。 轴力N —规定同材力。 2、刚结点处的杆端截面及杆端截面内力的表示方法 内力符号双脚标，两个字母表示两个杆端,第一个字母表示杆端力是哪一端的，第二个字母表示杆远端的标号。如MAB为AB杆A端的弯矩。

3、杆端截面内力计算 每一个杆件有两个杆端截面，沿杆端截面截开，在截开的截面处有三个未知内力M、Q、N，Q和N按正方向画，M可按任意假设方向画，一般假设未知M按顺时针旋转方向画。如计算结果为正，说明内力方向与图中方向相同；否则，与图中方向相反。 4、刚结点处力和力矩的平衡校核 刚结点上各杆端截面的内力应满足三个平衡条件： ΣX=0 ΣY=0 ΣM=0 用以校核杆件内力的计算结果。见P47例4.3

§4-4 静定平面刚架内力图的绘制 静定刚架内力图有弯矩图、剪力图和轴力图。刚架的内力图是由各杆的内力图组合而成的，而各杆的内力图，在求出杆端截面的内力值后，即可按梁中绘制内力图的方法画出。 一、一般绘制要点： 1、分段：根据荷载不连续点、结点分段。 2、定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。

3、求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。 4、画图：刚架内力图的纵坐标垂直于各杆轴线绘制。画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，不记正负号，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图（即分段叠加法）。Q，N 图可画在杆件任一边要标＋，－号；内力图上应注明量纲。

例1 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、Q和N图。 (1)支座反力 。 [解] (2)求杆端力并画杆单元弯矩图。 2m 4m A B C D 40 kN 20 kN/m 160 kN·m 160 A B 20 kN/m A B 4m 20 kN/m A B 4m 40 (d) M图 (a) (b) (c)

40kN D B C 60 20kN/m 4m A 80 2m 20 M图 B B 20 60 20kN/m 4m A A 80 160 40 M图 20kN/m A B 4m 40 160 A B D 20 60 80 M图 (kN·m） Q图（kN)

40 160 A B D M 图 (kN·m） 20 B 80 20 60 Q图（kN) 20 N图（kN)

作刚架Q、N图的另一种方法 q qa2/2 qa2/2 qa/2 ∑MC＝qa2/2+ QCBa=0 QBC=QCB=－qa/2 qa2/8 ↑↑↑↑↑↑↑↑ q A B C qa2/2 qa2/8 M图 QCB C B qa2/2 qa/2 ∑MC＝qa2/2+ QCBa=0 QBC=QCB=－qa/2 QCA ↑↑↑↑↑↑↑↑ QAC qa2/2 q qa ∑MC＝qa2/2+ qa2/2 －QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa ∑MA＝0 Q CA=（qa2/2 － qa2/2 ）/a =0 qa/2 qa/2 NCB NCA ∑X＝0，NCB ＝ 0 ∑Y＝0，NCA＝qa/2　　∥

å å 1.5m ∑MD=6－QCD×3.35＝0 QCD=1.79(kN)=QDC 3m A B q=4kN/m C D E 3.58 ↓↓↓↓↓↓ 3m A B q=4kN/m 1.5m C D E － 3.58 7.16 ＋ ＋ 1.79 6 4.5 α 2 － ＋ 2 M图（kN.m） Q图（kN） 3kN 9kN 2kN ↓↓↓↓↓↓↓ QCE Q EC 4kN/m C E 3.35m 9 2 7.16 NEC 3 2 α 1.79 NDC 6 QDC Q CD D C 3.35m NCE 3.58 3.13 1.79 α α 0.45 － － 3.13 sin ) 79 . 1 58 3 ( cos 13 = + - å a N X CE ∑MC=6+3 × 4×1.5+3.35QEC＝0 QEC= －7.16kN ∑ME=6－ 3 × 4 ×1.5+3.35QCE＝0 QCE= 3.58kN － 3 － 9 45 . - = kN N CE ∑MD=6－QCD×3.35＝0 QCD=1.79(kN)=QDC 5.82 = å Y 校核 cos ) 58 . 3 79 1 ( sin 45 13 - + a 5 2 79 . 1 58 3 = × - N图（kN）

