第3章 电路叠加与等效变换 3.1 线性电路叠加 3.2 单口网络等效的概念 3.3 单口电阻网络的等效变换 3.4 含源单口网络的等效变换 第3章 电路叠加与等效变换 3.1 线性电路叠加 3.2 单口网络等效的概念 3.3 单口电阻网络的等效变换 3.4 含源单口网络的等效变换 3.5 替代定理 3.6 戴维南定理和诺顿定理 3.7 最大功率传输定理 *3.8 研究性学习：有源忆阻元件VCR曲线

重点： 1. 掌握叠加定理的应用。 2. 掌握利用电路等效变换进行电路分析的方法。 3. 掌握戴维南定理及诺顿定理的应用。 4. 掌握最大功率传输定理的应用。

3.1 线性电路叠加 3.1.1 线性电路的齐次性 当激励增大或减小k倍时，响应也同样增大或减小k倍。

【例3 – 1】 电路如下图所示。(1) 已知I5 = 1 A，求各支路电流和电压源电压US；(2)若已知US = 120 V，求各支路电流。 解 (1) 用2b法，由后向前推算。

(2) 当US = 120 V时，它是原来电压80 V的1.5倍，则该电路中各电压和电流均增加到1.5倍，即

3.1.2 叠加定理

其中

叠加定理：在任一线性电路中，某处电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处分别产生的电压或电流的叠加。 当某一独立源单独作用时，其它独立源应为零值，即独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替。

在线性电路中，任何一个电流变量或电压变量，作为电路的响应y(t)，与电路各个激励xm(t)的关系可表示为

注意： (1) 叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。 (2) 应用叠加定理求电压和电流是代数量的叠加，电压、电流参考方向与原电路一致时取正，反之取负。

(3) 当一个独立电源单独作用时，其余独立电源都置零（理想电压源短路，理想电流源开路）。 (4) 功率不等于按各分电路计算所得功率的叠加，这是由于功率与激励不成线性关系。

(5) 含(线性)受控源的电路，应把受控源作为一般元件始终保留在电路中。 (6) 叠加的方式是任意的，可以一次让一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。

【例3 – 2】 电路如图(a)所示，其中CCVS的电压受流过6 Ω电阻的电流控制。求电压u3。

解：在图(b)中有 在图(c)中有 所以

【例3 – 3】 在图(a)所示电路中的电阻R2处再串接一个6 V电压源，重求u3。

利用上例结果，图(b)的分响应为 而在图(c)中 所以

【例3 – 4】 在下图所示电路中，N的内部结构不知，但只含线性电阻，在激励uS和iS作用下，其测试数据为：当uS = 1 V，iS = 1 A时，u = 0；当uS = 10 V，iS = 0时，u = 1 V。若uS = 0，iS = 10 A时，u为多少？

解 此式在任何uS和iS时均成立，故由两次测试结果可得 联立解得 故知 当uS = 0，iS = 10 A时

3.2 单口网络等效的概念 3.2.1 单口网络等效的概念 对外只有两个端钮且进出这两个端钮的电流是同一电流，则此网络称为二端网络或单口网络。

如果一个单口网络N和另一个单口网络N′的电压、电流关系完全相同，即它们在u – i平面上的伏安特性曲线完全重叠，则称这两个单口网络互为等效网络。

电路等效变换： (1) 条件：两电路对外电路具有相同的VCR； (2) 对象：外电路中的电压、电流和功率均保持不变； (3) 目的：是为了化简电路，方便电路的分析和计算。

3.2.2 单口网络的伏安关系 当单口网络内部情况不明时，其端口的伏安关系可以用实验方法测量得到； 当单口网络内部结构参数明确时，其端口的伏安关系也可以通过解析方法得到。

【例3 – 5】 求下图所示单口网络的VCR方程，并画出单口网络的等效电路。已知uS = 6 V，iS = 2 A，R1 = 2 Ω，R2 = 3 Ω。 解 通常用“外加电压源求电流”或“外加电流源求电压”的方法来解决。

