一階與二階RLC電路分析 學習目標 在含有電感和電容的電路中，其電壓和電流不能瞬間改變，會產生暫態現象。 甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象。 了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的。 學習目標 一階電路 電路中含有單一儲能元件 儲能元件可能是一個電容或是一個電感 二階電路 電路中連接兩個儲能元件

具有電感器和(或)電容器的線性電路分析 在做電路分析時，我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型。 一旦求得此方程組的解，我們就可以分析此電路模型。 例如，在做電阻電路的節點或迴路分析， 電路的數學模型可以表示成一組代數方程式。 電路模型 當電路含有電感器或電容器時，電路模型就會變成微分方程式 。 因此，為了分析具有儲能元 件的電路，需要分析和求解微分方程式的工具。 根據戴維寧等效定理，將發展找出具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法。 當解答可以事先知道時，在一些特殊狀況下，一般方法可以被簡化。 在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情。 在定電源的情況下，將詳細討論其中的兩個特殊狀況。 一個是假設微分方程式可以得到，另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的---但是它通常是更長的時間。 我們也將討論當線性電路有其它簡單輸入時，此電路的性能。

簡介 當開關切到左邊時，電容接收從電池來的電荷 當開關切到右邊時， 電容經由閃光燈放電 電容和電感可以儲存能量，而且在一些狀況下能量可以被釋放出。 能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數。 當開關切到左邊時，電容接收從電池來的電荷 當開關切到右邊時， 電容經由閃光燈放電

一般響應:一階電路 給定初始條件，電容電壓或電感電流的數 學模型具有以下型式 使用積分因子可以將微分方程式變為具有 注意：這個表示式允許任意的外加函數。不過在這裡 我們只討論外加函數是常數的特殊狀況。 使用積分因子可以將微分方程式變為具有 正合的特性，所以利用積分因子的方法解 以上的微分方程式

具有定電源的一階電路 假如微分方程式等號的右邊是常數 解的型式為 在電路上的任意變數具有如下的型式 只有K_1和K_2的值不同 時間常數 暫態 在電路上的任意變數具有如下的型式 只有K_1和K_2的值不同

暫態的變化和時間常數的解釋 正切到在一個時間常數的X軸 在一個時間常數下降0.632倍 的初始值 由於小於2%誤差， 在這點之後暫態為零 定性觀點： 較小的時間常數，暫態現象較快 消失

時間常數 下面的範例將說明 時間常數的物理意義 在五個時間常數後， 誤差小於1%， 暫態可以忽略 對電容充電 電路數學模型 解具有如下的型式 暫態 從實際的觀點來看，當暫態可以忽略時 ，電容被充電

電路含有一個儲能元件 微分方程式法 條件 1. 電路只有獨立恆定電源 2. 對於關注的變數可以容易得到微分方程式。通常，使用基本的分析工具，如 KCL、 KVL. . .或戴維寧等效定律 3. 微分方程式的初始條件是已知的或者可以利用穩態分析得到 解決策略:使用微分方程式和初始條件來求參數

假如微分方程式中已經知道y的型式 利用初始條件得到一個等式 我們可以利用這項 資訊來找出y中的未知 變數 將解的型式代入微分方程式，並找出兩 個等式 捷徑：將微分方程式以變數係數為1做正規化 表示

學習範例 步驟 2 穩態分析 在穩態時解變成一個常數。因此解的微分 等於零。從微分方程式 從微分方程式得到的 穩態值 微分方程式已知，初始條件已知 步驟 1 時間常數 步驟 3 使用初始條件 從微分項的係數得到時間常數

學習範例 KVL 步驟 1 步驟 2 穩態 步驟 3 初始條件

練習範例 步驟 1 步驟 2 步驟 3

初始條件 步驟 1 步驟 2 從電容電壓來決定電路數學模型，較 為簡單 步驟 3

學習範例 KVL(t>0) 步驟 2: 使用穩態分析求K1 接下來的步驟需要輸出訊號初始值， 為求初始條件，需要t<0時的電感電流並且在 開關期間，使用感應器電流的連續性。 當t<0時，做穩態的假設可以簡化分析 步驟 1