二、各类静定刚架的内力图绘制 1、悬臂刚架 解: (1) 计算支座反力。 (2) 作弯矩图。 先求各杆杆端弯矩，再用分段叠加法作弯矩图。 FP1=1kN FP2=4kN FP3=1kN q=0.4kN/m FxA=3kN MA=15kN·m FyA =3kN

作隔离体图,如左图: MBC=1 MBE=4 B MBA=5 FxA =3kN MA=15kN·m FyA =3kN C B FP1=1kN FQBC=1 MBC=1 FP1=1kN FP2=4kN FP2=4kN MBE=4 FNBC=0 B B D E FNBE=0 MBA=5 FP3=1kN FP3=1kN FQBE=3 FQBA=1 q=0.4kN/m B FNBA=-3 q=0.4kN/m FxA =3kN A MA=15kN·m FyA =3kN

A、作弯矩图: 4 4 求各杆杆端弯矩: CB段: MCB=0 MBC=1kN·m (左侧受拉) BE段: MEB=0 MBE= - 4kN·m(上侧受拉) BA段: MBA=5kN·m (左侧受拉) MAB=15kN·m(左侧受拉) 5 1 1.25 2 M 图 (kN·m) 15

B、作剪力图: MBC 由杆件平衡计算杆端剪力,再由规律作剪力图。 MBE CB杆：FQBC=+1kN FQCB= +1kN FP1=1kN MBC B D E FP2=4kN FP3=1kN MBE A q=0.4kN/m MBA MA=15kN·m FQBC FQBE FQBA B、作剪力图: 由杆件平衡计算杆端剪力,再由规律作剪力图。 CB杆：FQBC=+1kN FQCB= +1kN BE杆：FQBE=+3kN FQEB= - 1kN BA杆：FQBA=+1kN FQAB=+3kN

由杆件平衡计算杆端剪力，再由规律作剪力图。 3 由杆件平衡计算杆端剪力，再由规律作剪力图。 CB杆：FQBC=+1kN FQCB= +1kN BE杆：FQBE=+3kN FQEB= - 1kN BA杆：FQBA=+1kN FQAB=+3kN + + 1 - 1 + FQ 图 ( kN ) 3

- C、作轴力图: FNBC=0 3 FNBE=0 1 B 1 FNBC= - 3kN 3 FN 图 ( kN ) 由结点平衡计算杆端轴力，再由规律作轴力图。 FNBC=0 - 3 FNBE=0 1 B 1 FNBC= - 3kN 3 FN 图 ( kN )

D、校核： 由结点弯矩平衡校核弯矩计算是否正确。 用计算中未使用过的隔离体平衡条件校核结构内力计算是否正确。 MBC=1kN·m MBE= 4kN·m MBA=5kN·m 用计算中未使用过的隔离体平衡条件校核结构内力计算是否正确。 FP1=1kN FP2=4kN 1kN 5kN·m FP3=1kN 3kN

q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qL² ½qL² qL² L 如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力。 如图所示悬臂刚架，可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q qL² 2q 2q ½qL² 2m ↓↓↓↓↓ q L qL² 6q

2、简支刚架 解: （1）求支座反力 ∑y=0 FCy =80kN(↑) ∑m0=0 FAx=120kN(←) 校核：∑mC=0 ∑x=0 O FBx=80kN ∑m0=0 FAx=120kN(←) 校核：∑mC=0 ∑x=0 FBx=80kN(→)

（2）、求杆端弯矩，作弯矩图 可利用特点，直接作弯矩图。 MAD=0 MDA=120×3 =360kN·m （右侧受拉） MBE=0 MEB=80×4 =320kN·m （左侧受拉） 20kN/m FCy=80kN FAx=120kN FBx=80kN MGF=0 MFG=40×2=80kN·m（左边受拉） MFC=40×2=80kN·m（上边受拉） =MCF