在端口外加电流源i，则可以写出端口电压的表达式 其中，uOC称为该单口网络端口的开路电压。

即 根据以上分析所得到的单口网络的VCR方程与图(b)所示的单口网络的VCR方程完全相同，所以图(a)所示的单口网络可以等效为电压源uOC和电阻R0的串联组合。

【例3 – 6】 求下图所示的只含电阻的单口网络的VCR方程，并画出单口网络的等效电路。 解 在电路端口外加电压源u，由网孔分析法可得方程

根据上式可见，线性电阻单口网络的端口电压和电流之比为常数，其等效电路是一个电阻

3.3 单口电阻网络的等效变换 在下图 所示的无源线性单口网络Np中，设端口电压u和电流i为关联参考方向，则定义该无源单口网络的等效电阻。

3.3.1 电阻的串联与并联 1. 电阻的串联与分压公式 若干个电阻一个个依次首尾联接，中间没有分支点，在电源的作用下，通过各电阻的电流都相同，这种联接方式称为电阻的串联。

等效电阻 分压公式

【例3 – 7】 如图所示，用一个满刻度偏转电流为0 【例3 – 7】 如图所示，用一个满刻度偏转电流为0.05 mA、内阻Rg为2 kΩ的表头制成量程25 V的直流电压表，应串联多大的附加电阻R？ 解 满刻度时表头电压 有电阻串联的分压公式可得

2. 电阻的并联与分流公式 等效电阻Req为 分流公式

【例3 – 8】 电路如图所示，用一个满刻度偏转电流为50 μA、内阻Rg为2 kΩ的表头制成量程10 mA的直流电流表，应并联多大的附加电阻R？ 解 运用电阻并联分流公式可得

【例3 – 9】 求下图所示电路的I1、I4、U4。 解 方法1：分流法

方法2：分压法

【例3 – 10】 下图所示电路是一个分压器电路，其中具有滑动接触端的三端电阻器称为电位器。随着c端的滑动，在bc端之间可以得到从零至U连续可变的电压。若已知U = 18 V，滑动点c的位置使R1 = 600 Ω，R2 = 400 Ω。 （1）求电压Uo； （2）若用内阻为1200 Ω的电压表去测量此电压，求电压表的读数； （3）若用内阻为3600 Ω的电压表再去测量此电压，求此时电压表的读数。

解 (1) 未接电压表时，图(a)所示电路中输出电压

解 (2) 设电压表的内阻为RV，接上电压表后，其等效电路如图(c)所示。 当电压表内阻为1200 Ω时，即RV1=1200 Ω，此时cb两端的等效电阻为

解 (3) 当电压表内阻为3600 Ω时，即RV2 = 3600 Ω，此时cb两端的等效电阻为 由电阻串联的分压公式可得

3.3.2 电阻星形联结与三角形联结的等效变换 在图(a)所示电路中，R1、R2、R3的一端都接在一个公共的节点上，各自的另一端则分别接在另外三个端子1、2、3上，此种连接方式为星形（Y形）联结。 在图(b)所示电路中，电阻R12、R23、R31则分别接在三个端子1、2、3的每两个之间，形成一个三角形，此种连接方式称为三角形（∆形）联结。

电阻的Y形联结和∆形联结等效变换的条件 电阻的Y形联结和∆形联结都是通过三个端子与外部相连的，它们之间进行等效变换的条件是它们对应端子之间的伏安关系完全相同。

例假设端钮3悬空，则端钮1、2之间的电阻相等，即 同理可得：

∆形联结等效变换为Y形联结的条件

Y形联结等效变换为∆形联结的条件

【例3 – 11】 求图(a)所示电路的等效电阻RAB。 解 由于三个电阻相同即RY=2 Ω，则∆形联结每边的电阻为

3.3.3 含受控源单口网络的等效电阻 如果一个单口网络内部是不含任何独立电源的电阻性电路，那么不论内部如何复杂，端口电压与端口电流成正比。定义该单口网络的输入电阻Ri为

求单口网络输入电阻的一般方法如下： (1) 如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和∆ – Y变换等方法即可求出它的等效电阻，输入电阻等于等效电阻；

