第三讲：基本问题；横向运动初步

主要内容 光源物理引论中涉及的概念和问题 坐标系，磁场参数 横向运动的方程 横向振荡与工作点

概念和问题 概念 束流：大量运动状态十分相似的带电粒子组成的粒子流 动量P(包括能量和运动方向) 几乎相同，空间分布集中，整体 有序 一般达到1010个的数量，电子束流：~1nC 相似：市场——热运动的粒子，束流——人群被约束到地铁站 束流物理（加速器物理）： 起初划分为核物理学或粒子物理学的次级学科 20 世纪80 年代，美国物理学会单独划分为Beam Physics，与诸 如凝聚态物理、等离子体物理、基本粒子物理等并列 研究对象也是粒子，但束流物理学研究束流集体的形态和在一 定的电磁场作用下运动的规律.完全不涉及粒子的内部结构和 在核力作用下如何转变等等行为，与基本粒子物理学之间可谓 泾渭分明

概念和问题 概念（2） 理想粒子与任意粒子 研究对象既然是一大群彼此十分相似的粒子.最简便的方法是 选出一个“粒子”，再讨论其他粒子与其的差异 理论力学：六个自由度 理想粒子、理想轨道：简单设计 稍有差异的粒子如何运动？怎样的粒子会“很不理想”？ 束流物理学的基本问题 自动稳相原理、强聚焦原理、（横向运动稳定性问题）…… 坐标系 X, Y, Z（S）

概念和问题 问题 储存环的最大特征是周期性环境 周期解：从S到S+L，理想粒子的轨迹有唯一周期解 怎么理解这个周期解？ 任意粒子的轨迹是围绕闭合轨道的横向振荡 周期解：唯一性，动量相同的粒子的平均性质，环的特性； 振荡解：初始条件决定 环的特征参数与Lattice函数 Courant-Snyder参数，或者Twiss参数 反映环的特征的周期解，全环L，或者L/Nperiod 大部分描述粒子运动的物理量可以用Twiss参数表示 在加速器物理学中的“通用语言”

概念和问题 问题（2）横向运动 横向运动稳定时，粒子的振荡在相空间中表现为状态点沿着彼此相 似的椭圆曲线作井然有序的移动。 横向运动稳定时，粒子的振荡在相空间中表现为状态点沿着彼此相 似的椭圆曲线作井然有序的移动。 Lattice参数确定了椭圆在不同位置的形状，面积不变 Lattice本身结构，可以推导——电子储存环物理，第二讲 刘维尔定理（保守力系统，统计学意义）——电子储存环物理 粒子振荡的振幅（不理想程度） 发射度：正比于所有粒子相轨迹椭圆面积的平均值

概念和问题 问题（3）纵向运动；阻尼与激发 纵向振荡 自动稳相 概念：大量非同步粒子仍然稳定，表现为相位和能量振荡 理念：能量（纵向位置/相位）与动量偏差（能散）相互影响 阻尼与激发的平衡 横向和纵向的振荡都会被SR阻尼（纵向补偿少，横向不补偿） 发光是量子过程，不确定性，不可预期，重新激发

概念和问题 问题（4）集体效应，束流寿命 束流损失原因漫谈： 内部；外部；快速；缓慢…… 束流不稳定性 真空室的孔径与束流动力学计算获得的孔径 时间尺度： 100m的小型光源，射频加速电场频率500MHz（SSRF用） 束团脉冲长度：几十至几百ps；间隔：最短为2ns 电子回旋周期：0.3μs；横向振荡周期：100ns左右，快振荡 纵向振荡周期：几十μs，慢振荡 阻尼时间：振幅衰减到1/e，×10ms，对粒子振荡相当漫长 时间尺度跨度大，意味着不同过程的细节常常无需同时考虑

坐标系与磁场 曲线正交坐标系——理论力学/电动力学 s/z轴：切线，沿理想粒子轨道；假设弯转轨道为水平面 真实电子坐标 X轴，法线，指向外侧 Y轴，垂直弯转平面 ——统一用u表示横向

