科學計算之 動態系統介紹 張 書 銘 交通大學應用數學系 smchang@math.nctu.edu.tw 2010 年 10 月 19 日

Outline Scientific Computing Dynamical System Computational Dynamical System Chaos Examine Chaos Examples

科學計算 借助電腦高速計算的能力，來解決現代科學、工程、經濟或人文上的複雜問題。 - 通常實際的問題，可以根據物理定律或假設，導出反應此現象的數學公式或模型。 - 透過數學分析與計算方法，再經由電腦程式計算之後，模擬與估計，進而預測此物理現象。 狹義的科學計算，是針對某特定的數學問題，設計有效的計算方法來求解，即為數值計算。

What's a Dynamical System? 動態系統，也稱 動力系統。 關心所描述的對象之變化情形。 在數學上的概念是動態系統中存在一個固定規則，描述了幾何空間中的一個 點 隨著時間 變化情況。

What's a Dynamical System? 固定規則，描述幾何空間中的點隨著時間變化情況。 例如：描述 鐘擺晃動、管道中水的流動，或者 湖中每年春季魚類的數量，凡此等等的數學模型都是動態系統。

What's a Dynamical System? 確切來說, 動態系統就是要研究運動方程的解，對象包括自然界各種物理系統（行星軌道）、生態系統、工程系統（電路問題）及經濟股市等等。 當前混沌系統是動態系統研究熱點之一。

Dynamical System 形式上來說，動態系統可分為： （1）離散動態系統 (discrete D.S.) 遞迴關係式 （2）連續動態系統 (continuous D.S.) 常微分方程, 偏微分方程 延遲微分方程 (delay D.E.) （3）隨機動態系統 (stochastic D.S.)

Computational Dynamical System （1）離散動態系統: （2）連續動態系統: 常微分方程 偏微分方程 延遲微分方程 （3）隨機動態系統

Computational Dynamical System 求解常微分方程的數值計算方法中，最簡單的是Euler method。由於廿世紀中期之後，電子計算機的發達且蓬勃發展，使得運用數值方法來求微分方程的解已經是一門相當專門的學科。

Computational Dynamical System MatLab高階常微分方程數值計算方法: one-step solver: Runge-Kutta method (ode23, ode45) multistep solver: Adams-Bashforth-Moulton method (ode113)

離散動態系統: tent map

離散動態系統: logistic map

離散動態系統: Hénon map

離散動態系統: predator-prey map

連續動態系統: Duffing equation

連續動態系統: Van der Pol oscillator

連續動態系統: Rössler system

連續動態系統: Lorenz system

動態系統模型: modified logistic map

動態系統模型: 3 2D charged particles

動態系統模型: 3 vortices system

Discrete Dynamical System 離散動態系統的解，有哪些種可能性?

Continuous Dynamical System 連續動態系統的解，有哪些種可能性?

Solutions in Dynamical System （1）離散動態系統的解: 發散(infinity) 、固定點、週期解、 擬週期(quasi-periodic)、? （2）連續動態系統的解: 發散(infinity) 、平衡點、週期解、 極限環(limit cycle) 、 擬週期(quasi-periodic)、 ?

Solutions in Dynamical System 0-D: equilibrium points (radial, spiral, saddle) 1-D: limit cycles (closed loops) 2-D: 2-toruses (quasiperiodic surfaces) N-D: N-toruses (hypersurfaces) Non-integer D: strange attractors (fractal) (attractor dimension < system dimension)

Chaos 混沌理論認為在混沌系統中，初始條件十分敏感，其微小的變化，在經過不斷放大，對未來狀態會造成極其巨大的差別。

Chaos smoke of cigarette milk in coffee

Lorenz attractor

Chaos 1963年美國氣象學家 Edward N. Lorenz提出混沌理論（Chaos），非線性系統具有的多樣性和多尺度性。混沌理論解釋了決定系統可能產生隨機結果。此理論最大貢獻是用簡單的模型獲得明確之非週期結果。在氣象、航空及太空等領域的研究裡有重大的作用。

Devanvey's chaos 敏感性(sensitivity)： 傳遞性(transitivity)： 週期解稠密性(density)： 對初始條件非常敏感，差之毫釐失之千里。 傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。 週期解稠密性(density)： 存在任意週期。

Devanvey's chaos 傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。

Examine Chaos bifurcation diagram Feigenbaum constant period doubling bif.: logistic map intermittence bif.: tent map Feigenbaum constant δ= 4.66920160910299067185320382… spectrum analysis (fft)

Examine Chaos Poincaré map (conti. D.S.)

Examine Chaos Lyapunov exponent (Lyapunov characteristic exponent) Poincaré recurrence homoclinic orbit (snapback repellor)

Bifurcation diagram

Bifurcation diagram

Feigenbaum constant δ= 4.66920160910299067185320382…

FFT (Fast Fourier transform)

FFT (Fast Fourier transform)

Poincaré map

Poincaré map 發散(infinity)、平衡點 週期解 極限環(limit cycle) 擬週期(quasi-periodic) chaos

Poincaré map

Poincaré map

Poincaré map

Poincaré map

Lyapunov exponent

Lyapunov exponent [ Definition] global Lyapunov exponent [Computation] local Lyapunov exponent (average the phase-space volume expansion along trajectory)

Local Lyapunov exponent

Local Lyapunov exponent

Poincaré recurrence positive topological entropy

Homoclinic orbit

MLM: modified logistic map

Logistic map

Modified Logistic map

Properties of MLM Chaotic map No windows Uniform distribution Equivalent Pseudorandom

MLM: chaotic map

MLM: no windows

MLM: no windows

MLM: Poincaré recurrence

MLM: uniform distribution (FFT)

MLM: equivalent (bits error rate analysis)

MLM: pseudorandom

MLM: pseudorandom (SP 800-22)

References V. Afraimovich, J. Schmeling, E. Ugalde, J. Urias, Spectra of dimensions for Poincare recurrences, Discrete Contin. Dyn. Syst. 6 (4) (2000) 901-914. S. M. Chang, M. C. Li and W. W. Lin, Asymptotic synchronization of modified logistic hyper-chaotic systems and its applications. Nonlinear Analysis: Real World Applications, Vol. 10, Issue 2 (2009), pp. 869–880. S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Chaotic and Quasiperiodic Motions of Three Planar Charged Particles. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 11, No. 7 (2001), pp. 1937–1951.

References S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Dynamics of Vortices in Two-Dimensional Bose-Einstein Condensates. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 12, No. 4 (2002), pp. 739–764. S. L. Chen, S. M. Chang, T. T. Hwang and W. W. Lin, Digital secure-communication using robust hyper-chaotic systems. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 18, No. 11 (2008), pp. 1–14. T. S. Parker & L. O. Chua, Practical Numerical Algorithm for Chaotic Systems, Ch.3, Springer-Verlag, 1989. B. Saussol, S. Troubetzkoy, S. Vaienti, Recurrence, dimensions and Lyapunov exponents, J. Statist. Phys. 106 (314) (2002) 623–634.

References List of chaotic maps. http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_chaotic_maps 動態系統, 動力系統, 混沌理論. http://zh.wikipedia.org/zh-tw/ Lyapunov Exponents, Chaos and Time-Series Analysis. http://sprott.physics.wisc.edu/phys505/lect05.htm

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