求MDE、MED和MEC。 MDE=120×3+40 =400 kN·m =MED （下侧受拉） FCy=80kN FAx=120kN FBx=80kN MEC=80×4 - 20×4×2-40×2 40kN 40kN ·m 20kN/m =80kN·m MDE （下侧受拉） MEC FCy=80kN FAx=120kN

作弯矩图。 （3）、校核： 各刚结点弯矩是否平衡。 M 图（kN ·m） 80 320 360 80 400 40 40kN ·m MEC=80kN·m MED=400kN·m E D MDE=400kN·m MEB=320kN·m MDA =360kN·m

q ql ql qa D C B A qa2/2 qa2/8 ql2/2 qL2/2 q 简单的简支刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。 q l ql l/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/2 qL2/2 D q A B C a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ O qa2/2 ql 注意：BC杆和CD杆的 剪力等于零，相应的 弯矩图与轴线平行 qa2/2 qa2/8 qa

3、三铰刚架 （包括有斜杆的静定刚架） 解: (1)求支座反力。 ∑MB=0 FAy =36kN(↑) 8kN/m 6.325m （包括有斜杆的静定刚架） 2 6 解: (1)求支座反力。 11.077kN 11.077kN ∑MB=0 FAy =36kN(↑) 12kN 36kN ∑x=0 FAx = FBx = Fx ∑MA=0 FBy =12kN(↑) ∑MC=0 6.5FBx – 6 FBy =0 FBx = Fx =11.077kN(←)

(2)作弯矩图 MAD=0 MDA=MDC =11.077×4.5 =49.847kN·m （外侧受拉） MCD=0 MBE=0 MEB= MEC 8×62/8=36 8kN/m 49.487 49.487 M 图 (kN·m) 11.077kN 11.077kN 36kN 12kN

（3）作剪力图 - - + FQ 图 (kN) 8kN/m 30.648 7.811 FNDA 49.847kN·m + FQDA 11.077 = -11.077 14.886 - + 11.077 FQ 图 (kN) 11.077kN 11.077kN 11.077kN 36kN 36kN 12kN 8kN/m FNCE 6.325 FNCD 49.847kN·m 49.847kN·m 2 ΣMD=0 α 6 FQCD = - 14.886kN FQCE = - 7.881 FNDC FQDC FNEC =30.648kN FQEC ΣMC=0

- - - - （4）作轴力图 根据刚结点平衡的投影方程，求出各杆端轴力。 FN 图 (kN) 8kN/m 36 12 6.713 14.303 - - 21.892 11.077 FN 图 (kN) 11.077kN 36kN 12kN 30.648kN 14.886kN 7.881kN FNDC = - 21.892kN 11.077kN FNCE = - 14.303 FNCD = - 6.713kN 36kN

小结： （1）三铰刚架在竖向荷载作用下，有水平反力。用整体三个平衡方程不能求出所有反力，需用铰C处弯矩为零的条件。（三刚片组成的体系，求反力的特点） （2）注意斜杆的弯矩、剪力、轴力的计算。

速绘弯矩图： M M M M/2 M/2 M M l/2 2M/l M/l M/l 2M/l l/2 l/2 M/l M/l FP FP l/4 FP l/4 FP FP l/4 FP l/4 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2 FP /2

多层多跨静定刚架一般有两种基本组成形式： ①基本部分+附属部分组成形式。 ②三刚片组成形式。 （1）基本部分+附属部分组成形式 4、多层多跨刚架 多层多跨静定刚架一般有两种基本组成形式： ①基本部分+附属部分组成形式。 ②三刚片组成形式。 （1）基本部分+附属部分组成形式 计算原则： ①进行组成分析，找出基本部分和附属部分； ②先计算附属部分，再计算基本部分。

举例说明： 解： 1、组成： 基本部分：AFGB 附属部分：FHJG FP=8kN 2、计算： 先计算FHJG部分， 再计算AFGB部分。 M=24kN ·m 举例说明： 解： 1、组成： 基本部分：AFGB 附属部分：FHJG 2、计算： 先计算FHJG部分， 再计算AFGB部分。 计算图示于下。 FP=8kN