電路在穩態狀況下 (t<0) KVL KVL 使用戴維寧定律時，假設電感在穩 態狀況下

學習評量 步驟 1 步驟 2 初始條件。電路在t<0時為穩態狀況 步驟 3

學習評量 電路在開關之前為穩態狀況 步驟 1 步驟 3 步驟 2 要找出初始條件需要t<0的電感電流

使用戴維寧定律得到數學模型 得到電容電壓或流過電感的電流 戴維寧等效電路 在節點a使用KCL 使用 KVL

範例 在此範例中要求出流過電感的電流。 數學模型為 此微分方程式的解的型號為 下個步驟: 利用初始條件

迴路分析 節點分析 由於 K1=0 所以解為 求在0+的值

範例 假如電容的電壓已知， 則這個問題是可解的 v_c 的數學模型 現在，我們須要使用穩態的假設 和連續性，決定初值v_c(0+)

電容電壓的連續性 微分方程式 方法

二階電路 電路基本方程式 單一節點 : 使用 KCL 單一迴路 : 使用 KVL 對上式微分

學習範例 RLC 電路並聯的數學模型 RLC 電路串聯的數學模型

響應方程式 假如外力函數 f(t) 是一個常數

齊次微分方程式 學習範例 二次微分項的係數必須為 1 阻尼比和自然頻率

齊次方程式的分析 若且唯若 s 是特性方程式的解

學習評量 試求下列微分方程式的一般解 同除二階微分係數 為實數重根 為共軛複數根

解的型式 學習評量 試決定不同C參數的響應類型 齊次微分方程式 C=0.5 欠阻尼 C=1.0 臨界阻尼 C=2.0 過阻尼

網路響應 試決定常數值

學習範例 為找出未知常數我們需要 步驟 1 數學模型 分析在 t=0+時 的電路 步驟 2 步驟 3 特性根 步驟 4 解的型式 步驟 5: 求解未知常數

利用MATLAB畫出電路響應 %script6p7.m %plots the response in Example 6.7 %v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0 t=linspace(0,20,1000); v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t); plot(t,v,'mo'), grid, xlabel('time(sec)'), ylabel('V(Volts)') title('RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')

學習範例 t=0為不連續狀況 使用 t=0 或 t=0+ 數學模型 解:

利用MATLAB畫出電路響應 %script6p8.m %displays the function i(t)=exp(-3t)(4cos(4t)-2sin(4t)) % and the function vc(t)=exp(-3t)(-4cos(4t)+22sin(4t)) % use a simle algorithm to estimate display time tau=1/3; tend=10*tau; t=linspace(0,tend,350); it=exp(-3*t).*(4*cos(4*t)-2*sin(4*t)); vc=exp(-3*t).*(-4*cos(4*t)+22*sin(4*t)); plot(t,it,'ro',t,vc,'bd'),grid,xlabel('Time(s)'),ylabel('Voltage/Current') title('CURRENT AND CAPACITOR VOLTAGE') legend('CURRENT(A)','CAPACITOR VOLTAGE(V)')

學習範例 KVL KCL 在t=0為不連續狀況 使用 t=0 或 t=0+

利用MATLAB畫出電路響應 %script6p9.m %displays the function v(t)=exp(-3t)(1+6t) tau=1/3; tend=ceil(10*tau); t=linspace(0,tend,400); vt=exp(-3*t).*(1+6*t); plot(t,vt,'rx'),grid, xlabel('Time(s)'), ylabel('Voltage(V)') title('CAPACITOR VOLTAGE')

學習評量 為求出初始條件，對 t<0做穩態分析 並且分析t=0+時 的電路 =0 =2 當開關開路時，為串聯 RLC電路

學習評量 為求出初始條件，對 t<0做穩態分析 KVL 並且分析t=0+時的電路 當 t>0 時，為串聯 RLC 電路

學習評量 對 t<0做穩態分析 KVL 分析t=0+時的電路 二階 電路