引力规则下二维平面上加边网络渗流的数值模拟 报告人：贾龙涛 导 师：朱陈平 单 位：南京航空航天大学

提纲 研究背景 研究动机 二维平面上网络渗流的引力模型 数值模拟的结果 总结 随距离d次方衰减 在通讯范围内的拓扑连边

研究背景：Product Rule A：ER网络生成规则，随机选取不相连的两点相连。 B：Achlioptas 加边过程，即PR规则，随机选取两条备选连边， 计算四个结点所在组元的质量M1,M2,M3,M4。如果 选择e1相连。 C：A B两过程中，巨组元的大小（质量）比例随着加边数目增加时的相变。 Science, Achlioptas, 323, 1453-1455(2009)

研究背景：通讯半径和实际距离 通讯半径 ad hoc网络中，每一通讯结点由于节能的要求，不能和所有节点直接相连，因此每个终端都有一个有限的通讯范围。 实际距离 大多数的现实网络中，连边与否与实际距离有关，一般来说，连边概率是随距离而衰减的。 Yanqing.Hu, Zengru.Di , arxiv. 2010. G.Li, H.E.Stanley , PRL 104(018701). 2010.

研究背景：随距离d次方衰减 a即本文中d，均为可调参数 G.Li, H.E.Stanley , PRL 104(018701). 2010.

研究背景：引力模型 诠释双边贸易流量的分析工具。 双边贸易流量的规模与它们各自的经济总量呈正比，而与它们之间的距离呈反比。 J.Tinbergen, 1962. P, Pöyhönen, Weltwirtschaftliches Archiv, 1963 J. E. Anderson, The American Economic Review, 1979 J.H. Bergstrand ., The review of economics and statistics.1985. E Helpman, PR Krugman , MIT press Cambridge.1985. Deardorff, A.V., NBER Working Paper 5377.1995.

研究动机 当PR规则结合距离因素时会有什么结果？ 连续渗流相变->爆炸渗流？ PR规则可能的应用背景？ 1.引力规则 2.通讯距离内的拓扑连接 3.通讯距离内的引力规则 连续渗流相变->爆炸渗流？ PR规则可能的应用背景？

模型一：随距离d次方衰减 与PR规则一样，产生两条边，计算四个节点所在组元的质量 最大引力规则： 最小引力规则： N 结点总数； L 网格宽度；T=连边总数/N； R 结点间实际距离；M 组元质量 d 可调参量； r 通讯半径；C=巨组元质量/N; Tc 相变点；N=L*L；

PR的推广----最小引力规则 Achlioptas 红线：爆炸渗流 黑线：ER随机图的渗流 最小引力规则下，渗流概率随距离幂次d 衰减的变化。插图：Tc(d) N=128*128. d: 0-50. 100次系综平均 当d->无穷，爆炸渗流过渡到ER网络的连续渗流。

PR的推广----最大引力规则 最大引力规则下，渗流概率C(T,d)的标度关系。 其中：a=-0.006, s=0.17 N=L*L， L=128， T0=0.826

模型二：通讯半径内拓扑连边 在给定的通讯半径 r 以内 令d=0. 最大引力规则： 紫色圆圈：通讯半径 最小引力规则：

通讯半径内拓扑连边的结果 最小引力规则： 最大引力规则： 在有通讯半径限制的情况下，两点之间拓扑相连，不计距离衰减因素，没有发现标度关系。随着r的增大，通讯半径的限制作用越弱，趋于PR规则。

模型三：通讯半径内的引力模型 在通讯半径 r 内 最大引力规则： 最小引力规则： 紫色圆圈：通讯半径

通讯半径内的引力规则：最大引力 给定d，在不同的通讯半径 r 下， 运用最大引力规则选边 当 r 从 3 到 8之间时，有标度关系： 其中 d=0.1，h=0.1， d=2， N=L*L， L=128，r0=2

通讯半径内的引力规则：最小引力 给定r，在不同的d值下，运用最小引力规则选边，有标度关系： 其中：f=0.23，w=-0.01，r=5，L=128，N=L*L，T0=3

g/n = 1-b/n. 有限尺寸标度变换：连续相变的标度律 1/n=0.2, b/n=0.005, g/n=0.995, 给定通讯半径 r 和距离衰减指数 d ， 有限尺寸标度变换：连续相变的标度律 g/n = 1-b/n. 连续相变，指数之间符合标度律： 1/n=0.2, b/n=0.005, g/n=0.995, F.Radicchi, PRL, 103,168701,(2009)

总结 g/n = 1-b/n. 给定通讯半径 r 和距离衰减指数 d ，有限尺度的标度变换，验证连续相变的标度律： 依据实际背景：引力模型，COST模型，adhoc通讯网络，改造了PR规则。在最小引力规则下，实现了爆炸渗流向ER网络连续渗流相变的过渡。 推广PR规则，建立了三个新的模型：最大引力，最小引力，有限通讯半径，以及它们的结合。数值计算结果发现了五个标度关系。 给定通讯半径 r 和距离衰减指数 d ，有限尺度的标度变换，验证连续相变的标度律： g/n = 1-b/n.

参考文献 [1] D. Achlioptas. R. M. D’Souza. and J. Spencer, “Explosive Percolation in Random Networks”, Science, vol. 323, pp. 1453-1455, Mar. 2009. [2] R. M. Ziff, “Explosive Growth in Biased Dynamic Percolation on Two-Dimensional Regular Lattice Networks”, Phys. Rev. Lett, vol. 103, pp. 045701(1)-(4), Jul. 2009. [3] Y. S. Cho. et al, “Percolation Transitions in Scale-Free Networks under the Achlioptas Process”, Phys. Rev. Lett, vol. 103, pp. 135702(1)-(4), Sep. 2009. [4] F. Radicchi and S. Fortunato, “Explosive Percolation in Scale-Free Networks”, Phys. Rev Lett, vol. 103, pp. 168701(1)-168701(4), Oct. 2009. [5] Friedman EJ, Landsberg AS, “Construction and Analysis of Random Networks with Explosive Percolation”, Phys. Rev Lett, vol. 103, 255701, Dec. 2009. [6] D'Souza RM, Mitzenmacher M, “Local Cluster Aggregation Models of Explosive Percolation”, Phys. Rev Lett, vol. 104, 195702, May. 2010. [7] Moreira AA, Oliveira EA, et al. “Hamiltonian approach for explosive percolation”, Physical Review E, vol. 81, 040101, Apr. 2010. [8] Araujo NAM, Herrmann HJ, “Explosive Percolation via Control of the Largest Cluster”, Phys. Rev. Lett, vol. 105, 035701, Jul. 2010.

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