M=24kN ·m M=24kN ·m 3 FP=8kN 3 3 3 3 3 3 3 FP=8kN 1 1 1 7

24 M=24kN ·m 12 12 3 3 3 3 16 16 3 3 3 3 FP=8kN 4 4 12 12 M 图 1 1 （ kN ·m） 1 7

- - + + FP=8kN - - + FQ 图 (kN) M=24kN ·m 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 1 7

- - + + FP=8kN - - FN 图 (kN) M=24kN ·m 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 7 1 1 1

1、上部体系为三刚片组成规律，上部体系与基础两刚片组成规律。 （2）三刚片组成的复杂刚架 FP=8kN 解： 1、上部体系为三刚片组成规律，上部体系与基础两刚片组成规律。 2、先计算支座反力，再计算上部体系。 8kN 12kN 12kN

FP=8kN FP=8kN 8 4 4 4 4 8 8kN 8kN 12kN 12kN 先计算ABFG刚片F、G铰处的约束力，再反作用于HJFG刚片上。 12kN 12kN

FP=8kN 32 8 4 4 4 4 32 32 8kN M 图 (kN·m) 12kN 12kN

FP=8kN - 8 4 8 4 4 + 4 4 8 - + 8 8kN FQ 图 (kN) 12kN 12kN

FP=8kN 4 4 8 - 4 4 8 + - 4 4 8 + 12 + - 12 8kN FN 图 (kN) 12kN 12kN

5、对称性的利用 对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。 m m h q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ l/2 q m ql2/8 ql2/8

静定刚架的M图正误判别 利用内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。 ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。

温故而知新 内力图形状特征 P ＋ ＋ － － m Q图 M图 备注 1.无何载区段 2.均布荷载区段 3.集中力作用处 发生突变 平行轴线 4.集中力偶作用处 温故而知新 ↓↓↓↓↓↓ 发生突变 平行轴线 Q图 ＋ P 无变化 ＋ － － 出现尖点 尖点指向即P的指向 发生突变 二次抛物线 凸向即q指向 斜直线 m M图 两直线平行 备注 Q=0区段M图 平行于轴线 Q=0处，M 达到极值 集中力作用截面剪力无定义 集中力偶作用点弯矩无定义 5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。 6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。

× × × × × × ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q P A B C D E （a） ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q P A B C D E （b） A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ （e） × A B C （f） × ×

A B C D m A B C D × m （h） m B A C （g） ×

√ √ × × × × × × （5） （ ） ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ （2） （3） （1） （ ） （ ） （ ） （6） （4） （ ） × √ √

解：（1）计算支座反力 例1. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制Ｍ、Q和N图。 q 2qa2 E C 6qa 3a  D B 2q

（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图 1）杆CD 2）杆DB 2a 4a 3a q 6qa  2q 2qa2 A B C D E 2qa2 D M图

3)杆BE 4）杆AB q 2qa2 E C 6qa q 3a  x D B E y 2q 3a A B  2a 4a 4a B 2qa M图 2qa A B 8qa 14qa2 10qa M图

（3）绘制结构M图 2qa2 2qa2 也可直接从悬臂端开始计算杆件弯矩图 q 2qa2 8 6qa 2qa2 2q C E D B D B 10 2 2qa2 2q M图

（4）绘制结构Q图和N图 q 2qa2 2qa2 E C 6qa 3a  D B 2q A 2a 4a 2.4qa 3.2qa 6qa M图 2qa2 3.2qa 6qa 8qa 2.4qa 10qa Q 图 N 图

例2 试绘制下图所示刚架的弯矩图。 30kN 20kN·m 2m 4m D C E D E 10kN 10kN A B 10kN 10kN 例2 试绘制下图所示刚架的弯矩图。 30kN 20kN·m 2m 4m 40kN·m 40kN·m D C E D E 10kN 10kN A B 10kN 10kN A B 10kN 20kN 10kN 20kN 20 40 40 20 D E 40 40 20kN·m 40kN·m D C E M图（kN·m）

作业： 题4.2 题4.4 题4.6 题4.14 题4.15 题4.21 题4.26 题4.27 题4.28 课堂作业： 题4.29、题4.30、题4.31、题4.32