(2) 对含有受控源和电阻的单口网络，应用在端口加电源的方法求输入电阻，即加电压源uS，然后求出端口电流i；或加电流源iS，求端口电压u。则输入电阻 这种计算方法称为外加电源法 。

【例3 – 12】 求下图所示单口网络的输入电阻。 解 在端钮1 – 1’处加电压uS， 根据KVL，有 再由KCL，i = i1+i2，可得

3.4 有源单口网络的等效变换 1. 理想电压源的串并联等效 (1) 理想电压源的串联 其等效条件为 推广到 3.4 有源单口网络的等效变换 1. 理想电压源的串并联等效 (1) 理想电压源的串联 其等效条件为 推广到 注意：式中uSk的参考方向与uS的参考方向一致时，uSk在式中取“＋”号，不一致时取“–”号。

(2) 理想电压源的并联 其等效条件为 说明：只有电压相等且极性一致的理想电压源才能并联，此时并联理想电压源的对外特性与单个理想电压源一样。

2. 理想电流源的串并联等效 (1) 理想电流源的并联 其等效条件为 推广到 注意：式中的iSk与iS的参考方向一致时，iSk在式中取“+”号，不一致时取“–”号，通过理想电流源的并联可以得到一个大的输出电流。

(2) 理想电流源的串联 其等效条件为 说明：只有电流大小相等且输出电流方向一致的理想电流源才能串联，此时串联理想电流源的对外特性与单个理想电流源一样。

3. 理想电源与其它元件的串并联等效 (1) 理想电压源与其它元件的并联等效 其等效条件为

3. 理想电源与其它元件的串并联等效 (2) 理想电流源与其它元件的串联等效 其等效条件为

【例3 – 13】 求下图(a)所示电路A、B端的电路模型。

3.4.2 实际电源的两种模型及其等效变换 1. 实际电源的两种模型 （1）实际电压源的电路模型 伏安关系

（2）实际电流源的电路模型 伏安关系

2. 实际电源两种模型间的等效变换 比较 与 得： R = 1/G US = IS/G 或 IS = US/R

【例3 – 14】 求图(a)所示电路中电流i。

【例3 – 15】 图(a)所示电路中，已知uS = 12 V，R = 2 Ω，VCCS的电流ic受电阻R上的电压uR控制，且ic = guR，g = 2 S。求uR。

【例3 – 16】 求图(a)所示电路中的电压U和电流I。

3.5 替代定理 在具有唯一解的任意集中参数网络中，若某条支路的支路电压为u和支路电流为i，且该支路与网络中的其它支路无耦合，则该支路可以用方向和大小与u相同的理想电压源替代，或用方向和大小与i相同的理想电流源替代，替代后原电路中全部支路电压和支路电流都将保持原值不变（仍具有唯一解）。

解 列写KVL方程，得 I =1 A 【例3 – 17】 图(a)所示电路中，若要使uab = 0 V，试求电阻R。 应用替代定理，将a、b间的支路用电流为1 A的电流源进行替代。

在图(b)中，选择节点d为参考节点，列写节点电压方程，得 又因为 联合求解得 R = 6 Ω

【例3 – 18】 图(a)所示电路中，N1为线性电阻网络，US = 10 V，IS = 4 A时，I1 = 4 A，I3 = 2 【例3 – 18】 图(a)所示电路中，N1为线性电阻网络，US = 10 V，IS = 4 A时，I1 = 4 A，I3 = 2.8 A；US = 0 V，IS = 2 A时，I1 = –0.5 A，I3 = 0.4 A；若图3 – 51(a)中US换以8 Ω电阻，在图(b)中，求当IS = 10 A时，I1、I3的值。

解 在图(a)中，根据叠加定理得 代入数据得 解得 ∴

图(b)中将8 Ω电阻用电压源(–8I1)替代，如图(c)所示，则

3.6 戴维宁定理和诺顿定理 3.6.1 戴维宁定理 任何有源线性单口网路，对于外电路来说，都可以用一个电压源和一个电阻的串联组合来等效，该电路称为戴维宁等效电路。其中电压源的电压等于该网络的端口开路电压uOC，串联电阻等于有源单口网络内部全部独立电源置零（即电压源短路，电流源开路）时，所得无源单口网络N0的等效电阻R0。