坐标系与磁场 以空间中向量原点为参考点，任意粒子位置向量： 𝑟 = 𝑟 0 𝑧 0 +𝑥 𝑒 𝑥 +𝑦 𝑒 𝑦 𝑟 = 𝑟 0 𝑧 0 +𝑥 𝑒 𝑥 +𝑦 𝑒 𝑦 有弯转时， 𝑒 𝑥 和 𝑒 𝑦 不是常向量。z有微小增量dz时，x轴和z轴旋转一 个小角度dφ=dz/ρ 𝑑 𝑟 0 𝑧 =𝑑𝑧 𝑒 𝑧 ，𝑑 𝑒 𝑥 =𝑑𝜑 𝑒 𝑧 ，𝑑 𝑒 𝑦 =0，𝑑 𝑒 𝑧 =−𝑑𝜑 𝑒 𝑥 𝑣 𝑧 =𝑑𝑧/𝑑𝑡，因此（定义’表示对z微分） 𝑣 = 𝑣 𝑧 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 ，𝑣≈ 𝑣 𝑧 1+ 𝑥 𝜌 + 1 2 𝑥 ′2 + 1 2 𝑦 ′2 𝑣 ′ = 𝑣 𝑧 2 𝜌 𝑥 ′ +𝑥 1 𝜌 ′ + 𝑣 𝑧 ′ 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 + 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 + 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑣 𝑧 𝑦 ′′ + 𝑣 𝑧 ′ 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 有近似，推导略

坐标系与磁场 要点： 曲率象征坐标系的弯曲程度，直线时为零，弯转半径无穷大 𝑣 𝑧 =𝑑𝑧/𝑑𝑡，特定粒子坐标z随时间的瞬时增长率，近似而不等于理想粒子 速度，也不是该粒子速度在z方向的分量 𝑣 = 𝑣 𝑧 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 𝑣 𝑢 = 𝑣 𝑧 𝑢 ′ ， 𝑣 𝑧 与轨道弯曲程度、径向偏差有关 𝑣 ′ = 𝑣 𝑧 2 𝜌 𝑥 ′ +𝑥 1 𝜌 ′ + 𝑣 𝑧 ′ 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 + 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 + 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑣 𝑧 𝑦 ′′ + 𝑣 𝑧 ′ 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 X分量中有− 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 𝑣 𝑧 项，向心加速度 𝑣 𝑧 2 /𝑅，因设置了曲率坐标系 而产生，意味着弯转磁场

坐标系与磁场 横向运动约定 储存环：运动中不加速，动量不变 外加场无电场，仅有磁场 弯转轨道为水平面 磁场关于弯转轨道对称，弯转轨道上磁场仅有法向分量，粒子理想 轨道在弯转磁铁中弯转，在其他元件中为直线 定义：曲率中心在x<0为“正弯转”；“负弯转”时曲率和弯角<0 不考虑电荷，定义产生正弯转的By磁场为正；Bx>0时则粒子在铅垂面 内转向y较大的方向

坐标系与磁场 磁场的特征 任意恒定磁场可以展开为坐标变量的幂级数 各阶系数反映磁场对横向位置坐标的依赖关系，系数自身则是纵向 位置z的函数 粒子受到的横向作用力与其位置有关，迫使其向“理想轨道”靠拢或 偏离 高阶量可略去

坐标系与磁场 磁刚度与规格化 磁刚度 𝐵𝜌 0 = 𝑃 0 𝑒 = 𝐸 0 𝑒𝑐 = 𝐸 0 0.2997925 𝐵𝜌 0 = 𝑃 0 𝑒 = 𝐸 0 𝑒𝑐 = 𝐸 0 0.2997925 E：标称能量（GeV），磁刚度单位是Tm（特斯拉米） 有一定动量的带电粒子束对磁场强迫其弯转的“抗拒能力” 下标0的含义是“标称”，属于特定能量的束流 利用磁刚度对磁场规格化 将磁场强度及其对位置的各阶偏微商都除以磁刚度，称为磁场 对特定束流的规格化 规格化的好处是什么？思考一下！

坐标系与磁场 磁场的多极分量 𝐵 𝑦 𝑥 = 𝐵 𝑦0 + 𝑑 𝐵 𝑦 𝑑𝑥 𝑥+ 1 2! 𝑑 2 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 2 𝑥 2 + 1 3! 𝑑 3 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 3 𝑥 3 +… 零阶：二极场，Dipole，弯铁 一阶：四极场，Quadrupole，四极铁 理想四极磁铁： 𝛻 × 𝐵 = 𝑗 + 𝜕 𝐸 𝜕t =0， ⇒ 𝜕 𝐵 𝑥 𝜕𝑦 = 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 =k By=kx，Bx=ky k>0时，x>0的粒子受到向内的偏转力，x减小，聚焦 由于上述关系，Bx以同样系数k增大，使得y>0的粒子向上偏转 x/y两方向在同一个磁铁中聚焦/散焦相反