证明：

【例3 – 19】 试用戴维宁定理求图(a)所示电路中的电流i。 (1) 求开路电压uOC

(2) 求等效电阻R0

(3) 求出电流i，戴维宁等效电路如图(d)所示，则

【例3 – 20】 图(a)所示电路中，已知uS1 = 40 V，uS2 = 40 V，R1 = 4 Ω，R2 = 2 Ω，R3 = 5 Ω，R4 = 10 Ω，R5 = 8 Ω，R6 = 2 Ω，求通过R3的电流i3。

（1）左侧是一个有源线性单口网络，其等效电路如图(c)所示，其中

（2）求右侧无源单口网络的等效电阻 （3）由图(d)所示电路可求通过R3的电流为

【例3 – 21】 图(a)所示的直流单臂电桥（又称惠斯通电桥）电路中，求流过检流计的电流ig。 (1) 断开检流计所在支路，求开路电压uOC

(2) 求等效电阻R0。

(3) 画出戴维宁等效电路

3.6.2 诺顿定理 任何有源线性单口网路，对于外电路来说，都可以用一个电流源和电导的并联组合来等效，该电路称为诺顿等效电路。其中电流源的电流等于该网络的短路电流isc；并联电导等于该有源单口网络中所有独立源为零值（即电压源短路，电流源开路）时，所得无源单口网络N0的等效电导G0。

【例3 – 22】 求图(a)所示电路的诺顿等效电路。 解 (1) 求短路电流iSC，如图(b)所示

(2) 求等效电阻R0

(3) 诺顿等效电路如图(d)所示。

【例3 – 23】 求图(a)所示有源单口网络的戴维宁等效电路和诺顿等效电路。单口网络内部电流控制电流源，ic = 0.75i1。 解 （1）求开路电压uOC 对网孔I列KVL方程，得 代入i2 = 1.75i1，可以求得i1 = 1 mA。而开路电压

（2）当ab短路时，可求得短路电流iSC，如图 (b)所示。

（3）对应的戴维宁等效电路和诺顿等效电路分别如图(c)和图(d)所示。

【例3 – 24】 求图(a)所示电路的戴维宁等效电路。 解 (1) 求开路电压uOC

(2) 求等效电阻R0 方法一 开路短路法

方法二 加压求流法 经过电源等效变换得图(e)，列写KVL得 解得

(3) 求得uOC及R0后，即可得出戴维宁等效电路如图(f)所示。

3.7 最大功率传输定理 图(a)所示电路在什么条件下，负载能得到的功率为最大呢？有源线性单口网络N1可以用戴维宁等效电路代替，如图(b)所示。

RL为任意值时的功率 要使p为最大，应使dp/dR L = 0，由此可解得p为最大时的RL值。 此时，负载获得的最大功率为

【例3 – 25】 如图(a)所示电路，(1) 求负载RL获得最大功率时的值；(2) 计算此时RL得到的功率；(3) 当RL获得最大功率时，求20 V电源产生的功率传递给RL的百分数。

解 (1) 先求虚线框内有源线性单口网络的戴维宁等效电路

(2) RL获得的最大功率为 当RL = R0 = 5 Ω时，RL获得最大功率。

(3) RL 两端电压为 负载所得功率的百分数为

【例3 – 26】 如图(a)所示电路，求负载RL为何值时获得最大功率，并计算此最大功率。

解 (1) 先求虚线框内有源线性单口网络的戴维宁等效电路 解 (1) 先求虚线框内有源线性单口网络的戴维宁等效电路 ①求开路电压UOC 写KVL，得 解得

②求等效电阻R0 采用加压求流法 列写KVL得 解得 则

③画出戴维宁等效电路，如图(d)所示。 (2) 根据最大功率传输定理可知，当 时，负载RL获得的功率最大，最大功率为

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