坐标系与磁场 磁场的多极分量 𝐵 𝑦 𝑥 = 𝐵 𝑦0 + 𝑑 𝐵 𝑦 𝑑𝑥 𝑥+ 1 2! 𝑑 2 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 2 𝑥 2 + 1 3! 𝑑 3 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 3 𝑥 3 +… 磁场By的展开式中，x的n次幂称为2(n+1)极场 n≥2时，称为高阶项，或者“非线性项”，产生复杂的非线性 1 𝜌 = 1 𝐵𝜌 0 𝐵 𝑦0 ，𝐾= 1 𝐵𝜌 0 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 0 ，𝜆= 1 𝐵𝜌 0 𝜕 2 𝐵 𝑦 𝜕 𝑥 2 0 分别称为规格化的二极场强度、四极场强度（聚焦强度）和六极场强 度 大于0时分别表示：向内弯转；水平聚焦；x>0处水平聚焦被加强

Break

横向运动的方程 洛伦兹方程 d 𝑃 d𝑡 =𝑒 𝑣 × 𝐵 视 𝑃 ，m，v为常数， 𝑃 =𝑚 𝑣 = 𝑃/𝑣 𝑣 对微小的动量差δ， 𝑃 = 1+𝛿 𝑃 0 = 1+𝛿 𝑒 𝐵 𝜚 0 1+𝛿 𝑣 𝑧 𝑣 𝑣 ′ = 𝑣 × 1 𝐵𝜌 0 𝐵 上式中两个横向的分量分别包含 𝑥 ′′ 和 y ′′ ，也就是x和y的轨迹方程

横向运动的方程 轨迹方程 利用理想磁场展开式，忽略二阶及以上小量 准确到一阶的近似运动方程，线性方程 x，x’，y，y’和δ一阶小量；有δ和v的因子均展开为多项式 Bz（理想轨道上为零）和 𝑣 𝑧 ′ 同样是一阶小量 𝑥 ′′ + 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾 𝑠 𝑥= 1 𝜌 𝑠 ∆𝑝 𝑝 𝑦 ′′ −𝐾 𝑠 𝑦=0 𝐾= 1 𝐵𝜌 0 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 0 ∆𝑝 𝑝 其中𝜌 𝑠 为轨道曲率半径 为聚焦函数 为动量分散

横向运动 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 没有能散的情形 二阶齐次微分方程的通解 ∆𝑝 𝑝 =0 写成矩阵形式：传输矩阵 周期性条件 全环磁场非均匀分布时，通解可引入周期性Lattice函数β（twiss参数α、 β、γ）、η来描述 ∆𝑝 𝑝 =0 Hill方程 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 周期性条件 𝐾 𝑠+𝐿 =𝐾 𝑠

经典回归 Hill方程 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 对比：简谐振动 𝑥 + 𝜔 2 𝑥=0 𝑢= 𝑎 𝑢 𝛽 𝑢 cos 1 𝛽 + 𝜑 0 保守力系统，哈密顿量，势能，动能，相互转化…… 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 𝑥 + 𝜔 2 𝑥=0 横向振荡的包络 𝑢= 𝑎 𝑢 𝛽 𝑢 cos 1 𝛽 + 𝜑 0

横向运动的方程 考虑动量分散的情况 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿 基本特点 其中，u=x or y， 𝐹 𝑥 = 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾， 𝐹 𝑦 =−𝐾，Gx=1/ρ，Gy=0 基本特点 线性近似下，x和y方向没有耦合，可以分别求解 F和G与u或δ均无关，是纵向位置z的已知函数：可以设计 可以是任何函数，随z变化，阶跃、连续…… F描述𝑢′′随横向位置u的变化趋势，大于0时聚焦，小于0时散焦 G描述𝑢′′随动量偏差δ的变化趋势，其作用称为色散 色散只在x方向发生，δ较大的粒子偏向外侧 纵向运动对横向的耦合 偏向外侧又会如何？ 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿

横向运动的方程 横向运动的方程 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿 储存环中的三种线性元件 其中，u=x or y， 𝐹 𝑥 = 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾， 𝐹 𝑦 =−𝐾，Gx=1/ρ，Gy=0 储存环中的三种线性元件 漂移段：1/ρ和K均为0，横向运动方程为 𝑢 ′′ =0，横向轨迹为直线 理想情况下的四极磁铁： 1/ρ=0， 𝑢′′±𝐾𝑢=0 弯转磁铁：两个横向方程不对称；y方向K=0时为漂移段 水平：提供弱聚焦；引入色散 左图：半径相同，远处相交 右图：动量偏大，向外移动 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿

横向运动的方程 纵向位置的变化 弯转平面是水平面时，粒子纵坐标变化率： 𝑧 𝑑 ′ =− 1 𝜌 𝑥+ 1 𝛾 2 𝛿 𝑧 𝑑 ′ =− 1 𝜌 𝑥+ 1 𝛾 2 𝛿 推导过程：取一阶小量情况下，任意粒子纵坐标增量与理想粒 子关系，再利用前半节课最初对曲线正交坐标系下情况的推 导…… 物理意义： δ大的粒子跑得快，无论弯转与否均有影响，第二项反映了动 量差与速度差的换算关系 X坐标大的跑“外圈”，将会落后 对横向运动关系不大，但纵向位置的变化会引起加速相位的改 变

横向运动的方程 磁场全环均布情况下的稳定性条件 全环磁场相同 K和ρ处处相等，“整块磁铁” 弱聚焦加速器 稳定解条件： 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾 𝑠 >0且𝐾 𝑠 <0 整块二极铁：磁场内侧较强、外侧较弱(K<0)，垂直校正；梯度 绝对值不可以太大，水平散焦力不能高于弱聚焦 1 𝜌 2 𝑠 磁场降落指数 𝑛=− 𝜌 𝐵 𝑦0 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 =− 𝜌 2 𝐾，稳定性条件0<n<1 𝑥 ′′ + 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾 𝑠 𝑥= 1 𝜌 𝑠 𝛿 𝑦 ′′ −𝐾 𝑠 𝑦=0

横向运动方程的解 矩阵形式 变换矩阵 又叫传输矩阵 取决于聚焦结构（磁结构） 分离式聚焦结构—K(s)是分段常数

聚焦节（四极铁） K为正常数,聚焦 l为元件长度 初始条件 证明从略

散焦节（四极铁） K为负常数,散焦 双曲函数hyperbolic l为元件长度 比较可知，横向两个方向上的聚焦函数差一个符号，所以，对于x方向聚焦的四极铁，在y方向上是散焦的，反之亦然

四极磁铁与分离聚焦 两块强度相等、符号相反的四极磁铁的聚焦作用 光学：等焦距的凹透镜和凸透镜组合最终结果是聚焦的 对应到四极磁铁： 角度变化∆ 𝑢 ′ =± 𝐾𝑢d𝑧 K的绝对值和磁铁有效长度大体相同 u大时的弯转角大

直线节（漂移空间） K=0, 直线节（漂移空间）或自由空间; 变换矩阵 在其中电子不受到任何外力作用，自由直线运动

二极磁铁与边缘场 扇形弯铁的变换矩阵 水平方向 垂直方向相当于自由空间 矩形弯铁的边缘场的作用 水平方向 垂直方向 硬边模型下的边缘场：视为冲量作用，水平散焦，垂直聚焦∆𝑥=∆𝑦=0，∆ 𝑥 ′ =𝑘𝑥，∆ 𝑦 ′ =−𝑘𝑦，𝑘=− 𝐾d𝑧= tan 𝜀/𝜌 矩形弯铁的边缘场的作用 扇形弯铁不用考虑边缘场，因为入射方向与法线平行。 水平方向 垂直方向 对于入射角出射角相等的矩形弯铁，矩阵形式会如何？

区间的变换矩阵 任何一个区间的矩阵是其每个子区间矩阵的乘积 变换矩阵相乘原则：左乘原则 按照电子看到元件的顺序，后面的元件的变换矩阵在前一个矩阵的左面 一个周期内有n个区间的话，则该周期变换矩阵为

任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 记 可以证明* 任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 其本征方程 其本征值满足 即 怎么证明行列式=1？ 令 对|cosμ|＜1，解为 λ与横向振荡的关系：如果是实数解，则λ为绝对值大于1和小于1的一对解。 考虑到λ为特征值，意味着反映真实粒子状态变化参量，变为 𝜆 𝑛 𝑈 ，随圈数指数上升！

稳定解条件 定义α、β、γ 得到 是电子横向振荡的振幅函数 电子每经过一个周期L的相角改变量

横向运动的工作点 α、 β、γ叫做Twiss参数，也叫Courant-Snyder参数 如果储存环由N个周期组成，则粒子在储存环中回旋一周 后的相移为Nμ 工作点与共振： 与闭轨畸变等有关，不可以为整数、半整数，三分之一整数…… 物理图像：电磁外力F的频率包含多条谱线，频率等于±υu时共振 (n±1) υu=N，2(n+1)为磁场极数 HLS I的横向振荡频率图与工作点 定义 则υ(υx, υy)是粒子每回旋一圈时的横向振荡数，或称为横向振荡频率。 υx, υy也被称为储存环的工作点。

相移μ独立于坐标s的参考点 证明如下 线性代数：相似矩阵的迹和特征值相同 教材中提到的矩阵J的迹为零似乎与此结论没有明显因果关系。行列式不为零的矩阵存在逆矩阵。 线性代数：相似矩阵的迹和特征值相同